2022高考数学一轮复习-课时规范练37-空间几何体的表面积与体积北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练37 空间几何体的表面积与体积北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练37 空间几何体的表面积与体积北师大版

年级：
姓名：

课时规范练37　空间几何体的表面积与体积
基础巩固组
1.(2020湖北武汉模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CD的中点,则三棱锥A-BC1M的体积为(　　)

A.12 B.14 C.16 D.112
2.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)
A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π
3.某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是(　　)

A.23π+6 B.116π
C.113π D.23+6π
4.(2020山东潍坊二模,7)在四面体ABCD中,△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形,已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上,且AD是该球的直径,则四面体ABCD的体积为(　　)
A.224 B.212 C.26 D.24
5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球半径为(　　)

A.2 B.3 C.5 D.22
6.(2020广东高三一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,若P,Q分别在AA1,CC1上,且AP=13AA1,CQ=13CC1,则四棱锥B-APQC的体积是(　　)
A.16V B.29V C.13V D.79V
7.如图是某几何体的三视图,其中网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为(　　)

A.12 B.15 C.403 D.503

8.(2020江苏,9)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　cm3. 
9.(2020河北张家口期末)四面体ABCD中,BC=CD=BD=22,AB=AD=2,AC=23,则四面体ABCD外接球的表面积为　　　　　. 
综合提升组
10.(2020河北唐山一模,文11)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,PA⊥底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=2,若球O的表面积为36π,则PA=(　　)
A.2 B.6 C.31 D.33

11.如图,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,则四面体P-AEF的高为(　　)
A.13 B.23 C.34 D.1
12.(2020全国3,文16)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　　. 
创新应用组
13.(2020宁夏六盘山高级中学模拟)已知点M,N,P,Q在同一个球面上,MN=3,NP=4,MP=5,若四面体MNPQ体积的最大值为10,则这个球的表面积是(　　)
A.25π4 B.625π16
C.225π16 D.125π4

参考答案

课时规范练37　空间几何体的
表面积与体积
1.C　由题得,VA-BC1M=VC1-ABM=13S△ABM·C1C=13×12AB×AD×C1C=16,故选C.
2.C　设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分,可知OA=OB=OC=OD.
∴点O到四面体的四个顶点A,B,C,D的距离相等,即点O为四面体的外接球的球心.∴外接球的半径R=OA=52.
故V球=43πR3=1256π.故选C.
3.B　由三视图知几何体是左边为一半圆锥,右边为半圆柱的组合体,且圆锥与圆柱的底面圆直径为2,圆柱的高为3,圆锥的高为2,∴几何体的体积V=V半圆柱+V半圆锥=12π×12×3+12×13π×12×2=116π.
4.B　设球心为O,则O为AD的中点,由题意AB=AC=BC=BD=CD=1,∠ABD=∠ACD=90°,

OB=OC=OD=22,BO⊥AD,BO⊥OC,∴BO⊥平面ACD,
∴四面体ABCD的体积为VB-ACD=13×S△ACD×BO=13×12×2×22×22=212.故选B.
5.C　由三视图可知三棱锥的直观图如图:

由三视图可知底面三角形是边长为2,顶角120°的三角形,所以外接圆半径可由正弦定理得2r=2sin30°=4,由侧面为两等腰直角三角形,可确定出外接圆圆心,利用球的几何性质可确定出球心,且球心到底面的距离d=1,所以球半径R=d2+r2=5,故选C.
6.B　在棱BB1上取一点H,使BH=13BB1,连接PH,QH,

由题意S△PHQ=S△ABC,BH⊥平面PHQ,所以VB-PHQ=13S△PHQ·BH=13S△ABC·13BB1=19V,VABC-PHQ=S△ABC·BH=S△ABC·13BB1=13V,
所以VB-APQC=VABC-PHQ-VB-PHQ=13V-19V=29V.故选B.
7.

D　由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥,其高h为5,
底面四边形为正方形去掉两个直角三角形,面积S=16-12×4×2-12×2×2=10.
体积V=13Sh=503.故选D.
8.123-π2　本题考查棱柱和圆柱的体积.
∵底面正六边形的面积S正六边形=6×12×2×2×sin60°=63,圆柱底面圆的面积S圆=π·122=π4,
∴六角螺帽毛坯的体积V=63-π4×2=123-π2.
9.12π　取AC的中点为E,在△ABC中,BC=22,AB=2,AC=23,故BC2+AB2=AC2,所以△ABC为直角三角形,同理可得△ADC为直角三角形,
则能得到BE=DE=3,同时AC=23,E为中点,所以AE=CE=3,
所以E为外接球的球心,且半径为3,
所以四面体ABCD外接球的表面积为4π(3)2=12π.
10.C　设球O的半径为R,则4πR2=36π,解得R=3.
设底面ABCD外接圆的半径为r,则由圆的内接四边形的性质可知∠B+∠D=180°.
又AB=AD=1,BC=DC=2,AC=AC.故△ABC≌△ADC.
故∠B=∠D=90°.
故AC=12+22=5=2r.
故PA=(2R)2-(2r)2=36-5=31.故选C.
11.

B　如图,由题意可知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,∴VA-PEF=13S△PEF·PA=13×12×1×1×2=13,设P到平面AEF的距离为h,又S△AEF=22-12×1×2-12×1×2-12×1×1=32,
∴VP-AEF=13×32×h=h2,
∴h2=13,故h=23,故选B.
12.2π3　(方法一)由题意可知圆锥轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.
如图,SB=3,BC=1,SC=SB2-BC2=22.

设该球内切于母线SB,切点为点D.
令OC=OD=R,由△SOD∽△SBC得ODBC=SOSB,即R1=22-R3,解得R=22.因此V球=43πR3=43π·223=2π3.
(方法二)由题意可知该圆锥的轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形,其内切圆为该球的大圆.
该三角形的周长为8,面积为22,由于三角形面积S,周长C和内切圆半径R的关系为S=CR2,即R=2SC=22,故该球的体积为V球=43πR3=43π·223=2π3.
13.

B　由MN=3,NP=4,MP=5,可知∠PNM=90°,则球心O在过PM中点O'与面MNP垂直的直线上,因为MNP面积为定值,所以高最大时体积最大,
根据球的几何性质可得,当O'Q过球心时体积最大,
因为四面体Q-MNP的最大体积为10,
所以13×S△MNP×O'Q=13×12×3×4×O'Q=10,可得O'Q=5,
在△OO'P中,OP2=OO'2+O'P2,则R2=(5-R)2+254,得R=258,
故球的表面积为4π×2582=625π16,故选B.