2019届河南省高考模拟试题精编(九)理科数学(word版).doc

2019届河南省高考模拟试题精编(九)
理科数学
(考试用时：120分钟　试卷满分：150分)
注意事项：
1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z·＝(　　)
A.　　　　　　　　B．2　　　　　　C．1　　　　　D.
2．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＞a}，A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　)
A.升 B.升 C.升 D.升
4．已知几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的内切球的半径为(　　)

A. B. C. D.
5．已知实数3、m、依次构成一个等比数列，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为(　　)
A.或 B. C. D.或
6．2017年春节联欢晚会上五位中国书法家沈鹏、李铎、张海、苏士澍、孙伯翔书写了祝寿福、富裕福、健康安宁福、亲人福、向善福，若将这五个福排成一排，其中健康安宁福、亲人福不排两端，则不同的排法种数为(　　)
A．33 B．36 C．40 D．48
7．已知M(－4,0)，N(0，－3)，P(x，y)的坐标x，y满足，则△PMN面积的取值范围是(　　)
A．[12,24] B．[12,25] C．[6,12] D.
8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n(mod m)，例如11≡2(mod 3)．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于(　　)

A．21 B．22 C．23 D．24
9．今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有多少钱？(　　)
A．28 B．32 C．56 D．70
10．已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
12．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)＞f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)＜ex的解集为(　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.
14．若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)＝________.
15．已知数列{an}是首项为32的正项等比数列，Sn是其前n项和，且＝，若Sk≤4·(2k－1)，则正整数k的最小值为________．
16．已知点P是抛物线C：y2＝x上的定点(P位于第一象限)，动直线l：y＝－x＋m(m＜0)与抛物线C相交于不同的两点A，B，若对任意的m∈(－∞，0)，直线PA，PB的倾斜角总是互补，则点P的坐标是________．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2－sin B·sin C＝.
(1)求角A；
(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．
18．(本小题满分12分)龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3 000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示．该景区自2015年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12 000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：
(表一)

年龄
频数
频率
男
女
[0,10)
10
0.1
5
5
[10,20)
①
②
③
④
[20,30)
25
0.25
12
13
[30,40)
20
0.2
10
10
[40,50)
10
0.1
6
4
[50,60)
10
0.1
3
7
[60,70)
5
0.05
1
4
[70,80)
3
0.03
1
2
[80,90)
2
0.02
0
2
合计
100
1.00
45
55

(1)完成表一中的空位①～④，并在答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游客的人数；
(2)完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关；
(表二)

50岁以上
50岁以下
总计
男生

女生

总计

P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
(3)按分层抽样(分50岁以上与50岁以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上(含50岁)的人数为ξ，求ξ的分布列．
19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E­ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE＝DE＝2，F为线段DE的中点．
(1)求证：BE∥平面ACF；
(2)求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)当a＜0时，求f(x)的极值；
(3)求证：ln(n＋1)＞＋＋…＋(n∈N*)．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l：y＝x，圆C：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l与圆C的极坐标方程；
(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.
(1)求不等式f≥0的解集；
(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．
高考理科数学模拟试题精编(九)
班级：_________　　　　姓名：________________　　　　得分：_______

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

请在答题区域内答题

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13._________　14.__________　15._________　　　　16._________
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17.(本小题满分12分)

18.(本小题满分12分)

19.(本小题满分12分)

20.(本小题满分12分)
21.(本小题满分12分)

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．

高考理科数学模拟试题精编(九)
1-5BAABA 6-10BCCBA 11-12DB
13．答案：
14．答案：
15．答案：4
16．答案：P(3，)
17．解：(1)由cos2－sin B·sin C＝，得
－sin B·sin C＝－，(2分)
∴cos(B＋C)＝－，(4分)
∴cos A＝(0＜A＜π)，∴A＝.(6分)
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－bc≥(2－)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋)．(10分)
∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤4(＋1)，
即△ABC面积的最大值为4(＋1)．(12分)
18．解：(1)完成表(一)：15；0.15；7；8.(2分)
完成以下频率分布直方图：

因为年龄在30岁以下的频率为0.1＋0.15＋0.25＝0.5，以频率作为概率，估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的人数为12 000×0.5＝6 000.(6分)
(2)完成2×2列联表如下：

50岁以上
50岁以下
总计
男生
5
40
45
女生
15
40
55
总计
20
80
100
K2的观测值k＝＝≈4.040＜5.024，所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关．(8分)
(3)由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为10×0.2＝2人，50岁以下的人的人数为8人，故ξ的所有可能的取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P

(12分)
19．解：(1)证明：连接BD和AC交于点O，连接OF，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．因为F为DE的中点，所以OF∥BE.(2分)
因为BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，所以BE∥平面ACF.(4分)
(2)因为AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD.
因为ABCD为正方形，所以CD⊥AD.因为AE∩AD＝A，AD，AE⊂平面DAE，所以CD⊥平面DAE.
因为DE⊂平面DAE，所以DE⊥CD.所以以D为原点，以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2,0,0)，F(1,0,0)，A(2，0,2)，D(0,0,0)．
因为AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，所以AE⊥DE.
因为AE＝DE＝2，所以AD＝2.因为四边形ABCD为正方形，所以CD＝2，
所以C(0,2，0)．
由四边形ABCD为正方形，得＝＋＝(2,2，2)，所以B(2,2，2)．(6分)
设平面BEF的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，又知＝(0，－2，－2)，＝(1,0,0)，由⇒令y1＝1，得x1＝0，z1＝－，所以n1＝(0,1，－)．(8分)
设平面BCF的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，又知＝(－2,0，－2)，＝(1，－2，0)，
由⇒令y2＝1，得x2＝2，z2＝－2，所以n2＝(2，1，－2)．(10分)
设平面BCF与平面BEF所成的锐二面角为θ，又cos〈n1，n2〉＝＝＝，则cos θ＝.
所以平面BCF与平面BEF所成的锐二面角的余弦值为.(12分)
20．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵椭圆的左焦点为F1(－2,0)，∴a2－b2＝4.(2分)
∵点B(2，)在椭圆C上，∴＋＝1.
解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2)依题意点A的坐标为(－2，0)，设P(x0，y0)(不妨设x0＞0)，则Q(－x0，－y0)，由得x0＝，y0＝，∴直线AP的方程为y＝(x＋2)，直线AQ的方程为y＝(x＋2)，
∴M，N，(8分)
∴|MN|＝|－|＝，设MN的中点为E，则点E的坐标为，则以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝，即x2＋y2＋y＝4.令y＝0得x＝2或x＝－2，即以MN为直径的圆经过两定点P1(－2，0)，P2(2,0)．(12分)
21．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)＋，∴f′(x)＝＋＝.(2分)
∵f(0)＝0，f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(4分)
(2)f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，f′(x)＝，∵a＜0，∴当x∈(－1，－a－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－a－1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)的极小值为f(－a－1)＝a＋1＋ln(－a)，无极大值．(8分)
(3)证明：由(2)知，取a＝－1，f(x)＝ln(x＋1)－≥f(0)＝0.
当x＞0时，ln(x＋1)＞，取x＝，
得ln＞＞.(10分)
∴ln＋ln＋…＋ln＞＋＋…＋
⇔ln＞＋＋…＋，
即ln(n＋1)＞＋＋…＋.(12分)

22.解：(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝1，(1分)
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，(3分)
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.(5分)
(2)将θ＝代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，得ρ2＋3ρ＋4＝0，
解得ρ1＝－2，ρ2＝－，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝，(8分)
∵圆C的半径为1，∴△CMN的面积为××1×sin＝.(10分)
23．解：(1)由f＝4－|x＋|－|x－|≥0，
得|x＋|＋|x－|≤4.(1分)
当x＜－时，－x－－x＋≤4，解得x≥－2，∴－2≤x＜－；当－≤x≤时，x＋－x＋≤4恒成立，
∴－≤x≤；当x＞时，x＋＋x－≤4，解得x≤2，
∴＜x≤2.
综上，|x＋|＋|x－|≤4，
即f≥0的解集为[－2,2]．(5分)
(2)令a1＝，a2＝，a3＝.
由柯西不定式，得·(a21＋a22＋a23)≥2＝9，即(3p＋2q＋r)≥9.
∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥，(8分)
当且仅当＝＝＝，即p＝，q＝，r＝时，取等号．
∴3p＋2q＋r的最小值为.(10分)

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