2高考数学一轮复习分层限时跟踪练24.doc

分层限时跟踪练(二十四)
(限时40分钟)

一、选择题
1．已知P，A，B，C是平面内四点，且P＋P＋P＝A，那么一定有(　　)
A．P＝2 B．C＝2
C．A＝2 D．P＝2
【解析】　∵P＋P＋P＝A，∴P＋P＝A－P＝A＋C＝A，∴P＝2，故选D.
【答案】　D
2．在△ABC中，A＝2，B＝a，B＝b，B＝c，则下列等式成立的是(　　)
A．c＝2b－a　 B．c＝2a－b
C．c＝－ D．c＝－
【解析】　因为在△ABC中，B＝B＋D＝B＋A＝B＋(B－B)＝B－B，所以c＝b－a.
【答案】　D
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
【解析】　∵表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，∴a与b必须方向相同才能满足＝.故选D.
【答案】　D
4．(2015·资阳模拟)已知向量A＝a＋3b，B＝5a＋3b，C＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【解析】　∵B＝B＋C＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2A，
∴A，B，D三点共线．
【答案】　B
5．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A. B．2
C．3 D．4
【解析】　因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.
【答案】　D
二、填空题
6．在▱ABCD中，A＝a，A＝b，A＝3N，M为BC的中点，则M＝ (用a，b表示)．
【解析】　M＝M＋C＝A－A
＝b－(a＋b)＝－a＋b.
【答案】　－a＋b
7．(2015·郑州模拟)已知△ABC和点M满足M＋M＋M＝0，若存在实数m使得A＋A＝m成立，则m＝ .
【解析】　由M＋M＋M＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，
∴A＋A＝2A＝m·A＝·A，
∴＝2，∴m＝3.
【答案】　3
8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且B＝a，C＝b，给出下列命题：
①A＝a－b；
②B＝a＋b；
③C＝－a＋b；
④A＋B＋C＝0.
其中正确命题的序号为 ．
【解析】　B＝a，C＝b，A＝C＋A＝－a－b，
B＝B＋C＝a＋b，
C＝(C＋C)＝(－a＋b)＝－a＋b.
∴A＋B＋C＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.
∴正确命题为②③④.
【答案】　②③④
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设A＝a，A＝b，试用a，b表示A，A.

【解】　A＝(A＋A)＝a＋b.
A＝A＋B＝A＋B＝A＋(B＋B)
＝A＋(A－A)
＝A＋A
＝a＋b.
10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解】　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

1．下列命题正确的是(　　)
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，A＋B＋C＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．向量a，b不共线，则向量 a＋b与向量a－b必不共线
【解析】　A不正确，当a＝b＝0时，有无数个实数λ满足b＝λa.
B不正确，在△ABC中，A＋B＋C＝0.
C不正确，当b＝0时，不等式||a|－|b||≤|a|＋|b|≤|a|＋|b|显然成立．
D正确，∵向量a与b不共线，∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴λ无解，故假设不成立，
即a＋b与a－b不平行，故选D.
【答案】　D
2．(2015·大连双基测试)设O在△ABC的内部，且有O＋2O＋3O＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)
A．3　　B.　　C．2　　　D.
【解析】　设AC，BC的中点分别为M，N，则已知条件可化为(O＋O)＋2(O＋O)＝0，
即O＋2O＝0，所以O＝－2O，说明M，O，N共线，即O为中位线MN上的靠近N的三等分点，SAOC＝SANC＝·SABC＝SABC，所以＝3.
【答案】　A
3．(2015·晋中模拟)如图4­1­4所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若A＝m，A＝n，则m＋n的值为 ．

图4­1­4
【解析】　∵O是BC的中点，
∴A＝(A＋A)．
又∵A＝m，A＝n，∴A＝A＋A.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.
【答案】　2
4．(2015·天津模拟)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若D＝λ1A＋λ2A(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ．

【解析】　如图，D＝D＋B＝A＋B＝A＋(A－A)＝－A＋A，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.
【答案】　
5．如图4­1­5所示，在△ABC中，A＝N，P是BN上的一点，若A＝m＋A，求实数m的值．

图4­1­5
【解】　如题图所示，A＝A＋B，
∵P为BN上一点，则B＝k，
∴A＝A＋k＝A＋k(A－A)，
又A＝N，即A＝A，
因此A＝(1－k)A＋A，
所以1－k＝m，且＝，
解得k＝，则m＝1－k＝.
6．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足O＝O＋λ，λ∈[0，＋∞)．求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：
①△ABC的外心；②△ABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心．

【解】　如图，记A＝，A＝，则A，A都是单位向量，∴|A|＝|A|，A＝A＋A，则四边形AMQN是菱形，∴AQ平分∠BAC，∵O＝O＋A，由条件知O＝O＋λ，
∴A＝λ(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．