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2022版高考数学一轮复习-第八章-解析几何-第八讲-曲线与方程学案新人教版.doc
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1、2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第八讲 曲线与方程学案新人教版2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第八讲 曲线与方程学案新人教版年级:姓名:第八讲曲线与方程(理)知识梳理双基自测知识点一曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做_曲线_的方程;这条曲线叫做_方程_的曲线知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤1“曲线C是方程f(x,y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解”的充分不必要条件2求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程就是将几何
2、条件(性质)表示为动点坐标x,y的方程及函数关系(2)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合(3)等价转化思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2()(3)ykx与xy表示同一直线()(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()题组二走进教材2(必修2P37T3)已知点F,直线l:x,点B是l上的动点,若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是(
3、D)A双曲线B椭圆C圆D抛物线解析由已知|MF|MB|,根据抛物线的定义知,点M的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线3(选修21P37T1改编)已知A(2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足APOBPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是_x2y24x0(y0)_解析设P(x,y),APOBPO,2,即|PA|2|PB|,(x2)2y24(x1)2y2,(y0)化简整理得P的轨迹方程为x2y24x0(y0)题组三走向高考4(2020山东改编)已知曲线C:mx2ny21则下列结论错误的是(B)A若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B若mn0,则C是圆,其半径为C若mn0,则C是
4、双曲线,其渐近线方程为yxD若m0,n0,则C是两条直线解析A若mn0,则,则根据椭圆定义,知1表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;B若mn0,则方程为x2y2,表示半径为的圆,故B错误;C若m0,n0,则方程为1,表示焦点在y轴的双曲线,故此时渐近线方程为yx,若m0,n0,则方程为1,表示焦点在x轴的双曲线,故此时渐近线方程为yx,故C正确;D当m0,n0时,则方程为y表示两条直线,故D正确;故选B5(2019北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:x2y21|x|y就是其中之一(如图)给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);曲线C上任意一点到原点
5、的距离都不超过;曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中,所有正确结论的序号是(C)ABCD解析将x换成x方程不变,所以图形关于y轴对称,当x0时,代入得y21,y1,即曲线经过(0,1),(0,1);当x0时,方程变为y2xyx210,所以x24(x21)0,解得x,所以x只能取整数1,当x1时,y2y0,解得y0或y1,即曲线经过(1,0),(1,1),根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1),故曲线一共经过6个整点,故正确当x0时,由x2y21xy得x2y21xy,(当xy时取等),x2y22,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过,根据对称性可得:曲线C上任意一点到原点的距离
6、都不超过;故正确在x轴上图形面积大于矩形面积122,x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积211,因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213,故错误故选C考点突破互动探究考点一曲线与方程自主练透例1 关于x,y的方程1,对应的曲线可能是焦点在x轴上的椭圆焦点在y轴上的椭圆焦点在x轴上的双曲线圆其中正确结论个数为(D)A1B2C3D4解析由题,若m223m22,解得m,3m220,解得m或m,则当x时,曲线是焦点在x轴上的椭圆,正确;若3m22m22,解得m或m,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,正确;若3m220,解得m,此时曲线是焦点在x轴上的双曲线,正确;当m22时,方程为x2y24,所以
7、正确故选D变式训练1(2021山东青岛一中期末改编)已知点F(1,0)为曲线C的焦点,则曲线C的方程可能为y24xx24y11其中正确结论个数为(B)A1B2C3D4解析y24x的焦点坐标为(1,0);x24y的焦点坐标为(0,1);当时,sin2cos2,1表示圆;双曲线1的焦点在x轴上,且c1,其焦点坐标为(1,0),(1,0),故选B考点二定义法求轨迹方程自主练透例2 (1)(2021长春模拟)如图所示,A是圆O内一定点,B是圆周上一个动点,AB的中垂线CD与OB交于点E,则点E的轨迹是(B)A圆B椭圆C双曲线D抛物线(2)(2021福州模拟)已知圆M:(x)2y236,定点N(,0),
8、点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在线段MP上,且满足2,0,则点G的轨迹方程是(A)A1B1C1D1(3)(2021江苏南京二十九中调研)已知两圆C1:(x3)2y21,C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(D)Ax21By21Cx21(x1)Dx21(x1)解析(1)由题意知,|EA|EO|EB|EO|r(r为圆的半径)且r|OA|,故E的轨迹为以O,A为焦点的椭圆,故选B(2)由2,0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线,连接GN,|GN|GP|,|GM|GN|MP|62,点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其中2a6,2c2,b24,点G的
9、轨迹方程为1,故选A(3)设动圆M的半径为r,则|C1M|r1,|C2M|3r,|C2M|C1M|26|C1C2|动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支,且c3,a1,b2c2a28,其轨迹方程为x21(x1)故选D引申1本例(3)中,若动圆M与圆C1内切,与圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_1(x2)_引申2本例(3)中,若动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为_1(x2)_引申3本例(3)中,若动圆M与圆C1、圆C2都内切,则动圆圆心M的轨迹方程为_x21(x1)_引申4本例3中,若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_1_名
10、师点拨定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制变式训练2(1)动圆M经过双曲线x21的左焦点且与直线x2相切,则圆心M的轨迹方程是(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x(2)(2021湖南娄底质检)在水平地面上的不同两点处竖有两根笔直的电线杆,假设它们都垂直于地面,则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是_直线圆椭圆抛物线解析(1)双曲线x21的左焦点
11、为F(2,0),由题意可知点M的轨迹是以F为焦点、原点为顶点、对称轴为x轴的抛物线,故其方程为y28x故选B(2)如图两根电杆AB,CD,当|AB|CD|时,BPADPC,|PA|PC|,P的轨迹是AC的中垂线,当|AB|CD|(1,0)时,由BPADPC知RtABPRtCDP,以AC所在直线为x轴,线段AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,记A(1,0),C(1,0),P(x,y),则,即2y22,轨迹为圆,故答案为考点三,直接法求轨迹方程师生共研例3 (1)(2021四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)已知圆C过点A(0,2)且与直线y2相切,则圆心C的轨迹方程为(B)Ax24yBx28y
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