1985年全国统一高考数学考试(理科).doc

1985年全国统一高考数学考试(理科)

———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：

个人收集整理，勿做商业用途

1985年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（3分）的（　　）

A．
必要条件
B．
充分条件

C．
充分必要条件
D．
既不充分又不必要的条件

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（　　）

A．
y=x2（x∈R）
B．
y=|sinx|（x∈R）
C．
y=cos2x（x∈R）
D．
y=esin2x（x∈R）

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（　　）

A．
96个
B．
78个
C．
72个
D．
64个

二、解答题（共13小题，满分90分）
6．（4分）求方程解集．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．

9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．

10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．

11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．

12．（7分）解不等式

13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；
（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．

15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

16．（14分）设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；
（2）设，用定义证明

17．（12分）设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，
C={（x，y）|x2+y2≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

1985年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
计算题．
分析：
画出图形，直接求解即可．
解答：
解：如图四面体A′﹣ABD的体积是
V=
故选D．
点评：
本题考查棱锥的体积，是基础题．

2．（3分）的（　　）

A．
必要条件
B．
充分条件

C．
充分必要条件
D．
既不充分又不必要的条件

考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．
解答：
解：
由tanx=1
得，
当k=1时，x=，
固由前者可以推出后者，
所以tanx=1是的必要条件．
故选A．
点评：
此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．

3．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（　　）

A．
y=x2（x∈R）
B．
y=|sinx|（x∈R）
C．
y=cos2x（x∈R）
D．
y=esin2x（x∈R）

考点：
三角函数的周期性及其求法．
专题：
压轴题．
分析：
根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．
解答：
解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．
∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．
故选B．
点评：
本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．

4．（3分）极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单曲线的极坐标方程．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．
解答：
解：∵极坐标方程ρ=asinθ（a＞0）
∴ρ2=aρsinθ，
∴x2+y2=ay，它表示圆心在（0，）的圆．
故选C．
点评：
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（　　）

A．
96个
B．
78个
C．
72个
D．
64个

考点：
排列、组合的实际应用．
专题：
计算题；压轴题；分类讨论．
分析：
根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．
解答：
解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，
分2种情况讨论，
当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，
当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，
综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，
故选B．
点评：
本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．

二、解答题（共13小题，满分90分）
6．（4分）求方程解集．

考点：
任意角的三角函数的定义．
专题：
计算题．
分析：
直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解．
解答：
解：方程化为：
所以
方程解集为：
点评：
本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．

7．（4分）设|a|≤1，求arccosa+arccos（﹣a）的值．

考点：
反三角函数的运用．
专题：
计算题．
分析：
直接应用反函数的运算法则，求解即可．
解答：
解：arccosa+arccos（﹣a）=arccosa+π﹣arccosa=π
点评：
本题考查反函数的运算，是基础题．

8．（4分）求曲线y2=﹣16x+64的焦点．

考点：
抛物线的简单性质．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
先把曲线方程整理成标准方程，设x﹣4=t，则可求得y2=﹣16t的焦点坐标，则抛物线y2=﹣16（x﹣4）的焦点坐标可得．
解答：
解：整理曲线方程可得y2=﹣16（x﹣4）
令x﹣4=t，则y2=﹣16t，焦点坐标为（﹣4，0）
∴y2=﹣16（x﹣4）的焦点为（0，0）
点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础的灵活运用．

9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．

考点：
二项式系数的性质．
专题：
计算题．
分析：
对等式中的x赋值1求出各项系数和．
解答：
解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0
故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26
点评：
本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．

10．（4分）设函数f（x）的定义域是[0，1]，求函数f（x2）的定义域．

考点：
函数的定义域及其求法．
分析：
函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，求解即可．
解答：
解：函数f（x）的定义域是[0，1]，函数f（x2）中x2∈[0，1]，解得x∈[﹣1，1]
点评：
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

11．（7分）解方程log4（3﹣x）+log0.25（3+x）=log4（1﹣x）+log0.25（2x+1）．

考点：
对数的运算性质；对数函数的定义域．
专题：
计算题．
分析：
把方程移项，再化为同底的对数，利用对数性质解出自变量的值，由于不是恒等变形，注意验根．
解答：
解：由原对数方程得，
解这个方程，得到x1=0，x2=7．
检验：x=7是增根，
故x=0是原方程的根．
点评：
本题考查对数的运算性质，对数函数的定义域．

12．（7分）解不等式

考点：
其他不等式的解法．
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
分类讨论，当时不等式成立，解出不等式解集即可，当时，将不等式的两边平方，解出解集即可，最后求出两个解集的并集即可．
解答：
解：，解得；（4分）
或，解得﹣1≤x＜2；（8分）
综上所述，解得（12分）
点评：
此题主要考查根号下的不等式的求解．

13．（15分）如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

考点：
平面与平面之间的位置关系．
专题：
计算题．
分析：
过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，及a2=PR2+MR2，求出NR的值．
解答：
解：自点P作平面BD的垂线，垂足为R，
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，
所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，
则PN⊥BC（三垂线定理
因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β
在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．
在Rt△MNR中，MR=，
在Rt△PMR中，，
又已知0°＜θ＜90°，所以．
在Rt△PRQ中，．
故线段PQ的长为．

点评：
本题考查的知识点是平面与平面间的位置关系，二面角，解三角形，根据已知条件由未知的结论利用分析法寻求解题思路是解题的关键．

14．（15分）设O为复平面的原点，Z1和Z2为复平面内的两动点，并且满足：
（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值θ和﹣θ；
（2）△OZ1Z2的面积为定值S求△OZ1Z2的重心Z所对应的复数的模的最小值．

考点：
复数的基本概念；复数求模．
专题：
综合题．
分析：
设出Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，由于Z是△OZ1Z2的重心，表示其关系，求解即可．
解答：
解：设Z1，Z2和Z对应的复数分别为z1，z2和z，其中
z1=r1（coθ+isinθ），
z2=r2（coθ﹣isinθ）．
由于Z是△OZ1Z2的重心，根据复数加法的几何意义，
则有3z=z1+z2=（r1+r2）cosθ+（r1﹣r2）isinθ．
于是|3z|2=（r1+r2）2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ
=（r1﹣r2）2cos2θ+4r1r2cos2θ+（r1﹣r2）2sin2θ
=（r1﹣r2）2+4r1r2cos2θ
又知△OZ1Z2的面积为定值S及，
所以，即
由此，
故当r1=r2=时，|z|最小，且|z|最小值=．
点评：
本题考查复数的基本概念，复数求模，是中档题．

15．（15分）已知两点P（﹣2，2），Q（0，2）以及一条直线：L：y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（要求把结果写成普通方程）

考点：
轨迹方程．
专题：
计算题；交轨法．
分析：
根据题意，设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），直线PA的方程是，直线QB的方程是．当，即a=0时，直线PA和QB平行，无交点；当a≠0时，直线PA与QB相交，
设交点为M（x，y），由此能得到直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
解答：
解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，
所以可设点A和B分别是（a，a）和（a+1，a+1），其中a为参数
于是可得：直线PA的方程是
直线QB的方程是
（1）当，即a=0时，
直线PA和QB平行，无交点
（2）当a≠0时，直线PA与QB相交，
设交点为M（x，y），由（2）式得，
∴
将上述两式代入（1）式，得
整理得x2﹣y2+2x﹣2y+8=0，
即
当a=﹣2或a=﹣1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式
所以（*）式即为所求动点的轨迹方程．
点评：
本题考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细分析，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选取公式．

16．（14分）设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；
（2）设，用定义证明

考点：
不等式的证明；极限及其运算．
专题：
证明题．
分析：
（1）考虑an和式的通项，先对其进行放缩，结合数列的求和公式即可证得；
（2）欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．
解答：
证：（1）由不等式
对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜an＜
又因1+2+3+…+n=，以及
＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，

对所有的正整数n都成立．
（2）由（1）及bn的定义知
对任意指定的正数ε，要使，
只要使，即只要使
取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足
根据极限的定义，证得
点评：
本题主要考查不等式的证明，主要采用了放缩法．放缩是一种重要的变形手段，但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握，技巧性较强．

17．（12分）设a，b是两个实数，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整数}，
B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m是整数}，
C={（x，y）|x2+y2≤144}，
是平面XOY内的点集合，讨论是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同时成立．

考点：
集合关系中的参数取值问题；点到直线的距离公式．
专题：
压轴题．
分析：
A、B、C是点的集合，由y=na+b和y=3m2+15想到直线和抛物线．
A∩B≠φ表示直线和抛物线有公共点，
故只需联力方程，△≥0得a，b的关系式，
再考虑与集合C中x2+y2≤144表示的以原点为圆心，以12为半径的圆及内部点的关系即可．
解答：
解：据题意，知
A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z}
B={（x，y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z}
假设存在实数a，b，使得A∩B≠Ø成立，则方程组
y=ax+b
y=3x2+15 有解，且x∈Z．
消去y，方程组化为 3x2﹣ax+15﹣b=0．①
∵方程①有解，
∴△=a2﹣12（15﹣b）≥0．
∴﹣a2≤12b﹣180．②
又由（2），得 a2+b2≤144．③
由②+③，得 b2≤12b﹣36．
∴（b﹣6）2≤0
∴b=6．
代入②，得 a2≥108．
代入③，得 a2≤108．
∴a2=108．a=±6√3
将a=±6，b=6代入方程①，得
3x2±6x+9=0．
解之得 x=±，与x∈Z矛盾．
∴不存在实数a，b使（1）（2）同时成立．
点评：
此题以集合为背景考查直线和抛物线的位置关系，以及圆等知识，综合性较强．

18．已知曲线y=x3﹣6x2+11x﹣6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
求出曲线方程的导函数，在曲线上取一点设P（x0，y0），把x0代入到导函数中求出切线方程的斜率，根据P点坐标和斜率写出切线的方程，令x等于0表示出切线在y轴上的截距r，求出r′，判断r′大于0得到r为增函数，得到r在x0=0处取到最小值，把x0=0代入r求出最小值即可．
解答：
解：已知曲线方程是y=x3﹣6x2+11x﹣6，因此y'=3x2﹣12x+11
在曲线上任取一点P（x0，y0），则点P处切线的斜率是y'|x=x0=3x02﹣12x0+11
点P处切线方程是y=（3x02﹣12x0+11）（x﹣x0）+y0
设这切线与y轴的截距为r，则
r=（3x02﹣12x0+11）（﹣x0）+（x03﹣6x02+11x0﹣6）=﹣2x03+6x02﹣6
根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值
因为r'=﹣6x02+12x0=﹣6x0（x0﹣2）
当0＜x0＜2时r'＞0，因此r是增函数，
故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值，即在点P（0，﹣6）处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r最小值=﹣6
点评：
此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最小值，是一道中档题．