线代知识点总结-数学一.doc
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1、线性代数知识点、难点1、阶行列式的定义对于阶行列式的定义,重点应把握两点:一是每一项的构成,二是每一项的符号。每一项的构成是不同行不同列的个元素构成,一个阶行列式共有项。乘积项为的符号取决于的逆序数,即当为偶排列时取正号,当为奇排列时取负。例1 行列式 为二阶行列式,每一项由2个元素构成,第一项为,符号为正,第二项为1*2,符号为负。2、余子式和代数余子式余子式和代数余子式的概念容易出错,在计算中应注意。代数余子式,其中为余子式。一般这类题,重点考察对代数余子式的理解和其基本性质的应用,所以考生一定要灵活掌握,掌握基本思想。下面请看一例:例2 设行列式 则第4行元素余子式之和的值为_【分析】部
2、分考生答案为0。原因是将余子式和代数余子式混淆了。本题中第四行元素的代数余子式之和为0。因为。3、行列式按一行(列)展开设,则或注意:公式中使用的是代数余子式,而不是余子式。4、行列式的计算行列式的基本计算方法有三个:例21 归化 利用行列式的性质将行列式化成较简单且易于计算的行列式(如三角行列式等);例22 降阶 利用行列式的展开定理,将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。在实际计算过程中,往往两种方法交替使用:先利用性质将某行(列)化出尽可能多的零元素,再用按行(列)展开定理进行降阶。注意,在化零元素的过程中,尽量不要出现分式,否则,计算过程往往会变得相当繁琐。例23 递推 在降阶中找出高阶
3、行列式与低阶行列式(,通常是)的关系,即递推公式,利用递推公式递推求得。例3 记行列式为,则方程的根的个数为。解析 问方程有几个根,也就是问是的几次多项式。不要错误地认为这样的一定是4次多项式 ,其实适当选系数可构造出0至4任一次数的多项式。由于行列式的每一个位置都含有,若立即展开处理是不妥的,应当先利用性质恒等变形消去一些再展开。将第1列的-1倍依次加至其余各列,有 易见是二次多项式。例4 。解析 方法1方法2解本例的方法有典型性,大家应熟练掌握。5、矩阵的概念矩阵的行数和列数不一定相等。行数和列数相等的矩阵称为方阵。:矩阵和矩阵必须具有相同的行数和相同的列数,且对应元素均相等。如。只有两个
4、矩阵具有相同的行数和列数时,才能进行矩阵的加法运算。矩阵的数乘表示对矩阵中的每一个元素都乘以。注意:是每一个元素,而不是某一行或某一列。矩阵的乘法必须要求的列数等于的行数。矩阵的乘法一般不满足交换律,即。例如:,。对于某些矩阵,即使与都有意义,它们仍不一定相等。如,与都有意义,但为矩阵,而为矩阵,显然不相等。当和均为矩阵时,。行列式是数,可以交换。有矩阵乘积,不能推出或。等价地说,且,有可能使,如上例。矩阵的乘法不满足消去律,即时,有,但。只有当为非奇异矩阵,即时,若,则必有。若,则必有。例5 设4阶矩阵,其中是4维列向量,且,则。解析 本题考查矩阵运算与行列式的性质。由于,所以部分考生将矩阵
5、运算与行列式的性质混淆,得出错误结论。例6 设是3阶方阵,是的伴随矩阵,的行列式,求行列式的值。解析 本题同样考查矩阵运算与行列式的性质。由于,故,故不少考生把错误地写成,把错误地写成。6、关于 是考研中常见的一种题型,也是考生比较畏惧的一种题型。它的特点是题干简单,已知较少,所以考生有时候觉得无从下手,其实所有的题都是由基本东西转换而来的,考生要掌握其基本思路。下面举两例说明:例7 设是阶非0矩阵,满足,且,证明行列式。【证法一】(反证法)若,那么可逆。用左乘的两端,得与矛盾,故。【证法二】(用秩)据已知有,那么因为,即,那么秩从而秩,故。【证法三】(用有非零解)据已知有,即的列向量是齐次方
6、程组的解,又因,所以有非零解,从而。注解 是考研题中一个常见的已知条件,对于应当有两种思路:设是矩阵,是矩阵,若,则(1)的列向量是齐次方程组的解(2)例8 设为阶矩阵,满足,证明。【证明】因为所以 又因于是故必有 7、伴随矩阵伴随矩阵是线代中比较重要的概念,也是一个常考的点,出题点多结合逆矩阵,所以考生在深刻掌握伴随矩阵概念的同时,应该熟记一些和伴随有关的公式定理,这类型题一般解法较多比较灵活,考生应熟记它的定义和基本性质,以不变应万变。涉及伴随矩阵的计算或证明问题一般可从公式及伴随矩阵的相关结论着手分析。以下结论可以直接使用:例9 设为阶非零矩阵,是的伴随矩阵,当时,证明。证明 由,及,有
7、。若,则,设的行向量为,则,即,于是,与已知矛盾,故。例10 设矩阵满足,其中是的伴随矩阵,若为三个相等的正数,则=。解析 题设与的伴随矩阵有关。由,及,有,且或,而,于是,且。8、逆矩阵涉及两个矩阵是否可交换,考虑用逆矩阵的定义进行分析。例11 设阶方阵满足关系式,其中是阶单位阵,则下列哪些正确?1、 2、 3、 4、 5、解析 把题目和矩阵的逆矩阵联系起来。若,则说明,故,。逆矩阵的计算一般有三种方法:(1);(2)通过恒等变形,利用定义进行计算;(3)用初等变换求逆矩阵。在用初等变换法求逆矩阵的整个过程中,如果置于之右,则必须只用行初等变换,而不能用列初等变换。如果置于之下,则必须只用列
8、初等变换,而不能用行初等变换。这点务必注意。例12 设矩阵满足,其中为单位矩阵,则。解析 本题考查用定义求逆矩阵。题中给出了矩阵方程,需经过恒等变形,得出或的形式,确定的逆矩阵。由于,所以,于是,故。题中没有具体给出矩阵的元素,所以不能用初等变换或求伴随矩阵的方法求逆矩阵,只能用定义。从上面的解题过程可以看出,类似于多项式的因式分解。我们配出了因式,不少考生正是忽视逆矩阵的定义而不知如何下手。例13 设,均为3阶矩阵,为3阶单位矩阵,已知,则。解析 本题考查求逆矩阵。先做恒等变形,设法分解出,再进行数值计算。由于,所以,故。本题给出了具体的矩阵,若先求矩阵与之后,再求,计算量就比较大,费时也容
9、易出错。例14 设,为4阶单位矩阵,且,则。解析 对于没有运算法则,通常用单位矩阵恒等变形的技巧化为乘积的形式。本题是考生失误较多的一个考题,这里涉及的思路方法应很好体会。9、初等变换 初等变换是一个非常重要的概念,它可以简化许多问题,但是考生在应用初等变换上还不是很熟练,有时候根本就不知道初等变换是用来干什么的。首先建议学员一定要弄清楚概念,它具有什么性质。知道行变换就是左乘初等矩阵,列变换就是右乘初等矩阵,然后就可以化简计算。初等矩阵均可逆,且其逆是同类型的初等矩阵。例如:即 例15 设,则 答案:【分析】利用初等矩阵。矩阵的一、二两行互换后再二、三两行互换,然后一、二两列互换后再二、三两
10、列互换,即是矩阵,即可见。10、线性相关性线性相关性是考察的重点,同时也是考生的难点。多以选择题或证明题的形式出现。向量组的线性相关(无关)是一个抽象概念,在理解时需仔细体会“有一组”与“任一组”。“有一组”只要求存在,而“任一组”要求全部,强调任意性。许多错误往往发生在此。对于向量组恒有,向量组是否线性相关,其实就是问除上述情况之外,能否再找到另一组使得成立。维向量线性相关存在不全为0的数使得成立;齐次方程组有非零解;向量组的秩;向量组中某个向量可以用其余向量线性表出 。例16 设是阶矩阵,是维列向量,若,证明向量组, ,线性无关【证】(用定义、同乘)设 (1)由于知,用左乘(1)式两端,并
11、把,代入,有 因为,故=0。把代入(1)式,同理可知 从而。类似可得,所以,线性无关。分析 部分考生在设出之后,不知如何往下做,没有想到可用左乘等式的两端,使问题得到解决。例17 设4维列向量线性无关,且与4维列向量均正交,证明线性相关。【证】(用秩)构造矩阵 则矩阵是秩为3的矩阵,由于 所以均是齐次方程组的解。那么,从而线性相关。11、线性表出 线性表出也是常考的一类题型,考察的形式多结合线性相关,线性无关。应结合他们的定义与线性表出的概念,以及他们之间的联系来解题。这类题多用反证法,考生应熟练掌握这部分的题型,否则可能拿到手后根本没有思路,当遇到这种情况时,建议从最基本的定义和概念出发,一
12、步步往结论处求证。有些题可以利用线性相关、无关、向量组的秩、极大线性无关组等概念之间的关系直观的得出结论。例18 设是维向量组,则( )不正确。(A) 如果,则任何维向量都可以用线性表示;(B) 如果任何维向量都可以用线性表示,则;(C) 如果,则任何维向量都可以用唯一线性表示;(D) 如果,则存在维向量不能用线性表示。【分析】利用“用秩判断线性表示”的有关性质。当时,任何维向量添加进时,秩不会增大,从而(A)正确。如果(B)的条件成立,则任何维向量组都可以用线性表示,从而如果取是一个阶可逆矩阵的列向量组,则得到,从而(B)正确。(D)是(B)的逆否命题,也正确。当时,不能保证任何维向量可用线
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