2016年高考数学理试题分类汇编------导数及其应用.doc

______________________________________________________________________________________________________________

2016年高考数学理试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题
1、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)
【答案】A
2、（2016年全国I高考）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

【答案】D

二、填空题
1、（2016年全国II高考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
2、（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程
是_______________。
【答案】

三、解答题
1、（2016年北京高考） 设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【解析】 （I）
∴
∵曲线在点处的切线方程为
∴，
即①
②
由①②解得：，
（II）由（I）可知：，
令，
∴

极小值

∴的最小值是
∴的最小值为
即对恒成立
∴在上单调递增，无减区间.

2、（2016年山东高考）已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，证明对于任意的成立.
【解析】(Ⅰ) 求导数

当时，，，单调递增，
，，单调递减；
当时，
（1） 当时，，
或，，单调递增，
，，单调递减；
(2) 当时，， ，，单调递增，
(3) 当时，，
或，，单调递增，
，，单调递减；
(Ⅱ) 当时，，

于是，
，
令　，，，
于是，
，的最小值为；
又
设，，因为，，
所以必有，使得，且
时，，单调递增；
时，，单调递减；
又，，所以的最小值为．
所以．
即对于任意的成立．

3、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
【解析】（I）由题意，
①当时，，，在上单调递减.
②当时，，当时，；
当时，.
故在上单调递减，在上单调递增.
（II）原不等式等价于在上恒成立.
一方面，令，
只需在上恒大于0即可.
又∵，故在处必大于等于0.
令，，可得.
另一方面，
当时，
∵故，又，故在时恒大于0.
∴当时，在单调递增.
∴，故也在单调递增.
∴，即在上恒大于0.
综上，.

4、（2016年天津高考）设函数,，其中
(I)求的单调区间；
(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
【解析】（1）

① ，单调递增；
②，在单调递增，在单调递减，在单调递增
（2）由得
∴

（3）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，
使得即可
①当时，在上单调递减

递减，成立
当时，

∵
∴
若时，，成立
当时，，
所以，在区间上的最大值不小于成立

5、（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.
（I）求a的取值范围；
（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.
解：⑴ 由已知得：
① 若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
② 若，那么，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
即：

↓
极小值
↑
故在上至多一个零点，在上至多一个零点
由于，，则，
根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，，，
故
则的两根，， ，因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
③ 若，则，
当时，，，
即，单调递增；
当时，，，即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：

+
0
-
0
+

↑
极大值
↓
极小值
↑
而极大值

故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
而当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
④ 若，那么
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，
单调递增
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤ 若，则
当时，，，即，
单调递增
当时，，，即，
单调递减
当时，，，即，
单调递增
即：

+
0
-
0
+

↑
极大值
↓
极小值
↑
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．

⑵ 由已知得：，不难发现，，
故可整理得：
设，则
那么，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：

设，
则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．

6、（2016年全国II高考）
(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；
(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
【解析】⑴证明：

∵当时，
∴在上单调递增
∴时，
∴
⑵

由(1)知，当时，的值域为，只有一解．
使得，
当时，单调减；当时，单调增

记，在时，，∴单调递增
∴．

7、（2016年全国III高考）设函数，其中，记的最大值为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明．
解析：（Ⅰ）．
（Ⅱ）当时，

因此，． ………4分
当时，将变形为．
令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．
令，解得（舍去），．

8、（2016年浙江高考）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；
（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.

（II）（i）设函数，，则
，，
所以，由的定义知，即
．
（ii）当时，
，
当时，
．
所以，
．
9、(2016江苏)已知函数.
（1） 设a=2,b=.
① 求方程=2的根;
②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
解：（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.

Welcome To
Download !!!

欢迎您的下载，资料仅供参考！

精品资料