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用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题
线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线来解决的，所以有下面的结论：
(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.
(2)若目标函数在两个不同的点处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线与直线平行(此时线段一定是可行域的边界，且线段上的所有点都是最优解).
(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.
下面用这些结论简解几道线性规划题.
题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
解 B.题中的可行域为图1中的(其顶点坐标分别是)及其内部的区域.

图1
再由结论(3)，可得或2.再检验，得.
题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解 C.若，可得z无最大值，所以.
先画出不等式组表示的区域为图2中的阴影部分.

图2(请把图中的“”分别改为“”)
直线过原点且不与直线不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域(若是图2中的某一块无限区域，则z无最大值).又直线2x－y=2与直线交于点，再由以上结论(3)，得是最优解且直线过点A，所以.
题3 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x，y满足约束条件 当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
解 B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组的解).
由以上结论(3)，得(2,1)是最优解，所以.
接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.
题4 (2014年高考全国课标卷I文科第11题)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3
解 B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是(即方程组的解).
由以上结论(3)，得是最优解，所以

a＝3或－5
因为题设中是“最小值为7”(不是“最大值或最小值为7”)，所以还须检验：当a＝3时，可得“最小值为7”；当a＝－5时，可得“最大值为7”.所以a＝3.
题5 (2014年高考安徽卷理科第5题)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1
解 D.先作出可行域是图3中的.

图3(请去掉图中过原点的直线)
由题设及结论(2)知，初始直线与的某一条边平行，得或或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，…….
题6 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
解 .先作出可行域是图4中的.
题设即，由以上结论(3)，得，即.

图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点的坐标)
题7 (2013年高考浙江卷理科第13题)设z=kx+y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k= ．
解 2.先作出可行域是图5中的(其中)，得以下三种情形：
(1)若在点处取到最大值，得，这不可能！
(2)若在点处取到最大值，得，经检验知，这也不可能！
(3)若在点处取到最大值，得，经检验知，符合题意！
所以.

图5
题8 (北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷(高三数学(理科)第8题)设为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域内的任一点，都有成立，则的最大值等于( )
A.2 B.1 C.0 D.3
解 A.先作出平面区域为图6中的.

图6
题设即：对于区域上的任一点，都有成立.其充要条件是的顶点的坐标均满足，即，由此可得的最大值是2(这也是一个线性规划问题).
注 由此解法，还可得出的取值范围是.建议把题目中的“区域内”改为“区域上”，若是“区域内”，则所求最大值不存在，只能得到的取值范围是.