大学毕业论文-—例说微积分知识中学数学解题中的应用.doc
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1、学号:2004050049哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 例说微积分知识中学数学解题中的应用哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 例说微积分知识在中学数学解题中的应用专 业 数学与应用数学2009年 3 月课题来源:指导教师命题自拟题目课题研究的目的和意义: 目的是了解微积分的基本内容和思想方法,从而使微积分应用到中学数学解题中,使中学数学中的问题解法简化,例如不等式的证明,数列求和问题,在解析几何中也有巧妙的应用,并且学习微积分可以培养学生辩证思维方法和数学观念。国内外同类课题研究现状及发展趋势: 国内:大有热点之势,有很多学者热衷。国外:这方面相对比较发达,他们对数学起
2、步较早,已有一定的经验。发展趋势:在数学教学中,抓好基础概念,是非常重要的。有助于提高学生的数学素质,培养学生解题的实际能力。各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性课题研究的主要内容和方法,研究过程中的主要问题和解决办法: 首先给出了微积分的基本内容与思想方法,并提出微积分时培养学生辩证思维方法的最佳内容,之后讨论了微积分在中学数学中的应用,并举例说明微积分在中学数学中都有哪些巧妙的应用,使解题得到简化。课题研究起止时间和进度安排:起止时间:2008年12月28日2009年4月20进度安排:2008.12.282009.3.20 学习相关的理论知识并分析其在教学过程中的具体应用;
3、撰写课题方案。2009.3.212009.3.29 定期请教指导教师指导课题研究,请教相关问题,完成论文初稿。2009.4.62009.4.20 根据指导教师的意见和要求修改论文,完成成稿。课题研究所需主要设备、仪器及药品:杂志、复印机、计算机、打印机等。外出调研主要单位,访问学者姓名:指导教师审查意见:同意开题指导教师 (签字) 年 月 日 教研室(研究室)评审意见:同意开题数学教育教研室(研究室)主任 (签字) 年 月 日系(部)主任审查意见:同意开题 数学系 (部)主任 (签字) 年 月 日毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺:所呈交的毕业设计(论文),是我个人
4、在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知,除文中特别加以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果,也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体,均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名: 日 期: 指导教师签名: 日期: 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计(论文)的规定,即:按照学校要求提交毕业设计(论文)的印刷本和电子版本;学校有权保存毕业设计(论文)的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务;学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;在不以赢利为目
5、的前提下,学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名: 日 期: 学位论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名: 日期: 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关
6、数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名:日期: 年 月 日导师签名: 日期: 年 月 日指导教师评阅书指导教师评价:一、撰写(设计)过程1、学生在论文(设计)过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性;技术线路的可行性;设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文(设计)期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文(设计)质量1、论文(设计)
7、的整体结构是否符合撰写规范? 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)? 优 良 中 及格 不及格三、论文(设计)水平1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意? 优 良 中 及格 不及格3、论文(设计说明书)所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩: 优 良 中 及格 不及格(在所选等级前的内画“”)指导教师: (签名) 单位: (盖章)年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价:一、论文(设计)质量1、论文(设计)的整体结构是否符合撰写规范? 优 良 中 及格 不及格2、是否
8、完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)? 优 良 中 及格 不及格二、论文(设计)水平1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意? 优 良 中 及格 不及格3、论文(设计说明书)所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩: 优 良 中 及格 不及格(在所选等级前的内画“”)评阅教师: (签名) 单位: (盖章)年 月 日教研室(或答辩小组)及教学系意见教研室(或答辩小组)评价:一、答辩过程1、毕业论文(设计)的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良
9、中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格二、论文(设计)质量1、论文(设计)的整体结构是否符合撰写规范? 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文(设计)任务(包括装订及附件)? 优 良 中 及格 不及格三、论文(设计)水平1、论文(设计)的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意? 优 良 中 及格 不及格3、论文(设计说明书)所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩: 优 良 中 及格 不及格(在所选等级前的内画“”)教研室主任(或答辩小组组长): (签名)年 月 日教学系意见:系主任
10、: (签名)年 月 日学 士 学 位 论 文题 目 例说微积分知识在中学数学解题中的应用专 业 数学与应用数学 系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学2009年4月例说微积分知识在中学数学解题中的应用摘要:数学分析中的微积分在中学数学解题中有广泛的应用,可以起到以简驭繁的作用,如在代数方程根的讨论中、不等式的证明、恒等变形及恒等式证明、数列求和,在平面解析几何中也有及其巧妙的应用。使用微积分的方法,可使解法简化,并能使问题得以深化和拓广。此外,微积分可以培养学生辨证思维方法和数学观念,从而能够在以后的高等数学过程中得到更深一步的发展。关键词:微积分 中学数学 极限 辩证思维微积分是以
11、数列为基础,贯穿极限思想方法,突出微分、积分这对基本矛盾,及其内在联系微积分基本定理。下面介绍的是微积分的基本内容以及基本思想方法,及其微积分在中学数学中解题中的应用。此外中学数学中也可以应用微积分来预测答案,确定初等解法的路线,构造习题,检测结果等。一、微积分的基本内容以及思想方法微积分的基本内容是由微分、积分、以及指出微分,积分是一对矛盾的微积分基本定理-牛顿莱布尼茨公式,这三个主要部分组成。极限、微分、积分概念,极限方法,微积分计算原理,运动辨证思想和数学观念的培养,组成了微积分的知识结构系统,极限概念和极限思想方法贯穿了微积分的全部内容。从进入高二阶段学习的学生认知水平来看,他们已开始
12、摆脱具体事务的形式,进入具有形式逻辑的抽象,概括,分析,综合,演绎,可归纳等一般化理论思维阶段,并开始向更高级的思维-辨证思维形式发展。学习微积分这一具有丰富辨证思想的知识内容是培养和发展中学生思维能力不可分割的部分。并且学习微积分也是现代社会对人才的要求,和大学数学的学习内容得以衔接,无论是继续学习深造,还是步入社会在实践中学习提高,初等微积分的学习都难能使学生体验和见识变量数学的思想方法,拓宽他们对数学思想方法的认识和思路,培养辨证思维方式,进一步锻炼和形成理性思维,以适应科技迅速发展且竞争激烈的现代社会。无穷的方法,即极限思想方法是初等微积分的基本思想方法,所谓极限思想是用联系变动的观点
13、,把所考察的对象(例如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积等)看作是某对象(内接正n边形的面积、匀速运动的物体的速度,小矩形面积之和)在无限变化过程中变化结果的思想(方法),它出发与对过程无限变化的考察,而这种考察总是与过程的某一特定的,有限的,暂时的结果有关,因此它体现了“从有限中找到无限,从暂时中找到永久,并且使之确定起来”的一种运动辨证思想,它不仅包括极限过程,而且又完成了极限过程。也就是说,它不仅是一个不断扩展式的“潜无穷”过程,又是完成了的“实无穷”,因此是“潜无穷”与“实无穷”的对立统一体,综观微积分的全部内容,极限思想方法及其理论贯穿始终,是微积分的基础。二、微积分的作用
14、微积分是培养学生辩证思维方法的最佳内容。初等数学用的是静态观点,而微积分的用的是动态的观点;初等数学及决问题主要用的是形式变换方法,而微积分主要用的是矛盾转化方法;初等数学的逻辑基础是形式逻辑,而微积分的逻辑基础是辩证逻辑。下面将用辩证的观点,分析与综合相结合的方法,以案例的形式,对为什么微积分时培养学生辩证思维方法的最佳内容作以比较全面的论述。案例1 极限概念的定义及其蕴含的辩证思维方法。极限 一类变量无限变化趋势的数学模型。 定义1 无穷数列:当n趋向无穷大时,无限制逼近一个常数A,则称A,为无穷数列的极限,记作或。点评 (1)定义1直观而生动的显示出,又有限到无限变化,再由无限变化转化为
15、有限,这就是有限与无限相互转化的辩证关系。 (2)定义1不足之处是只给极限概念的定性分析,而未上升到严格的量化分析。定义2设无穷数列与常数A,有如下关系:即对任给0,总存在相应的正整数N,使得当nN时,总有恒成立,则称无穷数列以A为极限,记作。案例2 导数(微分)的定义及其蕴含的辩证思维方法。导数 变量变化速度的数学模型。定义 设函数,分别为函数在点自变量的增量和相应y的增量。若,当时,极限存在,则称函数在点可导,记作 点评(1)在此定义中采用了欲进而先退的迂回方法,即先不直接正面探求,而退回到已知的平均变化率,再反其道而行之,有极限方法,将平均速度转化为瞬时速度。(2)此定义充分体现了“退”
16、与“进”的互补关系,近似于精确的互相转化的辩证思维方法。案例3 定积分定义及其蕴含的辩证思维方法定积分 求变量总量的数学模型。定义 如果函数,与常数A有如下关系,即对的任意分割T, 不论点如何取,总有,则称函数在上可积,常数A叫做函数在上的积分,记作 点评 从定义可以看出有如下的辩证思维方法,“分”与“和”的辩证统一和互补关系;质与量的互转规律。上面用辩证思维分析的方法,揭示了微积分三个基本概念所蕴含的辩证思维方法,由于微积分学的整个内容是以这三个概念为核心而建构起来的,所以整个微积分学的内容充满了辩证概念思维方法,这正是微积分学培养学生辩证思维方法的最佳载体的根本原因。 三、微积分在中学中的
17、应用 积分的知识和方法在中学数学的许多问题上,都能起到以简驭繁的作用,尤其是在不等式、恒等式及恒等边形;求极值;研究函数的变化性态及左图;求弧长、面积、体积等方面,不仅可使解题简化,并能使问题的研究更深入、全面。(一)指数、对数、三角函数 (二)等式的证明在研究变化过程中变量之间的相互制约关系时,更多的是不等式的研究,因此从某种意义上来说,对不等式的研究比等式更为长见,也更为重要,但不等式的证明方法多种多样,没有较为统一的方法,初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决,或运用已有的基本不等式来证明,为此往往要进行恒等变形,这需要较高的技巧。利用微积分的方法,例如微积分的中值定理
18、、函数的增减性、极值判定法、定积分的性质等,可简化不等式的证明过程,降低技巧性。例4:证明以下不等式(1) (2)证明:(1)设所以递增又,故设由已证明的得结果:,知递增且因y(0)=0,即知(2)设可知,所以递增,又,得到,于是知道,即,也即例5:证 (b0,c0.a1)证明:设 因为:,所以为减函数,于是有,即特别地,当b=c=1,有例6:试证证明:由定积分定义有:(三)恒等变形及恒等式证明 用初等方法证明恒等式,往往要有较高的技巧,用微积分的方法,就简单许多,例如对sin3=3sin-4sin3两端对求导,立即可得到cos3=4cos3-3cos.再如证明,也只要做短对x求导,且用特殊值
19、确定常数即可解决。虽然我们不用微积分的一套方法,取代中学数学里必须有的恒等变形的知识和技巧训练,但做为数学的辅助手段,尚是可取的,例7:证明当证明:当x=1时,显然成立。当则由中值定理得令代入上式得 所以证毕本题用初等解法也不很困难,但须讨论,易出错。例8:求证证明:对两端求导得令显然,对应于x的不同值,可得若干类似的恒等式例9;证明证明:对两端从0到1积分即故 (四)数列求和中的应用数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一,由许多初等解决方法。本段探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法,从中可见高等数学与初等数学的密切联系。1微分知识在数列求和中的应用首先证明一个等式:事实上利用二项式
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- 大学毕业 论文 微积分 知识 中学数学 解题 中的 应用
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