1718第4章第1节课时分层训练24.doc

课时分层训练(二十四)
平面向量的概念及线性运算
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，已知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝(　　)
【导学号：31222142】
A.a－b　　　　　　 B.a＋b
C．a－b D．a＋b
A　[＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.]
2．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是(　　)
A．A，B，C B．A，B，D
C．B，C，D D．A，C，D
B　[因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，
所以A，B，D三点共线．]
3．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)
【导学号：31222143】
A. B.
C．－ D．－
A　[∵＝2，即－＝2(－)，
∴＝＋，∴λ＝.]
4．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
C　[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
A　[由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．]
二、填空题
6．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________.
【导学号：31222144】
平行四边形　[由＋＝＋得－＝－，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．]
7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
e1＋e2　[在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．]
8．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
　－　[∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴MN＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，∴x＝，y＝－.]
三、解答题
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

图4­1­1
[解]　＝(＋)＝a＋b.2分
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.12分
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
[解]　(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线.3分
又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线.5分
(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.7分
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，9分
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得解得λ＝，k＝.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为 (　　)
【导学号：31222145】
A. B.
C．1 D．2
A　[∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD(图略)，∴四边形MAEC为平行四边形，∴＝＝(＋)．∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝＝，故选A.]
2．(2017·辽宁大连高三双基测试)如图4­1­2，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

图4­1­2
　[因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.]
3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
[解]　由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，3分
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.6分
因为a，b不共线，所以有9分
解之得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上.12分