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2022届高考数学一轮复习 第八章 8.6 空间向量及其运算课时作业

2022届高考数学一轮复习 第八章 8.6 空间向量及其运算课时作业

年级：
姓名：

课时作业45　空间向量及其运算
[基础达标]
一、选择题
1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　)

A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
2．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有6＝＋2＋3，则(　　)
A．O，A，B，C四点共面B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面D．O，P，A，B，C五点共面
3．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝(　　)
A.a－b＋cB．－a＋b＋c
C.a＋b－cD.a＋b－c
4．已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为(　　)
A．平行四边形B．梯形
C．长方形D．空间四边形
5．[2021·日照调研]已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C点的坐标为(　　)
A．(，－，) B．(，－3,2)
C．(，－1，) D．(，－，)
二、填空题
6．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.
7．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值为________．
8．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．
三、解答题
9．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．

10．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)·；
(3)EG的长．

[能力挑战]

11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.

课时作业45
1．解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．故选B.
答案：B
2．解析：由6＝＋2＋3，
得－＝2(－)＋3(－)，即＝2＋3，故，，共面，又它们有公共点P，因此，P，A，B，C四点共面，故选B.
答案：B
3．解析：显然＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故选B.
答案：B
4．解析：由·>0，·>0，·>0，·>0，可得四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，∠ADC和∠BAD均为钝角．而在平面四边形中任一四边形的内角和均为360°，知该四边形一定不是平面图形．故选D.
答案：D
5．解析：由题意知2＝，设C(x，y，z)，则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
∴∴即C(，－1，)，故选C.
答案：C
6．解析：如图所示，

＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．
答案：(b＋c－a)
7．解析：因为(a＋λb)⊥a，
所以(a＋λb)·a＝a2＋λb·a＝()2＋λ×(0＋1＋0)＝0，解得λ＝－2.
答案：－2
8．解析：cos〈a，b〉＝＝－.
答案：－
9．解析：(1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
所以cos〈，〉＝＝＝＝，
所以sin〈，〉＝，
所以以，为边的平行四边形的面积：
S＝2×||||sin〈，〉＝14×＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
由题意得解得或
所以a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
10．解析：设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
(1)·＝·(－a)
＝a2－a·c＝.
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
11.

证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，
CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∵∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°，
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，
∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
由即
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.又CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)解法一　由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)，
设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)，
由即
令x0＝1，得m＝(1,0，)，
又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)，
∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0，
∴平面PAB⊥平面PAD.
解法二　取AP的中点E，连接BE，
则E(，2,1)，＝(－，2,1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥.∴BE⊥DA.
又PA∩DA＝A，
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.