全国高考理科数学考试习题及其解析.doc

2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到
集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 ( )
A．2 B．3 C． 4 D． 5
2. 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的
复数是 （ ）
A．2 B． C． D．3
3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体对角
线的长是 ( )
A．2 B．3 C． 6 D．
4．已知，那么下列命题成立的是 ( )
A．若、是第一象限角，则
B．若、是第二象限角，则
C．若、是第三象限角，则
D．若、是第四象限角，则
5．函数的部分图像是 ( )

6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
…
…
某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )
A．800~900元 B．900~1200元 C．1200~1500元 D．1500~2800元
7．若，P=，Q=，R=，则 ( )
A．RPQ B．PQ R C． Q PR D． P RQ
8．以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是 ( )
A． B．
C． D．
9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )
A． B． C． D．
10．过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A． B． C． D．
11．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与
FQ的长分别是、，则等于 ( )
A． B． C． D．

12．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分
成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( )
A． B．
C． D．
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
13． 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)
14． 椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________
15． 设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，则它的通项公式是=_______
16． 如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． (本小题满分12分)已知函数，．
(I) 当函数取得最大值时，求自变量的集合；
(II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

18． (本小题满分12分)
如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．
(I) 证明：⊥BD；
(II) 假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；
(III) 当的值为多少时，能使平面？请给出证明．

19． (本小题满分12分)
设函数，其中．
(I) 解不等式；
(II) 求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．

20． (本小题满分12分)
(I) 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；
(II) 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．

21． (本小题满分12分)
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)

22． (本小题满分14分)
如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．

2000年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．
(13)252 (14)－ (15) (16)②③
三．解答题
(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．
解：(Ⅰ)
y=cos2x＋sinxcosx＋1
=(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1
=cos2x＋sin2x＋=(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋
=sin(2x＋)＋ ——6分
y取得最大值必须且只需
2x＋=＋2kπ，k∈Z，
即 x=＋kπ，k∈Z．
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
{x|x=＋kπ，k∈Z } ——8分
(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换：
(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x＋)的图像；
(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；
(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；
(iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x＋)＋的图像；综上得到函数y=cos2x＋sinxcosx＋1的图像． ——12分
(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．
(Ⅰ)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，BD=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C= C1C，
∴ △C1BC≌△C1DC
∴ C1B=C1D，
∵ DO=OB
∴ C1O⊥BD， ——2分
但AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴ BD⊥平面AC1，
又C1C平面AC1
∴ C1C⊥BD． ——4分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD，
∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．
在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60º，
∴ C1B2=22＋()2－2×2××cos60º= ——6分
∵ ∠OCB=30º，
∴ OB=BC=1．
∴C1O2= C1B2－OB2=，
∴ C1O=即C1O= C1C．
作 C1H⊥OC，垂足为H．
∴ 点H是OC的中点，且OH=，
所以cos∠C1OC==． ——8分
(Ⅲ)当=1时，能使A1C⊥平面C1BD
证明一：
∵ =1，
∴ BC=CD= C1C，
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，
由此可推得BD= C1B = C1D．
∴ 三棱锥C－C1BD是正三棱锥． ——10分
设A1C与C1O相交于G．
∵ A1 C1∥AC，且A1 C1∶OC=2∶1，
∴ C1G∶GO=2∶1．
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，
∴ 点G是正三角形C1BD的中心，
∴ CG⊥平面C1BD．
即A1C⊥平面C1BD． ——12分
证明二：
由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，
∵ A1 C平面AC1，∴BD⊥A1 C． ——10分
当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥A1 C的证法可得BC1⊥A1C，
又BD⊥BC1=B，
∴ A1C⊥平面C1BD． ——12分
(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．
解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即
≤1＋ax，
由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．
所以，原不等式等价于

即 ——3分
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}． ——6分
(Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．
f(x1)－f(x2)= －－a(x1－x2)
=－a(x1－x2)
=(x1－x2)(－a)． ——8分
(ⅰ)当a≥1时
∵ <1
∴ －a<0，
又x1－x2<0，
∴ f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数． ——10分
(ii)当0<a<1时，在区间上存在两点x1=0,x2=，满足f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间上不是单调函数．
综上，当且仅当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数． ——12分
(20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．
解：(Ⅰ)因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有
（cn+1－pcn）2=( cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)，
将cn=2n＋3n代入上式，得
[2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2
=[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)]， ——3分
即[(2－p)2n+(3－p)3n]2
=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n－1+(3－p)3n－1]，
整理得(2－p)(3－p)·2n·3n=0，
解得p=2或p=3． ——6分
(Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn．
为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3．
事实上，=(a1p＋b1q)2=p2＋q2＋2a1b1pq，
c1·c3=(a1＋b1)(a1 p2＋b1q2)= p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)．
由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，
因此c1·c3，故{cn}不是等比数列． ——12分
(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)= ——2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300． ——4分
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)
即h(t)= ——6分
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2＋100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得
h(t)=－(t－350)2＋100
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分
综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分
(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称． ——2分
依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式得
x0== ，
．
设双曲线的方程为，则离心率．
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
， ①
． ② ——7分
由①式得 ， ③
将③式代入②式，整理得
，
故 ． ——10分
由题设得，．
解得．
所以双曲线的离心率的取值范围为． ——14分
9 / 9