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基于傅里叶和小波变换的电网谐波检测方法研究
摘要
本文通过对构建的谐波信号模型用傅里叶变换、小波变换、小波阈值 去噪以及基于傅里叶和小波变换相结合的谐波检测方法进行仿真，仿真结 果说明：
傅里叶变换的双峰谱线修正算法利用被检测频率点左右两侧的最大和 次最大的离散频谱谱线幅值可求出各次稳态谐波的幅值和频率。
小波变换通过用低通滤波器和高通滤波器可将信号分解成高频部分和 低频部分，经过多次分解，从而得到各次谐波的时域和频域大致信息。
小波和傅里叶变换相结合的谐波检测算法首先利用小波变换得到重构 后的稳态分量和衰减分量，接着对稳态分量用双峰谱线修正算法计算得到 各次谐波的幅值和频率。
小波去噪和傅里叶变换相结合的谐波检测算法首先利用小波阈值去噪 方法去除信号中的噪声，接着对去噪后的信号用双峰谱线修正算法计算得 到各次谐波的幅值和频率。
实验结果表明傅里叶变换能够反映出信号的频域信息，而小波变换通 过其时频特性，可以得到信号的时频特性图，对信号的突变点检测和去除 噪声具有较好的效果。结合这两种算法的优势，首先利用小波变换提取信 号中的突变点和去除噪声，接着利用FFT能够准确地检测信号中的各次稳 态谐波的幅值和频率。
关键词：谐波检测小波去噪小波变换傅里叶变换
THE
CHARM BASED 丨
ONIC DETECTION
ON FOURIER AND
TRANSFORM
IN POWER GRID WAVELET
ABSTRACT
Through the establishment of the harmonic signal model, The Harmonic detection method based on combining Fourier transform and Wavelet transform^ Fourier transform、Wavelet transform^ Wavelet threshold denoising is using to analysis the model. The simulation results are described bellow.
The amplitudes and frequency of harmonics can be obtain from the two neighboring spectral lines in the Fourier transform bimodal spectral correction algorithm which use weighted average of two lines to correct the amplitude.
In Wavelet transform, The signal is divided into high frequency and low jfrequency by low-pass filter and high-pass filter. Through multiple decomposition, All the the time domain and frequency domain approximate information of harmonics can be obtain.
In Harmonic detection method based on combining Fourier transform and Wavelet transform, the reconstructed steady-state component and damping component can be obtain by Wavelet transform, then by using Fourier transform bimodal spectral correction algorithm to analyze the signal of which has steady-state component to extract the harmonic amplitude and frequency.
In Harmonic detection method based on combining Wavelet denoising and Fourier transform, the noises of signals can be reduced by Wavelet threshold denoising, then by using Fourier transform bimodal spectral correction algorithm to analyze the signal of which has been reduced noises to extract the harmonic amplitude and frequency.
The results show that the Fourier transform can reflect the signal in the
v

frequency domain information, and time-frequency localization characteristics of Wavelet transform can extract the signal time frequency characteristics at the same time. It has very good ability to analyze the mutation point of signal and reduce the noise in the signal. The Combination of these two algorithms. First, the mutation point of signal can be detected and the noise of signal can be reduced by Wavelet transform, then by using Fourier transform to analyze the steady-state signal to extract the harmonic amplitude and frequency.
Key words: Harmonic detection; Wavelet denosing; Wavelet transform;
Fourier Transform;
#

目录
m ^ v
ABSTRACT V
第一章绪论 1
1.1 弓 IW 1
1.2谐波检测方法的研究现状 1
1.3本文主要研究的内容 6
第二章基于傅里叶变换谐波检测方法的理论分析 8
2.1周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换 8
2.2离散傅里叶变换 9
2.3离散傅里叶变换的谐波检测 10
2.4频谱分析中的问题 11
2.4.1频谱混叠失真以及抗频谱混叠失真研究 11
2.4.2栅栏效应问题以及减少栅栏效应的研究 11
2. 4. 3频谱泄露及抑制方法的研究 12
2.5窗函数的特性研究 13
2.5. 1窗函数的种类 13
2.5.2窗函数的特性 13
2.6加窗插值FFT算法 17
2. 6.1算法原理 18
2.7本章小结 20
第三章基于小波变换谐波检测方法的时频分析 21
3.1小波变换的基本原理 21
3. 2连续小波变换 21
3.3离散小波变换 22
3.4小波基函数 23
3.4. 1常用小波基函数介绍 23
3.4.2小波基函数的选择 26
3.5多分辨分析与Mallat算法 27
3.5.1分解层数的确定 27
3.5.2多分辨分析 28
3. 5. 3 Mallat 算法 29
3. 6小波去噪原理 31
3. 6. 1信号去噪性能的评价标准 31
3. 6.2基于小波变换的信号去噪 32
3. 7本章小结 34
第四章谐波检测方案的实现过程 35
4. 1基于傅里叶双峰谱线修正算法的谐波检测方法 35
4. 2基于小波变换的电力谐波仿真分析 39
4.3傅里叶变换与小波变换的比较 41
4.4傅里叶与小波变换相结合对含暂态分量信号进行仿真分析 42
4.5小波去噪的软硬阈值改良折衷法 47
4. 6小波去噪和傅里叶变换相结合对含噪信号进行仿真分析 50
4.7本章小结 53
第五章总结与展望 54
5. 1全文总结 54
5- 2后续工作展望 55
参考文献 56
麵 59
攻读学位期间发表的学术论文 60

广西大学碩士学位论文 基于傅里叶和小波变换的电网谐波後测方法研究

第一章绪论
1.1引言
在电网实际运行中，电压和频率可能与额定值产生偏差，波形也会发生一定的 畸变，因而会产生大量谐波。“谐波会降低变压器、断路器、电缆等的系统容量；谐 波会降低发电、输电和用电的效率；使电气设备绝缘老化，从而缩短使用寿命•，谐 波含量会因并联和串联谐振而被放大；谐波可能引起系统或设备的误动作；谐波会 严重干扰电子设备和电力系统的正常运行”[1]。所以对电力系统谐波进行分析，掌握 谐波的工作状况，对于减小谐波危害，实现电网的稳定运行是十分必要的。
电网谐波是电力系统电能质量的重要指标之一，随着科学技术的发展，电力系统产 生的谐波越来越多，改善电能质量的关键就是要解决电力系统中的谐波问题。对谐波的 检测是电网稳定运行中的一项重要工作，是对电力系统暂稳态分析，继电保护等工作的 重要前提。准确、快速地检测出电力系统中的故障点，对于保证电网稳定运行、实现调 度自动化具有十分重要的意义。
1.2谐波检测方法的研究现状
随着科学技术的发展，出现了不同的谐波检测方法。由于不同的检测方法都各有其 优缺点，学者将其中的某两种检测方法结合起来，提高了检测结果精确度。“目前现有 的谐波检测方法主要有：傅里叶变换法、小波分析法、神经网络法[2]等”。
(1) 傅里叶变换法
1979 年，Vijay K. Jain[3]提出 了加矩形窗的 FFT(Fast Fourier Transformation)插
值理论算法，仿真实验结果说明，该算法具有较好的检测准确度，但需要较长的计 算时间，通常需要计算1024个样本和20个信号周期的时间。
1989 年，Gregorio Andria[<^出了加 Rife-Vincent 窗的 FFT 插值理论算法，该 算法减小了计算量，提高了谐波参数的结果分析准确度。与其它的谐波检测方法相 比，即使有较大的噪声干扰，该算法仍能获得较好的测量结果。
1994年，潘文等人[5]研究了加窗插值FFT的电力谐波检测理论，提出了用组 合余弦窗对采样信号进行加权计算，提成了一个减小谐波相互干扰因此造成误差的 方法，并推导出了谐波信号加窗后的频谱公式和余弦窗的频谱特性。
2002年，李达义等人[6]对电力系统谐波信号进行了仔细分析，推导出了基于连续 信号的傅里叶变换的各次谐波的计算公式，并得出了用来计算谐波系数的MATLAB函数
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FFT与该计算公式之间的关系。仿真结果证明了基于连续信号傅里叶变换的谐波系数计 算公式与FFT计算出系数关系的正确性。
2003年，祁才君等人[7)仔细研究了加窗插值FFT算法，得出窗函数的类型和 加窗宽度是影响加窗插值FFT算法计算结果精度的主要因素，并认为汉宁窗比较 适合检测电网信号，同时推导出了测量谐波各参数的计算公式。但该方法实时性较 差，分析窗宽度一般需要十几个信号周期。
2005年，黄纯等人[8]提出了矩形离散自卷积窗函数。历个矩形窗卷积运算生成讲阶 矩形自卷积窗，在零点处的阶导数其幅频特性均为0;谐波检测时，加这类窗可 以最大限度地减小各次谐波与基波之间的频谱泄漏；同时给出了适合新窗的插值算法， 并改进了插值算法的一些常规做法。该改进算法易于实现，能减小计算量和提高谐波分 析精度。仿真分析证明了其可行性和有效性。
2〇〇6年，刘敏等人[9]针对对谐波进行检测时很难做到整周期截断；因而造成的频 谱泄漏将影响谐波检测的效果，通过插值和加窗可以改善谐波分析的精度。比较了加余 弦窗与双峰谱线插值算法，通过推导得到了幅值和频率的修正公式，这些修正公式能够 进一步减小频谱泄露，提高谐波检测的准确性。仿真结果证明了算法的易实现性与准确 性。
2007年，李益华等人[1°]用傅里叶和小波变换对电网谐波进行检测，加窗傅里叶插值 算法具有实现简单、检测精度高、使用方便且功能多的优点，但计算量大，实时性不够 好；小波分析实时性好，能够获取较精确的谐波参数，但是对于谐波的参量很难获得准 确的数值，并且小波基函数的选择没有固定的方法。
2008年，胡振华等人[11]提出了一种基于五项Rife-Vinvent窗插值算法的谐波参数计算 方法，该方法很好地从主瓣宽度、最大旁瓣和旁瓣衰减速度3个角度进行优化，得到窗 函数的表达式。实验结果证明了该算法比之前的三，四项余弦窗更好地抑制了栅栏效应 和频谱泄露，进一步提高了谐波参数的精确度。
2009年，Chen Chimling[i2]等人提出用小波阈值去噪方法对含噪声的谐波信号进行去 噪处理，接着再利用傅里叶变换对去噪后的信号进行分析，最后得到各次谐波参数。仿 真检测结果表明小波去噪后的谐波波形接近于原始信号谐波波形，提高了信噪比和减少 了均方根误差，用FFT对去噪后的信号进行分析更能得到准确的结果。
2009年，方磊等人[13]研究发现利用傅里叶变换进行谐波检测时因为频谱泄露，检测 结果存在较大的误差，直接影响了检测结果的准确性。通过加窗插值算法可以提高谐波 检测结果的准确度。根据电力系统谐波特点选择了合适的窗函数以及插值修正公式。 MATLAB仿真结果表明，加窗插值算法具有实现简单、检测精度高、功能多的优点。同 时也验证了该改进算法的易实现性和有效性。
2009年，Luis J. (：〇11〇2〇[14]提出了运用动态向量法和加窗傅里叶变换去检测电网谐波 信号，推导出加窗插值算法的频率、幅值、相位修正公式，用所得的修正公式对傅里叶 变换得到的结果进行修正从而得到精确的结果，使用基于时变傅里叶变换的动态相量法 进行谐波信号的建模，通过该方法很好的观察到谐波的动态特征，并知道了在噪声千扰 下傅里叶变换的结果会出现误差。
2010年，任组华[15]基于加窗插值算法的原理，给出了基于矩形窗、布莱克曼窗、汉 宁窗、4项布莱克曼-哈里斯窗和5项Rife_VinCent窗函数的同步偏差计算公式，以及相应 的电力谐波频率、幅值和相位的修正公式。对于需要求解高阶方程才能得到修正公式的 窗函数，采用了多项式逼近的方法去逼近，大大减小了计算量。通过MATLAB仿真表明， 对这几种窗函数的参数估计精度和修正公式进行分析和对比，验证了算法的有效性。
2011年，刘旭东等人[16]研究发现采用傅里叶变换进行电网谐波检测时很难做到整周 期截断和同步采样，因而会造成频谱泄漏，影响谐波检测结果的准确度。并对快速傅里 叶造成的频谱泄漏的原因进行了分析，并研究组合余弦窗对采样数据进行加权以及采用 插值算法对快速傅里叶的结果进行修正。通过对卷积窗的谐波理论研究与分析，提出了 基于组合余弦窗的卷积窗的加窗算法。文中给出了该算法进行谐波检测的算例，仿真结 果表明，该窗的算法具有很高的精确度。
2011年，Shouxi Zhu和Wenlai Ma[m结合小波变换分析非稳态谐波的优势和傅里叶变 换分析稳态谐波的特点，提出了先利用小波多分辨分析检测算法对信号进行离散小波分 解，再对各子带信号作加窗傅里叶变换，从而得到各子带上时间信号的幅值、频率。
2011年，周琍[18]提出了加六项余弦窗傅里叶插值算法的谐波参数计算新方法，得到 了插值系数的频率、相位和幅值修正公式。提出的谐波分析方法具有分析精度高，插值 修正公式简单的优点。仿真结果表明，该算法能够准确测量电力系统谐波。
综上所述，当分析电力系统稳态谐波时，大都采用傅里叶变换，该方法能够反映整 个谐波信号的频谱特征，对于稳态谐波具有准确的分辨能力，可以直观地观察到各次稳 态谐波的幅值和频率信息，是电力系统谐波检测的有力工具。当谐波检测出现频谱泄漏 时，这会影响傅里叶算法的谐波检测精度。为提髙傅里叶算法的检测精度，提出加窗插 值FFT算法，其原理是通过插值运算消除栅栏效应，通过加窗运算减少频谱泄漏。因此， 窗函数的选择对于谐波检测结果准确性的提高具有重要作用。但是通过傅里叶变换检测 得到的结果是谐波信号在整个时域内的平均，无法给出局部时间内的频谱特征信息，即 不具有时间局部性，因此不适合检测频谱随时间变化的非平稳信号。在实际的谐波检测 过程中，对非平稳信号的检测是很重要的。对于一些暂态非平稳信号，如设备故障信号、 含噪声的电力谐波，仅从频域上来分析是不够的。
(2) 小波变换法
2002年，Min Li[19]采用基于提升小波变换的检测方法，通过提升小波变换进行谐波 分量提取、间谐波检测、谐波变化跟踪、信号奇异性检测、基频检测，并与传统小波变 换作比较，给出了计算误差比较结果。仿真结果说明提升小波变换用于电力信号谐波检 测具有一定的可行性和优越性。
2002年，T. Boonseng等人[2°]为快速有效检测含暂态分量的非平稳谐波与间谐波， 采用了小波变换的方法，该方法使用Morlet函数作为小波变换的小波基函数，根据小波 变换的特点来计算谐波与间谐波的幅值与频率，仿真结果表明，用小波变换分析谐波与 间谐波能够准确地计算出谐波的幅值与频率。
2002年，Chakravarthy Kopparapu[2”提出运用小波变换来计算谐波的电压和电流， 由于小波变换是按频带而不是按频率点的方式分析频域信息，因此信号频率的微小波动 不会对信号处理结果产生很大的影响。通过仿真实验结果表明，小波变换能在电能质量 存在扰动的情况下实现对谐波的电压和电流的监测。
2002年，Wang Jianze等人[22]针对含噪声的谐波信号，提出了具有不变平移特性的 小波变换的去噪方法，分别运用小波变换，小波包变换对含噪的谐波信号进行检测，仿 真实验结果表明，对信号频带均匀划分的小波包变换具有更好的去噪效果。
2003年，马振国等人[23]采用了小波多分辨率分析进行电网谐波检测的方法，并对重 构后的信号进行了谐波补偿。受扰信号经小波分解形成多频带分量，能够确知干扰发生 时刻及受扰程度；选取频带信号，经重构后产生补偿分量，可用于补偿受扰信号。针对 电压暂降、暂态干扰及电力谐波，应用db小波进行多分辨率分析。仿真表明所采用的方 法在时域和频域具有良好的检测性能，能够刻画出信号的奇异性变化。
2003年，ZhouWenhui[2<]采用了一种改良后的小波变换来检测电网谐波的方法，该 方法可以得到准确的频率分辨率，显示所有频段。该方法克服了传统的时域限制，根据 小波变换具有优良的时频局部信号检测属性，能够检测变化的电压信号。此外，这种方 法相对于傅里叶变换具有较高的时频分辨率，能够克服二进小波变换的局限性。能在含 有高频率和具有暂态特性的谐波中检测其截止频率，该方法还适用于检测间谐波和时间 变化的信号。仿真结果证明该方法是可行和有效的。
2004年，Tianjun Du和Guangju Chen[25]采用了一种频域插值小波变换去分析电力 系统谐波的方法，该方法选择Shannon小波去分析整数倍谐波，仿真实验结果表明 该方法可以有效地消除吉布斯现象，频谱泄漏和频谱混叠，可以精确地分析谐波信号， 该方法为电力系统谐波分析和检测提供了一个有效的方法。
2006年，黄文清[26]采用了小波包对谐波进行检测，该算法通过选择合适的分解层数 和采样频率，可以得到所需要的高频部分和低频部分时频波形，作者选择了 Daubechies20 小波基函数。仿真结果显示，选择该小波函数能够很好地减少频谱泄露，提高频谱分析 准确度。
2009年，李祥兵和肖合林[27]针对基于软阈值和硬阈值函数的小波阈值去噪算法处理 含噪声信号存在着信噪比较小和方差过大的缺点，为解决这一问题，采用了基于软硬阈 值折衷的小波阈值去噪算法。并用matlab对四种常用的信号去噪效果进行了仿真。仿真 实验结果说明了基于软硬阈值折衷去噪算法的有效性和优越性。
2009年，龚静[28]针对傅里叶变换只能从信号的时域或频域检测信号，不能将两者有
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效地结合起来，也就是傅里叶变换在信号检测时面临着时域与频域的局部化矛盾，采用 了运用db8小波对原始信号进行4层小波分解，根据小波的频带划分特性，实现了各次谐 波的分离、准确检测谐波出现的时刻、获取各次谐波的波形特征、识别振荡谐波的变化 趋势。
2009年，朱来东等人M针对信号分析时存在的噪声问题，先是介绍小波变换的基 础理论以及小波变换在信号降噪中的使用，分析含噪声信号的特性，利用MATLAB软件 进行信号降噪的仿真实验，该仿真实验应用不同的小波去噪方法对含噪信号进行去噪分 析，仿真结果表明小波变换具有良好的去噪效果。
2009年，WangZhangu〇[3°]采用了一种基于小波变换的谐波检测设备和虚拟仪器去 分析电网谐波，通过引用谐波检测方法和VI技术，在LabVIEW和MATLAB环境下做 一个虚拟仿真平台，用此对所构造的谐波信号进行分析，所得结果有效准确。
2010年，梁仙斌，苏玉香[31]运用小波变换和小波包变换从电力系统谐波中分离出 不同的谐波频率。仿真实验结果表明，在运用小波变换时有可能存在同一尺度下包含几 次谐波成分的情况，利用小波包对谐波的高低频率做了分解，可以得到更详细的频率信 息，同时能根据需要得到不同的谐波分量，实现了谐波的准确分解。
2010年，ShihongWu^根据小波变换在非稳态信号中具有多分辨分析的特点，运 用小波变换准确地提取和分离了基波和高阶谐波。仿真实验结果证明小波变换具有实时 性好，精度高，能在时域和频域两个域内揭示信号特征的优点。
2010年，B.K_Panigrahi[33]采用了一种用复小波变换去提取谐波暂态分量的方法，该 方法通过运用db4小波和复小波对不同类型的非稳态谐波进行暂态分量提取，结果发现， 采用复小波提取谐波暂态分量比采用db4小波效果更好。
2010年，段永刚等人M总结了 Donoho提出的软阈值和硬阈值在去噪效果上的缺点， 并在上述二者去噪方法的基础上，采用了一种新的阈值去噪方法-改进软阈值去噪法。
该方法很好地结合了软、硬阈值法的优点，同时又可以有效去除低频段的噪声。讨论了 小波去噪原理，给出了阈值函数；通过实验将新方法与传统的小波去噪方法进行了对比。 结果证明，新方法的去噪效果在时域和频域上都优于传统方法，而且信噪比更高。
2010年，司祯祯™运用傅里叶变换和小波变换分别对含噪声信号进行去噪。对于高 频含噪信号，采用小波变换去除噪声可以避免用傅里叶变换去噪带来的信号折损。先对 信号进行傅里叶变换，然后再使用滤波器滤除噪声。采用小波变换去除噪声，先采用正 交小波函数sym4对信号进行4层分解，然后通过极大极小值原则选择合适的阈值进行 处理，最后利用处理后的小波系数进行重构。仿真实验结果表明，小波去噪比傅里叶去 噪具有更好的效果。
2011年，J.Barr〇^AM采用小波变换检测谐波，间谐波的方法，该方法能很好地 计算出谐波信号的电压和电流，在谐波信号不失真的情况下准确得到谐波的特征分量， 通过仿真实验说明，小波变换在分析非稳态谐波比傅里叶变换有更好的效果。
综上所述，对于平稳信号，用傅里叶变换分析方法再好不过了。该方法反映的是谐 波信号在整个时间段的特征。在频率域内，该方法检测各次稳态谐波的幅值和频率。而 对于非平稳信号，傅里叶变换就无能为力了。而这时小波恰好派上用场，小波是反映信 号在某个时间段内的信息特征。而且小波基函数不是惟一的，只要满足小波的可容许条 件即可，因此就有许多构造小波基函数的方法。例如，Harr小波，DB小波等等。不同 的小波基函数具有不同的特性，分别用来逼近不同特性的谐波信号，以便得到最佳结果。 而傅里叶变换只能用正弦函数去逼近信号，没有选择的余地，因此逼近的效果就不太会 完全理想。但是，由于不同的小波基函数具有不同的时频特征，用不同的小波基函数检 测同一个谐波信号会有不同的结果，因而选取小波基函数的问题上目前还没有一个明确 的方法。而且通过小波变换分析出来的图形上不容易观察到准确的频率和幅值的信息， 小波变换每次需要根据所含谐波的最高次数才能确定分解的层数，运算量较大，还有可 能存在同一尺度下包含几次谐波的情况。如果此信号中含有的谐波分量比较多，使用小 波变换将变得非常困难和麻烦。因此，在此种信号下建议使用傅里叶变换。
1.3本文主要研究的内容
本论文的主要任务就是验证傅里叶变换的双峰谱线修正算法分析稳态谐波的 准确性、小波变换具有时域和频域的双重分辨率、傅里叶和小波变换相结合分析含暂态 分量的谐波的精确性、小波去噪中的软硬阈值折衷法在阈值去噪方法中的优越性和小 波去噪与加窗傅里叶相结合分析含噪声的谐波的准确性。
傅里叶变换的双峰谱线修正算法主要是利用插值运算消除栅栏效应，通过加窗运 算减少频谱泄漏，该算法能够反映整个信号的频谱特征，对于稳态谐波具有准确的检测 能力，可以很直观地得到各次稳态谐波的幅值和频率信息。
小波变换利用其时频特性，可在时域和频域两个域内揭示信号的特征。
小波和傅里叶变换相结合的谐波检测算法利用小波变换同时具有频域和时域分辨 率，能够很好地提取信号的暂态分量的优点以及傅里叶变换双峰谱线修正算法能够准确 的分析稳态信号的特性，结合这两种方法对含暂态分量的谐波信号进行分析。
用小波阈值方法进行信号去噪可以很好地保存信号中的有用信号和信号特征。“而 用傅里叶进行滤波去噪时，由于对信号的噪声部分和高频部分不能有效的区分。当含噪 信号的信噪比增大时，信号中纯净信号的比例增大，当用过窄的低通滤波器进行滤波时， 相当一部分有用信号被当作噪声被过滤掉，因而使信号的失真度增大；当含噪声的谐波 信号的信噪比较低时，信号中纯净信号所占的比例较小，使用较宽的低通滤波器进行滤 波去噪时，会使信号中仍然存在比较多的噪声，这样也会使谐波信号的失真度较大[37]。” 因此，小波变换对非平稳信号去噪比傅里叶变换有不可比拟的优点。
小波去噪和傅里叶变换相结合的谐波检测算法利用小波阈值去噪方法能够很好的
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去除噪声的优点和傅里叶变换双峰谱线修正算法能够准确的分析稳态信号的特性，结合 这两种方法对含噪的谐波信号进行分析。
本文主要完成以下内容：
(1) 首先介绍了谐波检测研究的意义，阐述了国内外谐波检测方法的研究现状，深 入学习了基于傅里叶变换和小波变换的谐波检测方法理论。
(2) 对本文采用的基于傅里叶变换的双峰谱线修正算法、小波变换的多分辨分 析方法的稳态谐波检测方法涉及的各个方面进行详细的阐述。
(3) 对于一个含暂态分量的谐波信号，采用了一种基于傅里叶与小波变换相结合的 谐波检测方法。先利用小波变换提取信号的暂态分量，接着再用加布莱克曼窗的傅里叶 变换算法求取信号中稳态分量的幅值和频率。
(4) 针对目前电力系统谐波分析中存在的对含有噪声的谐波信号进行分析会造成结 果失真的问题，采用了一种基于小波去噪的软硬阈值改良折衷法与加布莱克曼窗的傅里 叶变换算法相结合的谐波检测方法，先验证了小波去噪中的软硬阈值改良折衷法在阈 值去噪方法中的优越性，接着用小波去噪与加窗傅里叶相结合分析含噪声的谐波。
(5) 用MATLAB实现所提方案的具体过程。
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第二章基于傅里叶变换谐波检测方法的理论分析
如前所述，在电力系统稳态谐波检测领域内，大都采用傅里叶变换分析方法。该方 法可以得到信号的整个时间段内的频域特征信息，可以很准确地计算出各次稳态谐波的 频率和幅值信息，是电力系统谐波检测的有力工具。但是，在实际工作中，由于不可避 免的存在非整周期截断，由此造成的频谱泄露会影响谐波检测结果准确性。为了提高谐 波检测精度，采用了加窗插值算法。下面对基于傅里叶变换的谐波检测方法进行理论 分析。
2.1周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换
周期为角频率® = 2# = 2;r/r的连续时间周期信号/(〇,若满足狄里赫利条件， 就可以展开成傅里叶级数。其中三角形式的傅里叶级数为：
fit)-
+ c〇sfi^ + a2 cos2fi^ + --- + 61sinfi)if+ sin ：—+ ^ an cos ruut + sin nast
2 n=l n=l
(2-1)
其中A，
为傅里叶系数，表达式如下

= f 〇)cos ”减 n = o，1，2,…
(2-2)

\ = I f二 /(’)—， n = 0X2,-■■
(2-3)
其傅里叶级数展开可合并为

/W = 4- + Z 4 cos(ntar + <p„)
2 n=\
(2-4)
其中，
A>=a〇
A”=」aK
(2-5)

b„
<pn - -arctan—

式(2-5)中，次为幅值，队为初相位。
周期信号/(〇也可以表示为复指数函数的线性组合。
f{t)= tFne^
/?=—〇〇
式中，F„为傅里叶系数，其模为|F„|，表达式如下
(2-7)
Fn=\^/2fity^dt, « = 〇,±1,±2,-
实际上，指数形式的傅里叶级数和三角形式的傅里叶级数虽然形式不同，但实际上 这两种级数都是属于同一性质的级数，即都是把周期信号看作是由很多不同频率的正弦 信号所组成。
前面已经讨论了周期信号的傅里叶级数展开，下面来分析非周期信号的傅里叶变 换。“非周期信号可以看成是周期r趋于无限大的周期信号。当周期信号的r增大时， 谱线间隔变小，若周期r趋于无限大，则谱线的间隔趋于无限小，这样离散频谱就变成 连续频谱了。同时，谱线的长度趋于〇。但从物理概念上考虑，非周期信号的频
谱应该存在。[M]”基于上述原因，非周期信号不能采用傅里叶级数展开的方法，而必须 引入一个新的变换，这就是非周期信号的傅里叶变换。
设有一周期信号/的，满足狄里赫利条件，其傅里叶级数为
(2-8)
»=-〇0
傅里叶系数
(2-9)
F„=F(_ =沐八t]e-一
式(2-9)两边乘以r，得到
F(n〇))T -In
F{n(〇)
(2-10)
对于非周期信号，周期r — oo,角频离散频率/«»变成连续频率。在
这种极限情况下，但可不趋于0,而是趋于有限值，且变成一个
0)
连续函数，通常记为F(的或”/幼，即
P-11)
F{jm)=
对于一个非周期信号/M，可由上式求其频谱函数，同理若知非周期信号频谱函数
F(y®)，则也可由上式求其时域表达式。其计算式为
崩=士仁外
式(2-11)和(2-12)是一对傅里叶积分变换式，式(2-11)把时域信号/的转换为频域的 频谱函数信号F(»，称为傅里叶正变换。而式(2-12)是把频域信号转换为时域 信号/(^，称为傅里叶逆变换。
2.2 离散傅里叶变换（Discete Fourier Transform,简称 DFT)
在谐波检测时，对连续时间信号均勻采样，可以得到一个有限长的离散时间序 列X(«)，对这个离散时间序列X〇7)做离散傅里叶变换，就可以得到连续时间信号JC0的 频谱《
设有一个有限长的离散时间序列
广西大^31 士学位论文 基于博里叶和小波变换的电网请波检测方法研究

\x{ri) 0<n<N-\
(2-13)
x(n) - ^
[〇 n < 09n > N
离散傅里叶变换的结果本身也是一个离散序列，该变换的采样个数为#。当采样个
数为W时，信号x(«)的离散傅里叶变换为

N~\
X(ifc) = DFT[x(n)] = ^x(n)e-j{2x/N)h, 0<k<N-l
n=0
(2-14)
相应的离散傅里叶逆变换的公式为：

x(”)=仍FT[；Sr(it)]=丄 € jsr(jty 胸♦ 0<n<N-l N k=〇
(2-15)
离散傅里叶变换的意义在于：可以对任意一个连续时间信号进行采样和截断，接着 进行傅里叶变换，最后得到一系列的离散频谱。该频谱就是原来连续时间信号真实频谱 的估计值，并且对于计算机来说只有离散的和有限长的信号才能被处理。

2.3离散傅里叶变换的谐波检测
在电力系统中，假设信号是角频率为叫的正弦波电压：
u(t) = A sm(eo0t + y/)= A sin(2^0f + y/) (2-16)
式(2-16)中，《。=2#。，/fl=50Hz，乂为幅值，v为电压相位变化量。
对电压信号m(〇采样AT次，产生采样序列《(«), «(») = jsin(2〇7；/iV + ^)。采样 周期为7；,接着对采样序列《(«)进行离散傅里叶变换并乘以相应的系数2/AT得到基波分 量的频谱系数C/(〇)M
^(°) = "77 Z 1(1x1 N)n =-^<n)cos—n-j~^u{n)^m—n (2-17)
N N n=0 N
令 t//(0) =吾客 w(”)cos 专 n %(0) = |零 w(»)sin专《
则，所以可以得到基波分量的频谱系数C/(z) 的幅值为^4。
假设电力系统中的电压信号含Z次谐波，则其傅里叶级数可以表示为
L
u(t) = {ak cos kcat -\ih sin k〇X) (2-18)
k=0
令+ A ,则各次谐波幅值R = ^Jal+bl，相位叭=tarT»t)。
正是电压信号的离散傅里叶变换序列，由可以计算出A和继而就可 以得到其余各次谐波的幅值和相位，这就是基于离散傅里叶变换的谐波检测原理。
2.4频谱分析中的问题 2.4.1频谱混叠失真以及抗频谱混叠失真研究
对连续信号进行频谱分析时首先要对该信号进行采样，该信号变成离散信号后才能 用傅里叶变换进行频谱分析。根据采样定理，当采样频率乂大于信号最高频率的两倍 时(/s ^2乂），才能得到各次谐波信号对应的全部频谱信息。当乂 <2/；时，傅里叶变换 后得到的频谱中的频率只能得到人/2。由于频谱的对称性，原谐波信号中频率高于X/2 的谐波频谱都将混叠到频率低于人/2的谐波频谱中去，因而造成频谱混叠产生误差。乂 越小则产生的频谱误差越大。
接下来介绍两种消除频谱混叠的方法：
1) 模拟滤波。“通过在信号输入通道上加截止频率为乂/2的防混叠滤波器对信号 进行预处理，能有效地抑制频谱混叠。但是因为所加的防混叠滤波器的幅频特性不可能 是理想的，从而导致被检测的信号的相位和幅值产生了失真，因而给谐波检测分析带来 一定的误差。
2) 数字滤波。“在对信号进行采样后，采用数字滤波的方法对被检测的信号进行 滤波。该方法处理精度高、滤波特性好，针对信号处理要求通过改变参数来方便地改变 滤波器特性。但该方法运算量较大，对系统的各方面要求较高。
2.4.2槲栏效应问题以及减少栅栏效应的研究
电力系统中的谐波信号可以用一个周期函数来表示，即：
x(/) = x(/ + ^7) (2-19)
式(2-19)中：r是函数的周期，尤为整数，/ = i/r为工频频率。
当电力系统中的谐波信号满足狄里赫利条件时，可以分解成三角形式