2022版高考数学一轮复习-27-正弦定理与余弦定理的应用训练新人教B版.doc

2022版高考数学一轮复习 27 正弦定理与余弦定理的应用训练新人教B版

2022版高考数学一轮复习 27 正弦定理与余弦定理的应用训练新人教B版

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二十七　正弦定理与余弦定理的应用
(建议用时：45分钟)
A组　全考点巩固练
1．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 n mile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)
A．5 n mile B．10 n mile
C．5 n mile D．5 n mile
C　解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，C＝30°，B＝120°，AC＝15.

由正弦定理，得＝，
即AB＝＝5，所以这时船与灯塔的距离是5 n mile.
2．在△ABC中，已知AC＝，∠ABC＝60°，AB<BC，且△ABC的面积为，则BC边上的高等于(　　)
A．1 B．
C． D．2
C　解析：设BC＝a，AC＝b，AB＝c.因为∠ABC＝60°，△ABC的面积为，
所以acsin 60°＝，即ac＝6.①
又AC＝，所以b2＝a2＋c2－2ac·cos 60°＝7，
即a2＋c2－ac＝7.②
联立①②，结合a>c，解得a＝3，c＝2.
设BC边上的高为h，所以h＝csin 60°＝.
3．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 n mile/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C.若船C位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是(　　)

A．5(＋) n mile
B．5(－) n mile
C．10(＋) n mile
D．10(－) n mile
D　解析：如图，由题意得AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝75°.

所以∠ACB＝75°，由正弦定理＝，
得BC＝＝10(－) n mile，
故缉私艇B与船C的距离为10(－) n mile.
4．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝10 m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45°，④cos∠BAC＝，⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为(　　)

A．9 m B．10 m
C．10 m D．10 m
D　解析：选①②③⑤.设旗杆的高度OA＝h，则OC＝h，OB＝.
在△BOC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，
即102＝2＋h2－2·h··，解得h＝10.
5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为________平方里．
84　解析：如图，由题意画出△ABC，且AB＝13，BC＝14，AC＝15.

在△ABC中，由余弦定理得，
cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，
则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里)．
6．如图，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40 n mile至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为________n mile.

20　解析：连接AB(图略)，由题意可知，CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°.在△ACD中，由正弦定理，得＝，所以AD＝20.在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝800＋3 200－2×20×40×cos 60°＝2 400(n mile)，即AB＝20(n mile)．
7．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．

a　解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°.
又∠PBC＝γ＝60°，
所以∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，
所以＝，
所以PB＝a，
所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β
＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.
8．在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中≈1.732)．

解：(1)在△ABC 中，∠CAB＝45°.
又∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°.
由正弦定理得，＝，
将AB＝4代入上式，得 BC＝4(米)．
(2)在△CBD中，∠CBD＝75°，BC＝4，
所以CD＝4sin 75°.
因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°·cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，
所以CD＝2＋2，
所以CE＝2＋2＋1.70＝3.70＋2≈7.16(米)．
所以这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16米．
B组　新高考培优练
9．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角)．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tan θ的最大值是(　　)

A. B.
C. D.
D　解析：由已知，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝＝＝，则cos∠ACB＝.
作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．

设PH＝x m，则CH＝x m，在△ACH中，
由余弦定理得
AH＝
＝，tan∠PAH＝
＝，
当＝时，tan θ取得最大值，最大值为.
10．(多选题)如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝.若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法正确的是(　　)

A．△ABC的内角B＝
B．△ABC的内角C＝
C．四边形ABCD面积的最大值为＋3
D．四边形ABCD面积无最大值
ABC　解析：因为(acos C＋ccos A)＝2bsin B，
所以(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2B，
所以sin(A＋C)＝2sin2B，
所以sin B＝2sin2B，
所以sin B＝.
因为∠CAB＝，所以B∈，所以B＝，所以C＝π－A－B＝，因此A，B正确．
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·CD·sin∠ADC＝(AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC)＋AD·DC·sin∠ADC＝(9＋1－6cos∠ADC)＋×3sin∠ADC＝＋(sin ∠ADC－cos ∠ADC)＝＋3sin≤＋3，
因此C正确，D错误．故选ABC.
11．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________，的取值范围是________．
　(2，＋∞)　解析：由余弦定理得cos B＝，所以a2＋c2－b2＝2accos B.
又因为S＝(a2＋c2－b2)，
所以acsin B＝×2accos B，
所以tan B＝，所以B＝.
又因为C为钝角，
所以C＝－A>，
所以0<A<.
由正弦定理得＝＝＝＋·.
因为0<tan A<，
所以>，
所以>＋×＝2，即>2.
12．海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________小时．
　解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时，如图，

在△ABC中，AC＝10海里，AB＝21x海里，BC＝9x海里，∠ACB＝120°.
由余弦定理得(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝或x＝－(舍).
所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时．
13．(2020·济南一模)如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为的圆上，且∠BCD＝.
(1)求BD的长度；
(2)若AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，求△ABD的面积．

解：(1)由题意可知△BCD的外接圆半径R＝.
由正弦定理得＝2R＝2×，
解得BD＝5.
(2)在△ABD中，设∠ABD＝α，α为锐角，则∠ADB＝2α.
因为＝，所以＝，
所以AB＝6cos α.
因为AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos α，
所以9＝36cos2α＋25－60cos2α，所以cos α＝，
则AB＝6cos α＝2，sin α＝，
所以S△ABD＝AB·BD·sin α＝5.
14．(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
解：选择条件①.
(1)因为c＝7，cos A＝－，a＋b＝11，
a2＝b2＋c2－2bccos A，所以a2＝(11－a)2＋72－2×(11－a)×7×，即192－24a＝0，
解得a＝8.
(2)因为cos A＝－，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝.
由正弦定理得＝，
所以＝，所以sin C＝.
S＝absin C＝×(11－8)×8×＝6.
选择条件②.
(1)因为cos A＝，cos B＝，A，B∈(0，π)，
所以sin A＝＝，sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
所以＝，所以a＝6.
(2)sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝×＋×＝，
所以S＝absin C＝×(11－6)×6×＝.