2015江苏高考南通密卷一(南通市数学学科基地命题).doc

2015年高考模拟试卷(1)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1．设，，其中是虚数单位，则 ．
第3题图
2．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木
的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木
中，底部周长不小于的有 株．
4．设向量，，且，若，
第5题图
则实数 ．
5．如图所示的流程图的运行结果是 ．
6．将边长为的正方形沿对角线折起，使，
则三棱锥的体积为 ．
7．设等差数列的前项和为，若，．
当取最大值时， ．
8．已知，且，则 ．
9．若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆
相交的概率为 ．
10．设函数的值域是，则实数的取值范围为 ．
11．已知函数满足：当时，，当时，．若在区间
内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
12．设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引
圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是
．
13．设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 ．
14．设函数，则满足的的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
在中，的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）设，为垂足，若，，求的值．

16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若∥平面，求证：为的中点．

17．（本小题满分14分）
如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该
市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L
在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中
L
A
B
O
M
L
L
a
b
，，．
（1）求大学与站的距离；
（2）求铁路段的长．

18．（本小题满分16分）
设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；
第18题图

（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．

19．（本小题满分16分）
已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．
（1）确定与的关系；
（2）若，试讨论函数的单调性；
（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．

20．（本小题满分16分）
设数列的前项和为，满足．
（1）当时，
①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；
②若数列是等差数列，求的值；
（2）当时，若数列是等差数列，，且，，
求实数的取值范围．

第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域
内作答．
A．（选修４－１：几何证明选讲）
如图，设、是圆的两条弦，直线是线段
的垂直平分线．已知，求线段的长度．

B．（选修４－２：矩阵与变换）
若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．

C．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的
极坐标方程．

D．（选修４－５：不等式选讲）
设均为正数，．求证：．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．（本小题满分10分）
已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求证：当，时，．

23．（本小题满分10分）
如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．
l
①求证：、、三点的横坐标成等差数列；
②若，，求的值．

2015年高考模拟试卷(1) 参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5.； 6. ； 7. ； 8. ；
9. ； 10. ； 11. ；【解析】当时，，由条件得，，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时， ，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象由唯一的交点．
12. ；【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即，解之得，，只能取． 14. ；【解析】，函数在上单调递增，且，或，解得或．
二、解答题
15. （1）， 由正弦定理，得,
又在中，， ，
即， 又， ，
又，；
（2） 由余弦定理，， ，，，
，，即，
， .

16.（1）底面为矩形，，又，
，， 平面，
又， 平面平面；
（2）连接，交于，连接， 平面，
平面平面， ，
，底面为矩形， 是的中点，即，
， 为的中点.
17. （1）在中，，且，，
由余弦定理得，

，即大学与站的距离为；
（2），且为锐角，，
在中，由正弦定理得，,
即，，，
， ，，，
，又， ，
在中，， 由正弦定理得，，
即，，即铁路段的长为．
18. （1）圆的方程为， 直线与圆O相切，
，即，又， ，
， 椭圆的方程为；
（2）由题意，可得，
圆的半径，，
的面积为；
（3）由题意可知，
的斜率为，直线的方程为，
由，得，
其中，，，
则直线的方程为，
令，则， 即，
直线的方程为，
由，解得，，
的斜率 ，
（定值）．
19. （1）， ，
由题意得， ；
（2），
①当时，，
当时，，函数在单调减；
当时，，函数在单调增；
②当时，即，，
函数在上单调减；
函数在和单调增；
③当时，即，，
函数在单调增；
④当时．即，，
函数在单调减区间；
函数在和单调增；
（3）由题设，

①
令，则，
时，， 函数在是减函数，
而，时，
，， ，即， ②
令，则，
时，， 在是增函数，
时，， ，
即 ③由①②③得．
20.（1），，
①令，可得，即，
令，可得，即，
,， ①
当时，， ②
①-②，得，
，即，
又，，
， 数列是等比数列；
② 数列是等差数列，
设，
，
，
，
；
（2）当时，
数列是等差数列，，
，
，
，，
，
，
，
即， ，，
令， ，
当时，， 在上是增函数，而，， ．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21. A．连接BC，相交于点．因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．设，则，由射影定理得
CE＝AE·EB，又，即有，解得（舍）或
所以，AC＝AE·AB＝5×6＝30，．
B．，即， 解得，，
解法一：， .
解法二:设，由，得
解得．
C．因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是，
又圆经过点， 圆的半径，圆过原点，
圆的极坐标方程是．
（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）
D.由为正数，根据平均值不等式，得，，．
将此三式相加，得，即．
由，则有．所以，．　
22.（1）令，
则，
，，，
数列，即是等比数列；
（2）由（1）得，，，
下面用数学归纳法证明当，时，．
①当时，不等式的左边，右边，而，
时，不等式成立；
②假设当时，不等式成立，即；
当时，

当时，不等式也成立．
由①②可得，
当，时，．
23. （1）设，则，，
，，，
，，
，即动点的轨迹的方程为；
另解：设，则，，，
以为邻边的平行四边形是菱形，，
，，
即动点的轨迹的方程为；
（2）①设，，，则
切线的方程，
，， ①
同理， ②
方法1:①②得，
，，
即、、三点的横坐标成等差数列.
方法2：由①②得是方程的两根，
，即、、三点的横坐标成等差数列.
②由①②得是方程的两根，，
，，
，，
，，
，或.

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