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2022届高考数学一轮复习 第三章 3.2.2 利用导数研究函数的极值、最值课时作业

2022届高考数学一轮复习 第三章 3.2.2 利用导数研究函数的极值、最值课时作业

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姓名：

课时作业15　利用导数研究函数的极值、最值
[基础达标]
一、选择题
1．函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是(　　)

A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
2．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．25，－2B．50,14
C．50，－2D．50，－14
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A．－4B．－2
C．4D．2
4．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则(　　)
A．0<b<1B．b<1
C．b>0D．b<
5．[2021·武昌区高三年级调研考试]已知函数f(x)＝xex－lnx－x－2，g(x)＝＋lnx－x的最小值分别为a，b，则(　　)
A．a＝bB．a<b
C．a>bD．a，b的大小关系不确定
二、填空题
6．函数f(x)＝x2＋x－2lnx的最小值为________．
7．已知函数f(x)＝x3－3ax＋b的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是________．
8．函数f(x)＝(x2－x－1)ex(e＝2.718…是自然对数的底数)的极值点是________；极大值为________．
三、解答题
9．若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a，b的值．
(2)设函数g(x)的导数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

10.[2021·广东五校联考]已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

[能力挑战]

11．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]若函数f(x)＝(x－1)ex－ax(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A.B．(－∞，0)
C.D．(0，＋∞)
12．[2021·安徽省部分重点校高三联考试题]已知函数f(x)＝ax－lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2，…，xn∈[1，e]，使得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn－1)＝f(xn)，则正整数n的最大值为(　　)
A．2B．3
C．4D．5
13．[2021·开封市高三模拟考试]设点P为函数f(x)＝lnx－x3的图象上任意一点，点Q为直线2x＋y－2＝0上任意一点，则P，Q两点距离的最小值为________．

课时作业15
1．解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，故选C.
答案：C
2．解析：∵f(x)＝2x3＋9x2－2，∴f′(x)＝6x2＋18x.当x∈[－4，－3)或x∈(0,2]时，f′(x)>0，f(x)为增函数．当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4,2]上的最大值和最小值分别是50，－2，故选C.
答案：C
3．解析：由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
答案：D
4．解析：f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b<0.∴b>0.f′(1)＝3－3b>0，∴b<1.综上，b的取值范围为0<b<1，故选A.
答案：A
5．解析：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，因为x<0时，0<ex<1，x≥0时，ex≥1，所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以ex≥x＋1，
所以f(x)＝xex－lnx－x－2＝elnx·ex－lnx－x－2＝ex＋lnx－(x＋lnx)－2≥x＋lnx＋1－(x＋lnx)－2＝－1＝a，
g(x)＝＋lnx－x＝x－1·ex－2＋lnx－x＝e－lnx＋x－2＋lnx－x≥x－lnx－2＋1＋lnx－x＝－1＝b，所以a＝b，故选A.
答案：A
6．解析：因为f′(x)＝x＋1－＝(x>0)，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝＋1＝.
答案：
7．解析：因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以a>0，
由f′(x)＝3x2－3a＝3(x－)(x＋)，可得a＝1，
由f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处取得极小值2，
可得1－3＋b＝2，故b＝4.
所以f(x)＝x3－3x＋4的极大值为f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.
答案：6
8．解析：由已知得f′(x)＝(x2－x－1＋2x－1)ex＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，
因为ex>0，令f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝1，
当x<－2时，f′(x)>0，即函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
当－2<x<1时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间(－2,1)上单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，即函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)的极值点为－2或1，且极大值为f(－2)＝.
答案：1或－2　
9．解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x，
则g′(x)＝f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，
所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，
即函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g′(x)<0，当－2<x<1时，
g′(x)>0，∴x＝－2是g(x)的极值点
当x>1时，g′(x)>0，
所以1不是g(x)的极值点．
∴g(x)的极值点是－2.
10．解析：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.
当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
所以f(x)max＝f(1)＝－1.
所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－，
令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，所以f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2，
因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
11．解析：由题意得f′(x)＝exx－a，因为函数f(x)＝ex(x－1)－ax有两个极值点，所以f′(x)＝0有两个不等根，即a＝exx有两个不等根，所以直线y＝a与y＝exx的图象有两个不同的交点．令g(x)＝exx，则g′(x)＝ex(x＋1)．当x<－1时，g′(x)<0，当x>－1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，当x＝－1时，g(x)取得最小值，且最小值为－.当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0，则可得函数g(x)的大致图象，如图所示，则－<a<0，故选A.

答案：A
12．解析：f′(x)＝a－，∵x∈[1，e]，∴∈.
当a≤时，f′(x)≤0，所以f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝∉，不合题意，舍去；
当<a<1时，令f′(x)＝0得x＝，当1≤x<时，f′(x)<0，当<x≤e时，f′(x)>0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝1－ln＝3，解得a＝e2∉，不合题意，舍去；
当a≥1时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝a＝3≥1，符合题意．
综上可知，a＝3.
所以f(x)＝3x－lnx，x∈[1，e]，所以f(x)max＝f(e)＝3e－1，f(x)min＝f(1)＝3.
要想存在x1，x2，x3，…，xn∈[1，e]，使得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn－1)＝f(xn)，且正整数n最大，则f(x1)＝f(x2)＝…＝f(xn－1)＝f(x)min，f(xn)＝f(x)max，则3(n－1)≤3e－1，解得n≤e＋，又n∈N*，所以n≤3，从而n的最大值为3，故选B.
答案：B
13．解析：由题意知，当函数f(x)的图象在点P(x0，y0)处的切线l1与直线l2：2x＋y－2＝0平行，且PQ⊥l2时，P，Q两点之间的距离最小．因为f(x)＝lnx－x3，所以f′(x)＝－3x2，所以－3x＝－2，解得x0＝1，所以y0＝－1，故切线l1的方程为2x＋y－1＝0.由两平行直线之间的距离公式可得切线l1与直线l2之间的距离d＝＝，故P，Q两点距离的最小值为.
答案：