泰勒公式的应用研究数学专业毕业论文.docx

分类号： O172.1 单位代码： 106
密 级： 一般 学 号： 1060208014043

本科毕业论文（设计）

题 目： 泰勒公式的应用研究
专 业： 数学与应用数学

泰勒公式的应用研究
摘要：泰勒公式是微分学中尤为重要的内容，可以用它证明等式和不等式、求中值点的极限、近似计算、研究函数图形的局部形态、研究线形插值等.鉴于泰勒公式在分析和解决数学问题中的广泛应用，各高校都将其作为数学类某些专业研究生入学考试着重考查知识点之一.本文通过对某些例题的分析和证明，简单介绍了泰勒公式的几种应用.数学本身是一门综合性较强的学科，对于泰勒公式应用的学习我们应该善于总结方法和技巧，方便我们以后的深造.
关键字：泰勒公式;极限;不等式;矩阵;近似值

The application of Taylor's formula

Abstract: the Taylor formula is particularly important in the theory of differential content, it can be used to prove equality and inequality, and the median point of the limit of function, approximate calculation, graphics, the local form of linear interpolation, etc. In view of the Taylor formula is widely used in analysis and solving math problems, various colleges and universities have certain professional postgraduate entrance examination as a math class emphatically examines one of knowledge. In this paper, through the analysis and proof of some examples, simply introduces several application of Taylor formula. The mathematics itself is a comprehensive subject, we should be good at summing up the methods and techniques for the application of the Taylor formula for learning, convenient for our further education in the future.
Key words: Taylor formula; limit; inequality; matrix; approximation value

0引言
泰勒定理在数学发展史上具有较深远的影响，并有许多数学家为之付出了大量的时间和精力.数学工作者大都注重于泰勒定理的应用，对于泰勒公式的出现，他们却不以为然.直到爱丁堡大学教授麦克劳林注意到泰勒公式存在时的特殊情形，即函数在零点时的展开式.之后，人们才开始不断地研究泰勒公式.
高等数学中需要处理的函数一般来说都比较复杂，而这些函数间的运算，如求极限、求积分、证明不等式等相对来说更不容易.在有些情况下，并不需要函数的精确表示，满足一定条件的近似值也能解决问题.所以，用一种比较简单的函数近似其它比较复杂的函数，来代替解决问题，成为化繁为简、化难为易的一种思想.泰勒公式就是满足这种思想的一个有力武器，它是把任意一个复杂函数展成一个幂级数，而幂级数就是一个比较简单的函数.为什么任意函数都可以展成泰勒级数呢？数学分析中的这一结论其实来自于复变函数中所学习的泰勒级数.
设函数在区域D解析，则在D内任一点的邻域内可展成幂级数（只要这个邻域包含在D内），即

其中为洛朗系数.C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线，要把这一结论运用到实数域内，还需做些调整，因为函数不可能在实数域内解析故变更为函数在某点具有阶导数.
有了这个定理的保证，泰勒公式的好处就显而易见了，试想一下，能够把一个抽象函数转化为简单的多项式函数，对我们研究与函数有关的数学问题而言是十分有意义的.多项式函数简单明了又易于计算，不难发现泰勒公式的应用之广泛.所以，在经过对泰勒公式更深一层的了解后，我觉得讨论它的应用时非常有价值的.
1.预备知识
泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展式：
1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式
若函数在存在n阶导数，则……（1） 这里为佩亚诺型余项，称（1）为在点的泰勒公式.
1.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式
若函数在的某邻域内存在直至阶连续导数，则……（2）
这里为拉格朗日型余项，其中在与之间，称（2）为在的泰勒公式.
当时，（1）和（2）式分别为麦克劳林公式：
……（3）
……（4）
常见函数的展开式：

2.泰勒公式的应用
2.1证明不等式
在高等数学研究中，会遇到很多证明不等式的问题，对于这些不等式的证明，有很多种方法，但是应用泰勒公式证明一些不等式非常方便.而应用的关键就在于根据已知条件如何选择要展开的函数、在哪一点的领域展开、展开的阶数和余项形式.现通过以下两个例题的解析对应用泰勒公式证明不等式加以说明.
例1设函数在具有二阶导数，且试证
分析：题中已知存在二阶导数，暗示我们可以考虑尝试使用泰勒公式来证明该题.欲证不等式最高阶为二阶，没有一阶和零阶导数项.通过进一步分析可得：由连续，因此最小值必在点取得，且该点必是极值点，有.于是将函数在极值点展开，分别取和，不等式即可得证.
证明：设在处取得最小值，即则将
在处展成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式：
分别取和得：

即有：和由此推出：当时，
当时，.从而有：
通过上述例题的求解得知，一般当问题涉及二阶以上导数时，可考虑应用泰勒公式求解.把看成定点，看成动点，通过定点处的函数值及导数值来表达动点处的函数值.在解题中，只要注意分析研究题设条件及其形式特点，恰当地选择函数，点展开的阶次及余项形式，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧.
例2 设在在上单调增加，且证明：
分析：题设条件得知，函数二阶可导且二阶可导暗示我们可以考虑使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是，右边有，，我们不妨设，将在点处展开成泰勒公式，再令进而找出与，的关系.
证明：对，在点处的一阶泰勒展开式为：其中在与之间，由得，
……（5）
将分别代入（5）并相加，得 ……（6）
对（6）的两边在上积分，则

故
由该例题可知，当已知被积函数二阶或者二阶以上可导，并且最高阶导数符号已知时，应用泰勒公式证明定积分不等式往往会收到事半功倍的效果.一般先直接写出的泰勒展开式（有时根据具体情况对展式进行适当放缩），然后再对两边同时积分即可证得结果.
2.2 求极限
例3 求极限
此为型极限，若从洛必达法则入手进行求解，则需多次使用洛必达法则，且最终未必能求出来.这时，可以考虑将和，分别用它们的泰勒展开式代替，如此一来就可简化求解过程.
解：由，，的麦克劳林展式得 ；；
所以

注意：在运用泰勒公式的方法求解极限时，我们需要考虑将函数展开到多少项才合适？从上述例题中可以看出，只须将展式写到分子和分母分别经过化简后系数不为零的阶数即可.
例4 计算
解：显然此题是型，但用洛必达法则不易求解.容易验证和都在内3阶可导，并且

所以

可见和满足条件，可利用泰勒公式求解这个未定式极限.（实际计算时，略去这一步）
因为

可见分母是的3阶无穷小，故写出分子上各函数三阶泰勒展开式，关于较高阶的无穷小可以略去.又

所以

所以

2.3 讨论级数、积分的敛散性
例5 讨论级数的敛散性.
解: 由比较判别法可知：若则正项级数和同时收敛和发散.为了选取中的P值，可以应用泰勒公式研究通项的阶.

因为收敛，所以收敛.
若函数要判定的收敛性，假如能找到恰当的使得则根据比较判别法的极限形式即可判别出该广义积分的敛散性.此处的问题就是如何选取，才能应用比较判别法的极限形式？利用泰勒公式通过研究的阶，问题就可以迎刃而解.
例6 研究广义积分的敛散性.
解:由泰勒公式得

选取因为而
所以收敛.
从以上两例可知，级数与广义积分联系密切，结论类似.
2.4 某些微分方程的解
微分方程的解可能是初等函数或非初等函数，如的求解问题便是如此，因而解这类方程我们可以设想其解可以表示成泰勒级数的形式，进一步，我们可以设想将其表示成更为一般的幂级数的形式，从而得出解这类方程的一种重要方法.事实上，若在某点的邻域内可以展开成关于的泰勒级数（或幂级数），即
例7 解微分方程
解：显然可在的邻域内展开成泰勒级数，故原方程有
形如的幂级数解.将（7）代入原方程，得

即
令的同次幂系数为零.得
从而即有

所以通解为
即
2.5 在行列式计算中的应用
例8 求下列行列式
解：可以把行列式看做的函数（一般是的次多项式），记按泰勒公式在处展开：

根据行列式的求导法则，有

类似地

代入在处的泰勒展开式:

当时，则

当时，则

即
2.5 利用泰勒公式求斜渐近线
我们知道，若则是曲线的斜渐近线.用泰勒公式，只要能证明当时就知是斜渐近线，这里表示无穷小量.
例9 求曲线的渐近线方程.
解：

故是所求斜渐近线方程.
例10 求曲线的斜渐近线方程.
解：
故是所求斜渐近线方程.
2.6 利用泰勒公式研究函数的性质
定理 设是定义在上具有连续二阶导数的函数.
（1） 当时，的充要条件是对任意都有成立
（2） 当时，的充要条件是对任意的都有成立
定理 设在上连续，在上具有一阶和二阶导数，若在内则在上的图形是凹的.
对于函数凸性的判定定理可以用类似凹性的方法得到.
同时，利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用点两边区间的二阶导数符号来判定简单易行，且具有更广泛的结论.
例11设在处存在阶导数且
试证（1）当为奇数时，在点不取局部极值；
（2）当为偶数时，在点取得局部极值；
当时，在点取得极大值；
当时，在点取得极小值.
证明 由泰勒公式
及
得
即
当为奇数时，因为当与时变号，所以变号，从而变号即在点取极值.
当为偶数时因为当时，即，所以在点取极小值.
当时，即所以在处取极大值.
2.7 求近似值
利用泰勒公式在进行定积分计算时，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可以算出定积分的近似值.
例12求的近似值（精确到）.
解：因为中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），现用泰勒公式的方法求的近似值.
在的展开式中以代得

逐项积分得

上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项的估计式知

所以
3 结束语
以上简单介绍了泰勒公式的在高等数学研究中的应用，除此之外，泰勒公式还有很多方面的应用，如求估计函数导数的的值，定义初等函数，证明无穷量的阶，以及一些定理的证明等.更有甚者，在科学研究方面也有很多应用，如在通路相位差与立体声声像定位中的应用，在遗传算法回归分析技术中的应用等等.同时，泰勒公式所使用的转化思想方面的研究更是随处可见，给我们留下了更多的启发.

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谢辞
我的论文之所以能顺利完稿，得益于李老师的关怀和勉励.李老师治学态度严谨，工作精益求精，专业知识渊博，人格魅力更是平易近人，使我受益匪浅.在整个论文的写作过程中，李老师给了我很多建设性的意见和建议，孜孜不倦，一丝不苟，态度谦和，让我倍受感动，十分感谢李老师对我的帮助和支持。
毕业之际，同时感谢四年来教育和培养我的延安大学和计算机学院的各位领导和老师，延安大学崇高的道德风尚和校风以及老师们高尚的道德修养深深打动了我！
再次感谢在百忙中审阅和参加论文答辩的各位老师，谢谢你们！

（全文共6532字）