限制性三体问题的已知解及其应用本科论文.doc

限制性三体问题的已知解及其应用

新疆大学毕业论文(设计)

题 目： 限制性三体问题的已知解及其应用

毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明

原创性声明
本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。
作 者 签 名：　　 　 　　日　 期：　　 　 　　 
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本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。
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学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名： 日期： 年 月 日

学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权　　 　 　大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。
涉密论文按学校规定处理。

作者签名： 日期： 年 月 日
导师签名： 日期： 年 月 日
新 疆 大 学
毕业论文（设计）任务书

班 级：物理学06-2班
姓 名：布尔汗.沙拉木
论文（设计）题目：限制性三体问题的已知解及其应用
专 题： 理论物理
要求完成的内容：1、查找相关资料
2、了解自由电子激光的概念和历史发展
3、了解电子在电磁场中的运动特性
4、理解自由电子激光的原理
5、了解自由电子激光的的应用

发题日期：2008年12月25日
完成日期：2009年05月30日
实习实训单位：新疆大学 地点：物理科学与技术学院
论文页数： 页； 图纸张数： 页；
指导教师： 博尔汗
教研室主任：
院 长： 段海明 （教授）

声 明

本人郑重声明：
1、此毕业论文是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除了特别加以标注和致谢的地方外，本文不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中作了明确标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
2、本人完全了解学校、学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学校与学院保留并向国家有关部门或机构送交此论文的复印件和电子版，允许此文被查阅和借阅。本人授权新疆大学物理科学与技术学院可以将此文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本文。
3、若在新疆大学物理科学与技术学院毕业论文审查小组复审中，发现本文有抄袭，一切后果均由本人承担（包括接受毕业论文成绩不及格、缴纳毕业论文重新学习费、不能按时获得毕业证书等），与毕业论文指导老师无关。

作者签名： 日期： 年 月 日

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摘 要
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，因此还远不能解决三体问题

关键词： 三体问题，平动点，令速度面，主星体，运动区，禁止区

ABSTRACT

Key word:

目 录

摘 要 - 1 -
前 信 1
第一章 N体问题的基本守恒规律与二体问题运动方程 2
§1.1 三体问题的发展简史 2
§1.2 N体问题的基本规律 3
§1.3动量守恒 3
§1.4角动量守恒 4
§1.5能量积分 4
§1.6 二体问题运动方程 5
第二章 限制性三提问题 6
§2.1 什么叫限制性三体问题 6
§2.2 圆形限制性三体问题 7
2.2.2 Lagrange特解 9
2.2.3、雅可比积分和准则 12
2.24、零速度面 13
第三章 椭圆形限制性三体问题 16
§3.1运动方程的推导 16
参考文献 19

前 信
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题.
天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，因此还远不能解决三体问题

第一章 N体问题的基本守恒规律与二体问题运动方程
§1.1 三体问题的发展简史
1855年法国数学家庞加莱写了一偏文章“关于三体问题的动态方程”带来了给三体问题方面近大一步。
下面我们就来简单看一看庞加莱在这一时期的工作究竟给N体问题的解决带来了什么进展
第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分(uniform first integral)。 也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度， 把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。
第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分(invariant integrals) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理(recurrence theorem)。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象(first return map)的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数(characteristic exponents)，解对参数的连续依赖性(continuous dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。
第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐进解(asymptotic solutions)，同宿轨道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道(hetroclinic orbits)，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形(stable manifold)和不稳定流形(unstable manifold)正态相交(intersects transversally)所引起的同宿交错网(homoclinic tangle)，而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌(chaos)。庞加莱的发现可以说是混沌理论的最早起源了

§1.2 N体问题的基本规律
设N个天体 P1、P2、P3、,….Pn，它们的质量分别是它们在某一惯性系里的位置矢量是根据牛顿的万有引力定律，任意两个天体的相互引力是： 式中表示Pi和Pj之间的距离，。
按照牛顿第二定律，任意一个天体的方程可写成：

(1.2.1)

定义：

(1.2.2)

U称N体系统的力函数，是一个标量函数，与天体相互位置有关。
用力函数U，可将（1.2.1）式写成：

(1.2.3)

由（1.2.1）或（ 1.2.3）看出N体系统的运动方程共有3n个二价微分方程，所以是6n
价的。若存在6个独立积分：

(1.2.4)

（i = 1，2，……,6n） 其中C为独立的积分常数，它们仅依懒于天体初始时刻的位置和速度。因此N体系统中任意天体的位置r和速度v都可由（1.2.4）式解出，它们是时间t和积分常数C的函数。200多年来尽管有很多数学工作者和天体力学工作者致力于这一工作，但到目前，仅找到十个独立积分，故除二体问题外，其他N体系统的求积分问题尚未解决。
从N体问题的定义看出，N体问题就是一般力学中的质点组动力学问题，正如理论力学中所得出的结论那样，整个系统存在动量守恒，动量矩守恒和能量守恒三大守恒定律。下面我们导出这次类积分。

§1.3动量守恒
将运动方程（1.2.1）两端对i求和：

(1.3.1)
上式右端在求和过程中相加为零，所以右端总和为零。假如天体的质量m 与时间t无关,积分上 式得：，其中是积分常数，(1.3.1)式表明n个天体在相互引力作用下运动时，它们的总动能量守恒。
将(1.3.1)式对时间再积分一次，得：

(1.3.2)

是又一积分常数。设是N体系质心的位置矢量，利用质心的定义 ，将（1.3.2）式可以写成：

(1.3.3)

其中M为系统质量之总和。（1.3.3）和（1.3.1）式，可得：
。因此，系统的运动方程立即可降低6价。
§1.4角动量守恒
将方程（1.1.1）两端乘，并将i求和：

(1.4.1)
同样由于项与之和为零，故上式
右端总和也为零，积分后得：

(1.4.2)

称为角动量积分常数。由此可见通过系统的质心作一个平面垂直于，该平面不随天体运动而改变，故称不变平面，对于太阳系，过太阳的这一平面称为拉普拉斯不变面。
§1.5能量积分
将运动方程两端点乘并对i求和：

(1.5.1)

(1.5.2)
故(1.5.2)式右端是，积分后得：

(1.5.3)

E为积分常数，上式左端为系统的总动能T，可将(1.5.3)写作：T—U=E，故(1.5.3)式的物理意义是能量守恒。至此，我们得到三个动量积分(1.2.1)，三个质心运动积分(1.3.2),三个角动量积分(1.4.2)和一个能量积分，(1.5.3)共十个积分，这十个积分称作N体问题的首次积分，利用这十个首次积分可将低N体问题运动方程的价数。

§1.6 二体问题运动方程
二体问题是天体力学中N=2时唯一能得到完全解的一个动力系统二体问题又往往是多体问题和复杂运动的一级近以，它是研究 天体运动的一个基础，故是天体力学中一个基本问题。
设有两个天体P1 和P2 ，它们的质量分别是M，m,, 根据相互的引力作用下，它们在惯性系的运动方程是：

(1.6.1)

这里，如将原点选择在质心O，如图（1-1），

根据质心的定义有，因此（1.6.1）式可写成：

(1.6.2)

（1.6.2）式是两组相互独立的二价常微分方程，每一组有三个二价常微分方程组成，其完全解应有六个独立积分。
根据（1.6.2）,相对的运动方程是：

(1.6.3)

（1.6.3）式也是三个二价常微分方程。可见对于二体问题，无论是相对质心的运动还是相对运动，其运动方程都是六价的，可列成如下的统一形式：

(1.6.4)

若是相对运动;若是相对质心的运动 （1.6.4）式的完全解
应该有六个独立积分。
第二章 限制性三提问题
§2.1 什么叫限制性三体问题
一般三体问题经过降价后，仍没有解决，并且连一个新的初积分都还没有找到。对于天体运动的实际问题，但大家采用数值方法或摄动方法找出问题的近以解。另外，又从理论上提出一些近以模型。这些模型当然是叁照天体具体情况提出的。试图通过解决一些近以的问题 促进一般问题的解决。限制性三提问题就是一种重要的近以模型。从本节开始，对这个问题的基本情况作些介绍。
先谈一下更广泛的限制性问题。在讨论天体或天体系统的运动时，应该考虑
所有的作用力。但是作用力是很难全部考虑完的，使全部找出后，运动方程也是无法解出的。就以n体问题为列，其中只考虑n个质点之间万有引力，运动方程也解不出来。主要困难在于运动方程的价数太高，很难用分析方法或定性方法
进行讨论。于是，邦加雷等人提出一种简化模型：只讨论一个天体的运动，而这个天体所受的作用力是以知的，可以用时间的已知函数来表示。这种类型的问题中已进行过大量研究的有：希耳问题，两个不动中心问题，多个不动中心问题，或法都问题，限制性三体问题等 。这里只介绍最后一个。
限制性三体问题是从太阳系实际情况提出来的。在太阳系中，有很多质量非常小的天体，如绝大多数小星行，卫星，流星等。根本不必考虑它们对其它天体的引力。由此抽象出下面一种力学模型：
三体m1 m2 m中，设m无穷小，认为它对m1 m2没有引力，只考虑m1 m2
的相互吸引力和对m的引力。研究此三体情况的运动规律，就叫做限制性三体问题。
§2.2 圆形限制性三体问题
2.2.1 运动方程
图（1-2）代表两个有限质量的
天体，通常称主星体，
O
P

y
x

图（1-2）
它们的质量分别是，它们绕质心o作运动。P代表小天体，其质量为m，m <<，为一固定坐标系，平面与的轨道平面重合，
在该坐标系中的位置分别用和表示之，至的
距离用表示，P点的引力为函数：

(2.2.1)

小天体P的运动方程：

(2.2.2)

P1，P2相对质心运动角速度n，侧有：

(2.2.3)

显然式(2.2.3)右端含之间t， 如果选用以n为角速度
的旋转坐标系o-xyz，使xy平面重合于平面，x轴始终指向P1 ，在该坐标系中P1，P2和P的位置分别是
根据坐标系变换

(2.2.4)
但 应该用新坐标表示，

(2.1.5)

（2.2.5)式也可以写成：

(2.2.6)

(2.2.7)

若令

(2.2.8)

侧运动方程(2.2.8)成为

(2.2.9)

(2.2.10)

习惯上质量较小的主星体的质量

(2.2.11)

是等效面：

(2.2.11)

2.2.2 Lagrange特解
运动方程(2.2.11)存在一组常数解，这时小天体相对旋转系位置不变，即。由

(2.2.12)

得到该组特解应满足：

(2.2.13)

(2.2.14)

由(2.2.13)第三式看出z=0，所以特解必在xy平面上第二式的解，可分两种情况：

(2.2.15)

将（2.2.15） 式代入(2.2.13)第一式得

(2.2.16)

故对应的特解应与，构成等边三角形，如图（1-3）的.显然

Lagrange平动点（1-3）图

称为等边三角形解。
，这时特解在x轴上，故可令 第一形式：

(2.2.17)

分别是两个奇点，容易看出（2.2.17）式分别在以及三区内有，且仅有一个实根，方程（2.2.18）有三个特解，它们在图（1-3）中分别以

(2.2.19)

其中是正实数。可用送代法解方程（2.2.19）.对于特解，有x<<，。故（2.2.13）式可以写成：

(2.2.20)

（2.2.20）式是x的五次方程，若令，代入（2.2.20）式得关于的一个五次方程：

(2.2.21)

由于0< <， 上式系数仅变号一次，根据笛卡尔判别法(2.2.21）仅有一个实根，将(2.1.21)式改写成：

(2.2.22)

其中，由（2.1.22）式可知当，通常是小量，故也为小量，由（2.2.22）式看出展成的幕级数形式：

=
(2.2.23)

其中等为待定系数得：

(2.2.24)

因此方程（2.2.20）的解为

(2.2.25)

在将v展开成幕级数，侧有

(2.2.26)

对于用同样的方法可求出：

(2.2.27)

将（2.2.26）和（2.2.27）式代入（2.2.21）便得的位置，它们与系统的质量比有关。称为直线解，五个特解总称Lagrange特解或Lagrange平动点。
2.2.3、雅可比积分和准则
由于运动方程（2.2.9）式中的显含自变量，故可将它的三个方程分别乘以相加后积分便得雅可比积分：

（2.2.28）

其中为小天体在旋转坐标系里的速度，C 为积分常数。利用固定坐标系与旋转坐标系的关系用固定坐标系表示为

（2.2.29）
对于太阳系，太阳，一大行星和构成一限制性三体问题，两次测得相对太阳的位置和速度代入（2.2.29）式，若积分常数C值不变，便可判定两次观测的是同一颗行星。这就是著名的Tisserand准则（蒂塞朗准则）。事实上很难节奏、直接测出，故首先将 ？？？？ 轨道近以为一个二体问题，应满足活力积分：

（2.2.30）
这里为 到太阳的距离，为 轨道半长径。（2.2.29）式中的为角动量h在z轴上方向的分量，故：

（2.2.31）
为 ？？ 轨道的偏心率和倾角。将（2.2.30） 和（2.2.31）代入（2.2.29）后得：

（2.2.32）
是 ?????? 到木星的距离，选择适当的观测时刻使接近，

（2.2.33）

侧有:

（2.2.34）
这表明，假如两次观测得到的 轨道根数

（2.2.35）
两次观测的是同一 ？？？？ 。显然这一判别方法是很粗鲁的。

2.24、零速度面
雅克比积分是在旋转坐标系中的能量积分，它也反映了在这种坐标系中小天体的速度与位置关系，利用这一关系可以限制小天体的运动区域。因为，所以，积分常数C，可由初始位置和速度确定。公式中等号表示极限的情况。对应的曲面：

（2.2.36）

？？？称为零速度面，在这一曲面上小天体的位能为常数，故也称等位面。由（2.2.36）看出C总是大于零的，其上限。不同的C值的不同而变化，它又限制了小天体的运动区域。为较简单明确地说明这些问题，以z=0，在XY平面上的零速度曲线为代表进行讨论，这时（2.2.36）式成为

（2.2.37）

由（2.2.37）式知零速度曲对称x轴，并且当或时。反之对于一个很大的C，也有三种情况。
（1）很大，曲线（2.2.37）可近以写成

（2.2.38）

这是一个以质心O为圆心，以为半径的圆。又从式可知这时，
在圆上满足; 在圆之外，是小天体可到达的区域。
在圆之内是小天体不可到达的区域.
（2），小天体接近主星体，曲线（2.2.37）近以成为

（2.2.39）

显然是一个以为圆心以为半径的圆。再由（2.2.39）式可得：

（2.2.40）

因而 在该圆之上满足，在该圆之外，是是小天体运动的禁区；在该圆之内，，是小天体的可到达区。
（3），小天体靠近主星体零速度曲线成为

（2.2.41）

是一个以为圆心，以为半径的圆。小天体的可运动区与禁止区同（2）所述。当C由大变小时，三条零速度线的半径r分别以

（2.2.42）

的速度变化，显然最大的外圆随C的变小而缩小，内部两个小圆随C的增加而扩大，当C的减小到某个值时，两小圆出现交点如图（1-4b）.这时两个小圆内部的可运动区或开始连通。当时，附近的运动区域，如图（1-4c）.C减小到时，内部不断扩大的 ？？？？？ 与外部的运动逐渐缩小近圆形区域交于点，于是内部的运动区域开始连通，如图（1-4d），C继续减小时，零速度曲线在点拉开成对称x轴的图形直至C小到，对称的图形仅在相连，如图（1-4e）等到时，上面所说的对称图形在点拉开后形成对称x轴的两条分封闭曲线，如图（1-4f），此时运动禁区分裂成相互不连通的两部分。C继续减小，直至C=时，零速度线收缩成两点除这两点外，全平面都是可运动区。
从上面的分析看，当实际的积分常数，处在附近的小天体不可能穿越零速度曲面而远离，这时我们称小天体是希尔稳定的。
上面所说五个交点也就是是前I前面所介绍的五个Lagrange特解。因为零速度曲面方程（4-75）可写成该曲面过某一点点的法线方程是：

（2.2.43）

常数，而在交点处法线方向不定，是该曲面的奇点，因而有 这正是Lagrange特解所满足的方程所以交点为平动点。
由前面的讨论可知，当系统的质量参数为一知时，平动点的位置可求出。是的函数.只要将代入零速度曲面方程（4-75）可得相应的常数，它们是：

（2.2.44）

第三章 椭圆形限制性三体问题
§3.1运动方程的推导
假如两个主星体p1， p2相对质心o的运动轨道是椭圆，根据第二章的结果，这时p1， p2相对运动的轨道也是椭圆，并且三个椭圆的偏心率相等。现在仍然引入一个旋转坐标系o-xyz，
xy平面与轨道平面重和，x轴始终指向p1，显然这是一个以z为旋转轴的非平均旋转系，期旋转角速度是，在该坐标系中p1位于（x1， 0， 0）， p2 位于（x2， 0， 0），此时x1，x2不再为常数，而有：

(3.1.1)

分别是p1，p2相对质心的椭圆轨道的半长径。
设t=0时x轴与固定坐标系轴重合，到时刻x轴旋转角，在旋转系中的（x， y， z）与固定系中的（） 之关系：

(3.1.2)
其中

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.5)

椭圆限制性问题中小天体在旋转坐标系里的运动方程：

(3.1.6)

若以两主星体p1，p2之间的距离r作为长度单位，可以得到一个旋转的波动坐标系，以表示天体在该坐标系的位置，与的关系是：

(3.1.7)

其中？？？。 再以f代替自变量t，引入算符：

(3.1.8)

由(3.1.8) 式得：

(3.1.9)

等表示对f求一价？？？？ 又因为

(3.1.10)

(3.1.11)

所以

(3.1.12)

其中

(3.1.13)

在波动坐标系里是常数，因为

(3.1.14)

(3.1.15)

将(3.1.15)式代入(3.1.13)式，并经过一定的整理后，得：

(3.1.16)

径向加速度。因为横向加速度，因此(3.1.16)式成为

(3.1.17)

上式乘以得：

(3.1.18)

(3.1.19)

(3.1.20)

由此可见，椭圆限制性问题的运动方程(3.1.20)与圆型限制性问题的运动方程(2.2.9)形式相同，但是由于中显含自变量f，雅克比积分不再存在。在波动坐标系里，椭圆限制性三体问题，仍然存在五个平动点。它们随坐标系一起波动。

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致 谢

时间飞逝，大学的学习生活很快就要过去，在这四年的学习生活中，收获了很多，而这些成绩的取得是和一直关心帮助我的人分不开的。
首先非常感谢学校开设这个课题，为本人日后从事计算机方面的工作提供了经验，奠定了基础。本次毕业设计大概持续了半年，现在终于到结尾了。本次毕业设计是对我大学四年学习下来最好的检验。经过这次毕业设计，我的能力有了很大的提高，比如操作能力、分析问题的能力、合作精神、严谨的工作作风等方方面面都有很大的进步。这期间凝聚了很多人的心血，在此我表示由衷的感谢。没有他们的帮助，我将无法顺利完成这次设计。
首先，我要特别感谢我的知道郭谦功老师对我的悉心指导，在我的论文书写及设计过程中给了我大量的帮助和指导，为我理清了设计思路和操作方法，并对我所做的课题提出了有效的改进方案。郭谦功老师渊博的知识、严谨的作风和诲人不倦的态度给我留下了深刻的印象。从他身上，我学到了许多能受益终生的东西。再次对周巍老师表示衷心的感谢。
其次，我要感谢大学四年中所有的任课老师和辅导员在学习期间对我的严格要求，感谢他们对我学习上和生活上的帮助，使我了解了许多专业知识和为人的道理，能够在今后的生活道路上有继续奋斗的力量。
另外，我还要感谢大学四年和我一起走过的同学朋友对我的关心与支持，与他们一起学习、生活，让我在大学期间生活的很充实，给我留下了很多难忘的回忆。
最后，我要感谢我的父母对我的关系和理解，如果没有他们在我的学习生涯中的无私奉献和默默支持，我将无法顺利完成今天的学业。

致 谢

四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。
回首四年，取得了些许成绩，生活中有快乐也有艰辛。感谢老师四年来对我孜孜不倦的教诲，对我成长的关心和爱护。
学友情深，情同兄妹。四年的风风雨雨，我们一同走过，充满着关爱，给我留下了值得珍藏的最美好的记忆。
在我的十几年求学历程里，离不开父母的鼓励和支持，是他们辛勤的劳作，无私的付出，为我创造良好的学习条件，我才能顺利完成完成学业，感激他们一直以来对我的抚养与培育。
最后，我要特别感谢我的导师刘望蜀老师、和研究生助教吴子仪老师。是他们在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，给了我很多解决问题的思路，在此表示衷心的感激。老师们认真负责的工作态度，严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅。他无论在理论上还是在实践中，都给与我很大的帮助，使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助，感谢他耐心的辅导。在论文的撰写过程中老师们给予我很大的帮助，帮助解决了不少的难点，使得论文能够及时完成，这里一并表示真诚的感谢。