ARCH模型和GARCH模型yukz.docx

集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-19882）

ARCH模型和GARCH模型yukz

ARCH模型和GARCH模型

Robert F. Engle
Clive W. J. Granger
本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
引子---问题的提出
以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，
yt=yt-1+εt
其中εt为白噪声过程，
1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。
图1 日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000) 图2 日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)
图3 收益绝对值序列 (1995-2000) 图4 D(JPY)的平方 (1995-2000)
这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。
正态分布曲线
高峰厚尾分布曲线

图5 高峰厚尾分布特征示意图
显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。
§1、ARCH模型
1、条件方差
多元线性回归模型：
条件方差或者波动率（Condition variance，volatility）定义为
其中是信息集。
2、ARCH模型的定义
Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：
（1）
的无条件方差是常数，但是其条件分布为
（2）
其中是信息集。
方程（1）是均值方程（mean equation）
ü ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差
方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation），由二项组成
ü 常数
ü ARCH项：滞后的残差平方
由于εt2 的非负性，对i应有如下约束，
ω>0, i0, i = 1, 2, … q
当全部i = 0, i = 1, 2, …, q时，条件方差t2 =ω。因为方差是非负的，所以要求ω > 0。
3、ARCH模型的平稳性条件
为保证t2是一个平稳过程，(2) 式的特征方程
1-1L-2L2-…-qLq=0
的根都应在单位圆之外。
对i, i = 1, 2, …, q的另一个约束是
0 1+2+…+q<1
对(2) 式求期望，
t2 =ω+ 1 E(εt -1 2) + 2 E(εt -22) + … + q E(εt - q2)
=ω+ 1 t -1 2 + 2 t -22 + … + q t - q2
当T 时， 2 =ω+ 1 2 + 2 2 + … + q 2
则无条件方差
可见若保证t2是一个平稳过程，应该有约束
0 (1 + 2 + … + q ) < 1。
因为Var(yt) = Var(εt) = t2，所以上式可以用来预测yt 的方差。
综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有
1) 1-1L-2L2-…-qLq=0 的根都应在单位圆之外。
2) 0 1+2+…+q<1
为使模型能够成立还需要满足 ω>0, i0, i = 1, 2, … q
例1 ARCH(1)模型中参数的含义：
当时，
当时，退化为传统情形，
4、ARCH效应检验
ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验
建立辅助回归方程
此处是回归残差。
原假设：
H0：序列不存在ARCH效应
即 H0：
可以证明：若H0为真，则
此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。
Eviews操作：①先实施多元线性回归
②view/residual/Tests/ARCH LM Test
§2、ARCH模型的实证分析
从收盘价，得到收益率数据序列。
series r=log(p)-log(p(-1))
点击序列p，然后view/line graph
1、检验是否有ARCH现象。
首先回归。取2000到2254的样本。输入ls r c，得到
Dependent Variable: R
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:26
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

Durbin-Watson stat

问题：这样进行回归的含义是什么
其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到
ARCH Test:
F-statistic

Probability

Obs*R-squared

Probability

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:27
Sample(adjusted): 2010 2254
Included observations: 245 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

RESID^2(-1)

RESID^2(-2)

RESID^2(-3)

RESID^2(-4)

RESID^2(-5)

RESID^2(-6)

RESID^2(-7)

RESID^2(-8)

RESID^2(-9)

RESID^2(-10)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

得到什么结论
2、模型定阶：如何确定q
实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。
此处选取q＝3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。
3、ARCH模型的参数估计
参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。
如何实施ARCH过程：
由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH
得到如下结果
Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH
Date: 10/21/04 Time: 21:48
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Convergence achieved after 13 iterations

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C

Variance Equation
C

ARCH(1)

ARCH(2)

ARCH(3)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

Durbin-Watson stat

为了比较，观察将q放大对系数估计的影响
Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH
Date: 10/21/04 Time: 21:54
Sample: 2000 2254
Included observations: 255
Convergence achieved after 16 iterations

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C

Variance Equation
C

ARCH(1)

ARCH(2)

ARCH(3)

ARCH(4)

ARCH(5)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

Durbin-Watson stat

观察：说明q选取为3确实比较恰当。
4、ARCH模型是对的吗
如果ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。
对q为3的ARCH模型做LM test，发现没有了ARCH效应。
注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么
ARCH Test:
F-statistic

Probability

Obs*R-squared

Probability

Test Equation:
Dependent Variable: STD_RESID^2
Method: Least Squares
Date: 10/21/04 Time: 21:56
Sample(adjusted): 2010 2254
Included observations: 245 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

STD_RESID^2(-1)

STD_RESID^2(-2)

STD_RESID^2(-3)

STD_RESID^2(-4)

STD_RESID^2(-5)

STD_RESID^2(-6)

STD_RESID^2(-7)

STD_RESID^2(-8)

STD_RESID^2(-9)

STD_RESID^2(-10)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

方程整体是不显着的。
还可以观察标准化残差
ARCH建模以后，procs/make residual series/可以产生残差和标准化残差，以下分别是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。
还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比r和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。
ARCH建模以后，procs/make garch variance series/ 得到
结论：ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。
可以观察系数之和小于1，满足平稳性条件。
§3、GARCH模型
ARCH (q) 模型 是关于t2的分布滞后模型。为避免εt2的滞后项过多，可采用加入t2的滞后项的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（Generalized ARCH），主要就是针对q较大的情形
1、模型定义
条件方差方程
ü 均值
ü ：过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）
注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如R C），则R2没有直观定义了，因此可为负）
例2 GARCH(1,1) Model
标准的GARCH(1,1)描述为：
（a）
（b）
（a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。因为是基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。条件方差的方程有三项。
是均值项；；；
在 GARCH(1,1) 的(1,1) 表明有1阶GARCH项和1阶ARCH 项。
一个ARCH 模型是GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时，即：
（c）
（d）
如果对（2）式右边进行迭代。可以有
…
这说明GARCH(1,1)的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分构成。
令,将其代入(b)得,
由此可见，残差平方服从一个ARMA(1,1)过程。自回归因子的根为，如果接近1，则冲击是长久的。
2、GARCH(p, q) 模型的稳定性条件
计算扰动项的无条件方差：
从上式可推出稳定条件：0
为使模型有意义，系数还需要满足下面两条
1) ω > 0, i 0, i = 1, 2, …q,
2) βi 0, j = 1, 2, …p
3、GARCH模型的参数估计
采用极大似然估计GARCH模型的参数。下面以GARCH(1, 1)为例。
由GARCH(1, 1)模型
可以得到yt的分布为
由正态分布的定义公式，得到yt的pdf为
第t个观察样本的对数似然函数值为
其中
注意yi和yj之间不相关，因而是独立的。似然函数为
取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。
4、模型的选择
两条原则：
1） 若ARCH(q)中q太大，比如q大于7时，则选择GARCH(p, q)
2） 使用AIC和SC准则，选择最优的GARCH模型
3） 对于金融时间序列，一般选择GARCH(1, 1)就够了。
回顾AIC和SC定义：
1）AIC准则（Akaike information criterion）
AIC越小越好，结合如下两者：
K（自变量个数）减少，模型简洁
LnL增加，模型精确
2）SC准则（Schwaz criterion）
习题1：通货膨胀率有ARCH效应吗Greene P572
点击数据文件usinf_greene_p572。进行回归
ls inflation c inflation(-1)
Dependent Variable: INFLATION
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:37
Sample(adjusted): 1941 1985
Included observations: 45 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

INFLATION(-1)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

检验ARCH效应
ARCH Test:
F-statistic

Probability

Obs*R-squared

Probability

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:46
Sample(adjusted): 1946 1985
Included observations: 40 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

RESID^2(-1)

RESID^2(-2)

RESID^2(-3)

RESID^2(-4)

RESID^2(-5)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

习题2：通货膨胀率有ARCH效应吗Lin的数据集
点击usinf文件
series dp=100*D(log(p))
ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)
Dependent Variable: DP
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:10
Sample(adjusted): 1951:1 1983:4
Included observations: 132 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

DP(-1)

DP(-2)

DP(-3)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

ARCH Test:
F-statistic

Probability

Obs*R-squared

Probability

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 11/19/04 Time: 10:13
Sample(adjusted): 1952:2 1983:4
Included observations: 127 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C

RESID^2(-1)

RESID^2(-2)

RESID^2(-3)

RESID^2(-4)

RESID^2(-5)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

Dependent Variable: DP
Method: ML - ARCH
Date: 11/19/04 Time: 10:16
Sample(adjusted): 1951:1 1983:4
Included observations: 132 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 25 iterations

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C

DP(-1)

DP(-2)

DP(-3)

Variance Equation
C

ARCH(1)

GARCH(1)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

§４、GARCH模型
The ARCH-M Model(在方程中的回归因子)
如果将必要的外生变量或前定变量加到方差方程 (2)，得拓展的方程：
在方程（1） 描述外生变量和前定变量。如果把条件方差引入这个均值方程，则得到所谓的 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987)。
ARCH-M模型经常用在金融应用研究中，财产的期望收益与期望风险紧密相关。期望风险的估计参数是风险与收益互换的测度。
　　　§５　在Eviews中估计GARCH(p,q) Model的详细方法
首先选择Quick/Estimate Equation键或选择Object/New Object/Equation，再选择ARCH 选项，有对话框。
然后选择需要的均值方程、方差方程、估计方法和样本容量；
均值方程（The Mean Equation Specification）的选项
在被解释变量的编辑框中键入均值方程的变量或方程。如果估计的是ARCH-M 模型，还应该选择右上角的适当选项。
方差方程的选项（Variance Regressors）
在Variance Regressors 框中可以有选择的列出你希望加入的回归因子。值得注意的是EViews 已经加入了常数项，不需要再加入。
ARCH 模型的说明（ARCH Specification）
在前面我们已经知道了估计GARCH模型，必须给出ARCH和GARCH项. 默认是 GARCH(1,1)。为了估计标准的GARCH模型，点击GARCH 按纽。
估计选项
EViews 提供了一个进入选择项的按纽， 进入后可以将所需要的填入对话框。
Heteroskedasticity Consistent Covariances
点击Heteroskedasticity Consistent Covariance 为了计算共同极大似然估计 (QML) 协方差和标准误差利用Bollerslev and Wooldridge (1992)介绍的方法。
Iterative Estimation Control
给定收敛的准则，或迭代的次数
例3 估计标准的 GARCH(1,1) 模型，在均值方程和方差方程中无回归因子，步骤为：
1、在均值方程说明编辑的对话框中键入
sp c（SP是分析变量，例如收益率，c是常数项）
2、键入 1为 ARCH项, 键入1为GARCH项,选择对称GARCH模型。
3、选择无ARCH-M 项
例4 估计 ARCH(4)-M model，步骤为：
1、在均值方程说明编辑的对话框中键入
nys dum c
（nys是分析的因变量， dum是外生变量， c是常数项）
2、为ARCH项键入4和GARCH项键入0，并且选择对称GARCH选项。
3、选择Std. Dev. 作为ARCH-M 项
4、在方差回归因子框键入DUM（DUM作为条件方差中的一个外生变量）
ARCH 估计输出
Dependent Variable: R
Method: ML - ARCH (Marquardt)
Date: 06/08/03 Time: 00:45
Sample(adjusted): 2 5764
Included observations: 5763 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 62 iterations
Variance backcast: ON

Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C

Variance Equation
C

ARCH(1)

GARCH(1)

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

Schwarz criterion

Log likelihood

Durbin-Watson stat

ARCH模型的输出被分为了两个部分，上半部分是均值方程的标准输出，下半部分是方差方程的输出。方差方程的输出包括参数估计值、标准误差、Z统计两和输出。ARCH的参数对应，GARCH项的参数对应。
均值方程的被输出，在此，可能并无实际的意义，例如，在均值方程中它是负数。在上面的例子中非常接近1，表明易变的冲击是相当持久的，这种情况通常在高频的金融数据中出现