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2022届高考数学一轮复习 选修4-4.2 参数方程课时作业

2022届高考数学一轮复习 选修4-4.2 参数方程课时作业

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课时作业72　参数方程
[基础达标]
1．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心的极坐标为且经过极点的圆．
(1)求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知射线θ＝(ρ≥0)分别与曲线C1，C2交于点A，B(点B异于坐标原点O)，求线段AB的长．

2．[2021·黄冈中学，华师附中等八校第一次联考]在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ＋8.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，求直线l的倾斜角．

3．[2021·广东省七校联合体高三第一次联考试题]在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1与曲线C2：(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ>0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈，当＝4时，求α的值．

4．[2021·唐山市高三年级摸底考试]在极坐标系中，圆C：ρ＝4cosθ.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l经过点M(－1，－3)且倾斜角为α.
(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，满足A为MB的中点，求α.

5.[2020·全国卷Ⅱ]已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：(θ为参数)，C2：(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

6．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α∈[0,2π)，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ为极径，θ为极角)．
(1)求曲线C的普通方程和曲线C1的极坐标方程；
(2)若射线OA：θ＝β(ρ>0)与曲线C1交于点A，射线OB：θ＝β＋(ρ>0)与曲线C1交于点B，求＋的值．

[能力挑战]
7．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，φ∈[0，π))．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8cos.
(1)求圆C的直角坐标标准方程；
(2)设点P(x0，y0)，圆心C(2x0,2y0)，若直线l与圆C交于M，N两点，求＋的最大值．

课时作业72
1．解析：(1)由曲线C1的参数方程为(φ为参数)，消去参数φ得＋y2＝1，
将代入＋y2＝1得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝＝.
由曲线C2是圆心的极坐标为且经过极点的圆，
可得其极坐标方程为ρ＝2sinθ，
从而得C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)将θ＝(ρ≥0)代入ρ＝2sinθ得ρB＝2sin＝，
将θ＝(ρ≥0)代入ρ2＝得ρA＝＝，
故|AB|＝ρB－ρA＝.
2．解析：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，
所以当α＝时，直线l的普通方程为x＝2，
当α≠时，直线l的普通方程为y－＝tanα(x－2)，即y＝xtanα＋－2tanα.
因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρ2＝2ρcosθ＋8，所以x2＋y2＝2x＋8.
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.
(2)解法一　曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0，
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程整理，得t2＋(2sinα＋2cosα)t－5＝0.
因为Δ＝(2sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可设该方程的两个根分别为t1，t2，则t1＋t2＝－(2sinα＋2cosα)，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝4.
整理得(sinα＋2cosα)2＝3，
故2sin＝±.
因为0≤α<π，所以α＋＝或α＋＝，解得α＝或α＝，
综上所述，直线l的倾斜角为或.
解法二　直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝4，曲线C为圆：(x－1)2＋y2＝9，
故圆心C(1,0)到直线l的距离d＝＝1.
①当α＝时，直线l的普通方程为x＝2，符合题意．
②当α∈∪时，直线l的方程为xtanα－y＋－2tanα＝0，
所以d＝＝1，整理得|－tanα|＝，解得α＝.
综上所述，直线l的倾斜角为或.
3．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.
曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
(2)由(1)知|OA|＝ρA＝，|OB|＝ρB＝4cosα，
∴＝4cosα(cosα＋sinα)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋2sin.
∵＝4，∴2＋2sin＝4，sin＝.
由0<α<，知<2α＋<，∴2α＋＝，∴α＝.
4．解析：(1)由圆C：ρ＝4cosθ可得ρ2＝4ρcosθ，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，
所以x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．
(2)设A，B对应的参数分别为tA，tB，
将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程并整理，得t2－6t(sinα＋cosα)＋32＝0，Δ＝36(sinα＋cosα)2－4×32>0　①，
所以tA＋tB＝6(sinα＋cosα)，tA·tB＝32.
又A为MB的中点，所以tB＝2tA，
因此tA＝2(sinα＋cosα)＝4sin，tB＝8sin，
所以tA·tB＝32sin2＝32，即sin2＝1.
因为0≤α<π，所以≤α＋<，
从而α＋＝，即α＝，又α＝满足①式，所以所求α＝.
5．解析：(1)C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)．
由C2的参数方程得x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，
所以x2－y2＝4.
故C2的普通方程为x2－y2＝4.
(2)由得所以P的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)，
由题意得x＝2＋，
解得x0＝.
因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝cosθ.
6．解析：(1)将曲线C的参数方程(α∈[0,2π)，α为参数)消去参数，得x2＋y2＝4，所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝4.
曲线C经过伸缩变换得到曲线C1，则曲线C1的参数方程为，得x′2＋4y′2＝16，
将x′＝ρcosθ，y′＝ρsinθ，代入上式得曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16.
(2)将θ＝β(ρ>0)代入ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16，得＝＋，即＝＋，
同理＝＋＝＋，
所以＋＝＋＝.
7．解析：(1)圆C的极坐标方程为ρ＝8cos＝4cosθ＋4sinθ，
所以ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ.
因为ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
所以x2＋y2－4x－4y＝0，
所以圆C的直角坐标标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝16.
(2)由(1)知圆C的圆心的直角坐标为(2,2)，则，
所以，
所以直线l的参数方程为(t为参数，φ∈[0，π))．
将直线l的参数方程代入(x－2)2＋(y－2)2＝16，
得t2－(2sinφ＋2cosφ)t－12＝0.
设点M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sinφ＋2cosφ，t1t2＝－12.
故＋＝＝＝＝[2sinφ＋2cosφ)2＋24]＝2＋2，
因此，当φ＝时，＋取得最大值，最大值为.