三年级第5讲.和倍问题.教师版.pdf

第五讲 和倍问题知识点拨：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和(倍数+)=小数1 小数倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求 份数：1 份数(倍数)=两数差.l1解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。例题精讲：【例例 1】果园里有梨树和苹果树共果园里有梨树和苹果树共棵，苹果树的棵数是梨树的棵，苹果树的棵数是梨树的倍，苹果树比梨树多多少棵？倍，苹果树比梨树多多少棵？545【把梨树的棵数看作 份数，苹果树的棵数就是份数，棵就相当于(份数，分别求出梨l5545+1)树和苹果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.这道题还可以这样想，先求出 份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少1棵了.（法）梨树：(棵)，苹果树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)54(51)9954545936 （法）梨树：(棵)，苹果树比梨树多：(棵)54(51)99(51)36【巩固巩固】甲班和乙班共有图书甲班和乙班共有图书 160 本本.甲班的图书本数是乙班的甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？倍，甲班和乙班各有图书多少本？【设乙班的图书本数为 1 份，则甲班图书为乙班的 3 倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的 4 倍.还可以理解为 4 份的数量是 160 本，求出 1 份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班：160（3+1）=40（本）甲班：403=120（本）或 160-40=120（本）验算：12040=160（本）12040=3（倍）答：甲班有图书 120 本，乙班有图书 40 本。【巩固巩固】小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多只，比白鸡少只，比白鸡少只白鸡的只数是黄鸡的只白鸡的只数是黄鸡的倍，白鸡、倍，白鸡、13182黄鸡、黑鸡一共有多少只黄鸡、黑鸡一共有多少只?【黄鸡多少只？(只)18(21)18 白鸡多少只？(只)18236 黑鸡多少只？(只)18135 白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？(只)1836559【例例 2】北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共 300 朵。已知红花的朵数比黄花的朵。已知红花的朵数比黄花的 2倍少倍少 30 朵。问两种花各有多少朵？朵。问两种花各有多少朵？【我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：从线段图中可以看出，两种花的总和再添上 30 朵，正好对应了 3 份。所以黄花朵数为：（300+30）（1+2）=110（朵）。红花朵数为：300-110=190（朵）。【例例 3】甲班有图书甲班有图书 120 本，乙班有图书本，乙班有图书 30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的 2 倍？倍？【解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的 2 倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的 3 倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见下图）。甲、乙两班共有图书的本数是：30120=150（本）甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：213（倍）乙班现有的图书本数是：1503=50（本）甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）综合算式：（30120）（2+1）=50（本）50-30=20（本）验算：（120-20）（30+20）2（倍）（120-20）+（30+20）150（本）答：甲班给乙班 20 本图书后，甲班图书是乙班图书的 2 倍。【例例 4】大桶里有油大桶里有油 60 千克，小桶里有油千克，小桶里有油 30 千克将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，千克将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的大桶是小桶的 4 倍问两个桶各剩油多少千克？倍问两个桶各剩油多少千克？【用下图表示它们的关系：卖出同样多的油，可知两个桶里所有油的差总保持不变，因此这是一个差倍问题小桶所剩的油为倍数，大桶剩油是小桶剩油的 4 倍，所以大桶剩油比小桶剩油多（倍）而大桶比413 小桶多的油总保持不变，是（千克）再利用差倍问题的公式就可解决小桶剩下603030的油是：（千克），大桶剩下的油是：（千克）3031010440【巩固巩固】两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的千克数是乙筐千克后，甲筐余下的千克数是乙筐的的 3 倍，两筐苹果原来各有多少千克？倍，两筐苹果原来各有多少千克？【用下图表示它们的关系：设乙筐余下的千克数为 1 份，则甲筐余下的千克数为 3 份，甲、乙两筐余下的苹果相差（份）原来甲、乙两筐苹果的千克数相同，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出 19 千克，说明3 12 甲筐比乙筐少卖出（千克），也就是乙筐余下的苹果比甲筐少 12 千克，所以甲、乙两19712筐余下的差是 12 千克，所对应的份数差是 2，从而可以求出 1 份及两筐苹果原来的重量，甲、乙两筐余下的苹果数相差（千克），乙筐余下苹果的数是（千克），甲、19712123 16（乙两筐原来各有苹果的数量（千克）61925【例例 5】甲水池有水甲水池有水 2600 立方米，乙水池有水立方米，乙水池有水 1200 立方米，如果甲水池里的水以每分种立方米，如果甲水池里的水以每分种 23 立方米立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的 4 倍？倍？【甲、乙两水池共有水：26001200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800（4+1）=760（立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）经过的时间（分钟）：18402380（分钟）。【巩固巩固】甲桶里有油甲桶里有油 470 千克，乙桶里有油千克，乙桶里有油 190 千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的桶油是乙桶油的 2 倍？倍？【甲、乙两桶油总重量：470+190=660（千克）：当甲桶油是乙桶油 2 倍时，乙桶油是：660（2+1）=220（千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。【例例 6】学校买来篮球、足球、排球共学校买来篮球、足球、排球共个，其中篮球的个数是足球的个，其中篮球的个数是足球的 倍排球比足球多倍排球比足球多493个问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？个问学校买来的篮球、足球、排球各多少个？4【可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正从线段图上可以看出，把足球的个数看作 份数，篮球的个数是 份数，如果排球少买个，也134是 份数，这时三种球一共()个，总份数是()，就可先求出足球的个数，再分别求l494131篮球和排球的个数如果排球减少个，三种球一共多少个？(个)449445 足球多少个？(个)45(131)9 篮球多少个？(个)9327 排球多少个？(个)9+4=13【巩固巩固】一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重千克已知苹果的重量是梨的千克已知苹果的重量是梨的 倍，香蕉的重量比梨倍，香蕉的重量比梨1123少少 千克一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？千克一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？3【梨的重量是：（千克）(1123)(1 13)23 苹果的重量是：（千克）23 369 香蕉的重量是：（千克）23320【巩固巩固】玩具厂生产红、黄、白气球共玩具厂生产红、黄、白气球共个，其中红气球的个数是黄气球的个，其中红气球的个数是黄气球的 倍，白气球比黄气球倍，白气球比黄气球1253少少个问三种气球各生产了多少个？个问三种气球各生产了多少个？25【黄气球：（个）；红气球：（个）；白气球：（个）(12525)(31 1)30 3039030255【例例 7】四年级有甲、乙、丙、丁四个班四年级有甲、乙、丙、丁四个班不算甲班，其余三个班的总人数是不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班，人；不算丁班，其余三个班的总人数是其余三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人人问：问：这四个班共有多少人？这四个班共有多少人？【由题意，乙、丙、丁三个班总人数为 131 人，甲、乙、丙三个班总人数为 134 人，于是可以看出，甲班比丁班多 3 个人又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，也就是说乙、丙两班总人数是丁班的 2 倍还多 2 人从而可以求出丁班的人数为：（人）(1312)343因此这四个班的总人数为（人）13443177【例例 8】某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是某日停电，房间里燃起了长、短两根蜡烛，它们燃烧速度是样的开始时长蜡烛是短蜡样的开始时长蜡烛是短蜡烛长度的烛长度的倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的倍，当送电后吹灭蜡烛，发现此时长蜡烛是短蜡烛长度的 倍短蜡烛燃烧掉的倍短蜡烛燃烧掉的23长度是长度是厘米问原来两根蜡烛各有多长？厘米问原来两根蜡烛各有多长？5【我们要注意发掘题目中真正的不变量，实际上本题中两根蜡烛的长度差是不变的(因为两根蜡烛燃烧的速度一样)所以我们根据题意可知：原长蜡烛长度倍原短蜡烛长度，差为 倍原21短蜡烛长度；后长蜡烛长度倍后短蜡烛长度，差为倍后短蜡烛长度；所以原短蜡烛长度32倍后短蜡烛长度，也就是说短蜡烛燃烧了 倍后短蜡烛长度，为厘米，所以原短蜡烛长215厘米，原长蜡烛长厘米1020【巩固巩固】某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持小时，另一支可以维持小时，另一支可以维持小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩35下长度的下长度的 倍这次停电时间是多少小时？倍这次停电时间是多少小时？3【两支蜡烛长度相同，一支可以维持 小时，另一支可以维持小时，所以从两支蜡烛中取相同35长度的部分，可以燃烧的时间之比为现在可以维持小时的那支蜡烛剩下的长度是另外3:55一支的 倍，所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的3倍，由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩3 535下部分可以燃烧的时间要长小时所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为532小时，这次停电的时间为小时2(51)0.530.52.5【例例 9】甲、乙、丙甲、乙、丙 3 数之和是数之和是 183，乙比丙的，乙比丙的 2 倍少倍少 4，甲比丙的，甲比丙的 3 倍多倍多 7，求甲、乙、丙三，求甲、乙、丙三数各是多少？数各是多少？【我们把丙数看作一份，画出线段图如下：假如我们给乙数添上 4 凑成 2 份，甲数减去 7凑成 3 份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：1806=30；乙数为：302-4=56；甲数为：303+7=97。【例例 10】盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出 1 个红球和个红球和 1 个白球，那么当拿到没有红球个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球时，还剩下白球 50 个，若每次拿出个，若每次拿出 1 个红球和个红球和 3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下个白球，则拿到没有白球时，还剩下 50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？【方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下 50 个红球，因此如果再增加 150 个白球，可以使得“每次拿出 1 个红球和 3 个白球”两种球都不剩下，这样增加 150 个白球后，按照第一种取法，白球会剩下（个），这说明白球增加 150 个后，白球的数量是50150200红球的 3 倍且白球比红球多 200 个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是（个），此时白球的数量是：（个），不过这个数量是白球增20021001003300加 150 个之后的结果，所以原来盒子里有白球（个），红球 100 个300150150方法二：用下图表示它们的关系：把红球的数量减去 50 个看做“1 倍量”，可以得到，“2 倍量”的数量是（）个所5050以红球的数量有（个），白球的数量比红球多 50 个，有5050502100（10050（个）可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系150【例例 11】小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看小月和冬冬看同一本小说，小月打算第一天看 50 页，接着每天看页，接着每天看 15 页；冬冬则打算每天页；冬冬则打算每天看看 22 页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？页，最后两人正好在同一天看完。这本小说一共多少页？【小月第一天比冬冬多看了 28 页，也就是说冬冬以后几天里面要比小月多看 28 页才能和小月同时看完小说，所以冬冬应该又看了天，那么可以知道这本小说一共：2822-154（）页，验证页。504 15110 224 1110（）【例例 12】(2008 年湖北省第六届年湖北省第六届“创新杯创新杯”全国数学邀请赛六年级全国数学邀请赛六年级)某小学五年级和六年级参加创新杯某小学五年级和六年级参加创新杯数学邀请赛共有数学邀请赛共有 16 人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的人，其中：五年级的学生比六年级的学生多；六年级的男生比五年级的男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有男生多；五年级的男生比五年级的女生多；六年级的女生至少有 1 人那么六年级的男生人那么六年级的男生有有 人人【因“五年级的学生比六年级的学生多”，故五年级学生至少有 9 人，而六年级学生至多有 7 人；因“五年级男生比五年级的女生多”，所以五年级男生至少有 5 人；因“六年级男生比五年级男生多”，所以六年级男生至少有 6 人，而六年级男生不能多于 6 人，否则再加上六年级的女生至少有 1 人，则六年级的学生人数就会多于 7 人，这不可能因此，六年级的男生恰好有有 6人。【例例 13】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是，而减数是差的，而减数是差的倍求差是多少？倍求差是多少？2405【引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，并认识它们之间的转化我们先看下面一道简单的减法算式：=15 105 被减数 减数 差 被减数、减数、差这三个数有下面的关系：被减数=差+减数，如15=5+10 这道题中，被减数、减数、差的和是，15+5+10=30是被减数的倍，就得被减数，也就是30230215减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和是，减数是差的倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15215(21)5 列式：减数与差的和是多少？，2402120 差是多少？120(51)20【巩固巩固】（2008 年第七届年第七届“小机灵杯小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）两个正整数相除，商是数学竞赛五年级复赛）两个正整数相除，商是，余数是，余数是，75如果被除数、除数都扩大到原来的如果被除数、除数都扩大到原来的倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于原原41039来的被除数是来的被除数是 ，除数是，除数是 【被除数、除数都扩大到原来的倍，它们的商还是、余数为，所以被除数与除数的475420和为，而此时被除数比除数的倍大，所以除数为10392071012720，所以原来的除数为，被除数原来为(101220)(71)12412443131 75222【例例 14】有有 只盒子，每只盒内放有同一种笔只盒子，每只盒内放有同一种笔 只盒子所装笔的支数分别为只盒子所装笔的支数分别为支、支、支、支、支、支、88172333支、支、支、支、支、支、支、支、支在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的支在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的倍，铅笔倍，铅笔36384249512支数是钢笔支数的支数是钢笔支数的 倍，只有一只盒里放的是水彩笔这盒水彩笔共有多少支？倍，只有一只盒里放的是水彩笔这盒水彩笔共有多少支？3【铅笔数是钢笔数的 倍，圆珠笔数是钢笔数的倍，因此这三种笔支数的和是钢笔数的32倍除以余，所以水彩笔的支数除以3216 172333363842495128961余，在上述 盒的支数中，只有除以余，因此水彩笔共有支618496149【巩固巩固】(第五届小数报数学竞赛初赛第五届小数报数学竞赛初赛)六张卡片上分别标上六张卡片上分别标上、11931258184218661912六个数，甲取六个数，甲取 张，乙取张，乙取张，丙取张，丙取 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一2494321个人是另个人是另个人的个人的倍，则丙手中卡片上的数是倍，则丙手中卡片上的数是_2【根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的倍”可知，甲、乙手中五张卡2片上的数之和应是 的倍数3计算这六个数的总和是，除以 余；因119312581842186619122494105651056532为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 的倍数，那么丙手中的卡片上的数除以 余六332个数中只有除以 余，故丙手中卡片上的数为1193321193【例例 15】有有 5 堆苹果，较小的堆苹果，较小的 3 堆平均有堆平均有 18 个苹果，较大的个苹果，较大的 2 堆，苹果数之差为堆，苹果数之差为 5 个；又较大的个；又较大的 3堆平均有苹果堆平均有苹果 26 个，较小的个，较小的 2 堆苹果之差为堆苹果之差为 7 个；最大堆与最小堆平均有个；最大堆与最小堆平均有 22 个苹果，问：个苹果，问：各堆各有多少个苹果？各堆各有多少个苹果？【作图表示题目各个量之间的关系能让复杂的关系看起来简洁明了且不易混乱，用下图表示它们的关系：最大堆与最小堆平均 22 个，那么最大堆与最小堆一共有（个）；较大的 2 堆，苹果22244数之差为 5 个，得知次大堆比最大堆少 5 个苹果；较小的 2 堆苹果之差为 7 个，说明次小堆比最小堆多 7 个苹果，因此，得知次小堆和次大堆之和为：（个），这样最大堆、最445746小堆、次大堆、次小堆四堆苹果数量之和是：（个），较大的 3 堆苹果之和：444690（个），较小的 3 堆苹果之和：（个），较大的 3 堆苹果和较小的 3 堆苹果2637818 354总和等于最大堆、次大堆、最小堆、次小堆以及 2 个中间堆的数量之和所以，中间堆的数量是：（个），最大堆与次大堆的和是：（个）785490221（782157，最大堆有苹果：（个），次大堆有：（个），同理最小堆有苹果：575231（5731265421（个），次小堆有苹果：（个）7213（13720课后作业练习练习 1.有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒 千克水到大桶，则大桶中水是小桶的千克水到大桶，则大桶中水是小桶的 倍，求倍，求83原来大桶有水多少千克？原来大桶有水多少千克？【现在大桶水比小桶水多：（千克），所以现在小桶中的水是：（千克），而821616(3 1)8原来大桶中有水是：（千克）8216练习练习 2.果园里有桃树、梨树、苹果树共果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵棵.桃树比梨树的桃树比梨树的 2 倍多倍多 12 棵，苹果树比梨树少棵，苹果树比梨树少 20 棵，棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？【下图可以看出桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为 1 份数容易解答.又知三种树的总数是 552 棵.如果给苹果树增加 20 棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少 12 棵，那么就相当于梨树的 2 倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的 4 倍。梨树的棵数：（55220-12）（112）=5604=140（棵）桃树的棵数：140212=292（棵）苹果树的棵数：140-20=120（棵）答：桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵。练习练习 3.有两根同样长的绳子，第一根截去有两根同样长的绳子，第一根截去 12 米，第二根接上米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根长的米，这时第二根长度是第一根长的3 倍，这两根绳子原来长多少米？倍，这两根绳子原来长多少米？【用下图表示它们的关系：两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去 12 米，第二根绳子又接上 14 米后，第二根的长度是第一根的 3 倍应该把变化后的第一根长度看作 1 倍，而（米），正好相当121426于第一根绳子剩下的长度的 2 倍所以，当从第一根截去 12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了所以，第一根截去 12 米剩下的长度：（米）两根绳子原来的长度：（米）12143 113（131225练习练习 4.被除数、除数、商被除数、除数、商 3 个数的和是个数的和是 212。已知商是。已知商是 2，被除数和除数各是多少？，被除数和除数各是多少？【由商是 2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的 2 倍。把除数看着 1 份，两数和对应的份数是 3 份，除数为：210（2+1）=70；被除数为：702=140。