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专题 高考立体几何题型分析
考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图
【命题规律】柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征在旧教材中出现过，而三视图为新增内容，一般情况下，新增内容会重点考查，从2007年、2008年广东、山东、海南的高考题来看，三视图是出题的热点，题型多以选择题、填空题为主，也有出现在解答题里，如2007年广东高考就出现在解答题里，属中等偏易题。
例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．

解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A
点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。
例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

左视图
主视图

俯视图

解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。
点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。
考点二：空间几何体的表面积和体积
【命题规律】柱、锥、台、球的表面积和体积以公式为主，按照新课标的要求，体积公式不要求记忆，只要掌握表面积的计算方法和体积的计算方法即可。因此，题目从难度上讲属于中档偏易题。
7、（2008中山一中等四校）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．

正视图 左视图民　　　　　　俯视图
变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图（单位：cm）．
（Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积．
图2－1
正视图
侧视图
俯视图

解（Ⅰ）这个几何体的直观图如图2－2所示．
（Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为1cm，高为2cm），它的上部是一个圆锥（底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm）．
所以所求表面积，
图2－2
所求体积．
例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
点评：在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）Ａ．　 Ｂ．　Ｃ．　　Ｄ．
例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，
其表面及为：
，故选D。
点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。
36．棱长为1cm的小正方体组成如图所示的
几何体，那么这个几何体的表面积是
例5、（湖北卷3）用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（　　）
A. B. C. D.
解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，
所以根据球的体积公式知，故B为正确答案．
点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。

考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。
通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
【命题规律】主要考查线线、面面平行的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线面平行、面面平行为主，属中档题。
9．（2008湖南，5）
已知直线m,n和平面满足,则( )
或 或
13．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的序号是 ( )A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
20．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题
① 若 ②若
A1
C
B
A
B1
C1
D1
D
O
③ ④
其中正确的命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、如图，空间有两个正方形ABCD和ADEF，M、N分别为BD、AE的中点，则以下结论中正确的是 (填写所有正确结论对应的序号)
① MN⊥AD； ② MN与BF是一对异面直线；
③ MN∥平面ABF； ④ MN⊥AB

2、关于直线与平面，有下列四个命题：
1）若∥，∥，且∥，则∥；
2）若，且，则；
3）若，∥且∥，则；
4）若∥，且，则∥；
其中不正确的命题为
【分析】 传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可多参考教室空间，或手中的笔与桌子这些具体模型。
【解答】1），4）；

1、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（　　）
A、　　　 B、　　　　 C、　　　 D、
2．已知、是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：
①若，则； ②若，则；
③若上有两个点到的距离相等，则；④若，则．
其中正确命题的序号是 （ ）
A．①②　　 B．①④　 C．②④　　 D．③④
3．已知直线及平面，下列命题中是假命题的是 （）
A．若∥,∥,则∥； B．若∥，∥，则∥.
C．若，∥，则； D．若∥，则；
4．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a//α、b；②a⊥α、b；③a⊥α、b；④a//α、b且a与α的距离等于b与β的距离，
其中是a⊥b的充分条件的有 （ ）
A．①④ B．① C．③ D．②③

9、（2008广州模拟）如图4所示，四棱锥中，底面为正方
形，平面，，，，分
别为、、的中点．
图4
A
B
C
D
E
F
G
P
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

19、（2008深圳福田等）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C－BEP的体积．

5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且点是的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：；

5、已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点. （1）求证：直线MF//平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；

变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．
图3－2
（Ⅰ）试判断四边形的形状；
（Ⅱ）求证：平面平面．
解（Ⅰ）如图3－2，取的中点，连结、．
∵、分别是和的中点，
图3－1
∴，
在正方体中，有
，　∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
又、分别是、的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
故．
∴四边形是平行四边形．
又≌，
∴，
故四边形为菱形．
（Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，
∴．
在正方体中，有
，

∴平面．
又平面，
∴．
又，
∴平面．
又平面，
故平面平面
P
E
D
C
B
A

21、在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，
AB∥CD，AB=DC，.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.

图11
D
E
A1
C
B
A
C1
B1
11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，
且交AC于D， (如图11) ．
（I）证明：平面；
（II）证明：平面．

11、（2008广东五校联考）正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：
（1）D1O//平面A1BC1;
（2）D1O⊥平面MAC.

8、（2008中山）如图，四棱锥P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
A
B
C
D
E
P
(I) 求证：平面PDC平面PAD；
(II) 求证：BE//平面PAD．

例8、（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
方法一：（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE

又

（2）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接

，
所以 与所成角的大小为
（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得

(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。
例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.
（1）求证：
（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.

证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN
GN⊥AC
（2）点P在A点处
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
G是DF的中点，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC

GA//面FMC 即GP//面FMC
点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。
考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。
通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
【命题规律】主要考查线线、面面垂直的判定与性质，多以选择题和解答题形式出现，解答题中多以证明线线垂直、线面垂直、面面垂直为主，属中档题。
例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：
（1）D1O//平面A1BC1;
（2）D1O⊥平面MAC.
证明: (1)连结分别交于
在正方体中,对角面为矩形
分别是的中点
四边形为平行四边形
平面,平面平面
（2）连结,设正方体的棱长为,
在正方体中,对角面为矩形且
分别是的中点

在中， ，即
在正方体中
平面
又， 平面
平面
又 平面
点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．
例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P—ABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．
A
B
C
D
E
P
(I) 求证：平面PDC平面PAD；
(II) 求证：BE//平面PAD．
证明：（1）由PA平面ABCD
A
B
C
D
E
P
F

平面PDC平面PAD；
（2）取PD中点为F，连结EF、AF，由E为PC中点，
得EF为△PDC的中位线，则EF//CD，CD=2EF．
又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF∥AB．
所以四边形ABEF为平行四边形，则EF//AF．
由AF面PAD，则EF//面PAD．
点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．
例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）设，，求点到平面的距离；
(1)证明：底面
且
平面平面
(2)解：因为，且，
可求得点到平面的距离为
点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现了转化思想．

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