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定积分知识点总结定积分知识点总结北京航空航天大学李权州1、定积分定义与基本性质 1.定积分定义定积分定义 设有一函数 f(x)给定在某一区间a,b上.我们在 a 与 b 之间插入一些分点.而将该区间任意分为若干段.以表示差数bxxxxan.210|中最大者.)1,.,1,0(1nixxxiii在每个分区间中各取一个任意的点.,1iixxix)1,.,1,0(1nixxiii而做成总和 10)(niiixf然后建立这个总和的极限概念：0|limI另用语言进行定义：，在时，恒有00|I则称该总和在时有极限.0I总和在时的极限即 f(x)在区间 a 到 b 上的定积分，符号表示为0badxxfI)(2.性质性质 设 f(x)，g(x)在a,b上可积，则有下列性质 (1)积分的保序性 如果任意，则)(),(,xgxfbaxbabadxxgdxxf,)()(特别地，如果任意则,0)(,xfbaxbadxxf0)(2)积分的线性性质bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(特别地，有.babaxfcdxxcf)()(设 f(x)在a,b上可积，且连续，(1)设 c 为a,b区间中的一个常数，则满足bccabadxxfdxxfdxxf)()()(实际上，将 a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立.(4)存在，使得,ba)()()(fabdxxfba2、达布定理1.达布和达布和分别以和表示函数 f(x)在区间里的下确界及上确界并且做总和imiM,1iixxniiiiniiiixxmfSxxMfS1111)(),(,)(),(称为 f(x)相应于分割 的达布上和，称为 f(x)相应于分割 的达布下),(fS),(fS和特别地，当 f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下 f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道iiiMfm)(将这些不等式逐项各乘以(是正数)并依 i 求其总和，可以得到ixix),(),(fSfS推论推论 1 设 f(x)在a,b上有界.设有两个分割，是在的基础上的加密分割，多加了 k 个新分店，则|,|),(),(),(|,|),(),(),(kfSfSfSkfSfSfS这里分别为 f 在a,b上的上、下确界.mMmM,推论推论 2 设 f(x)在a,b上有界.对于任意两个分割，有,)(),(),()(abMFSfSabm2.达布定理达布定理定义定义 设 f(x)在a,b上有界，定义。上一个分割为，上一个分割为,|),(sup,|),(infbafSIbafSI称 为 f(x)在a,b上的上积分，为 f(x)在a,b上的下积分.II定理定理 对于 f(x)在a,b上的有界函数，则有.),(lim,),(lim0|0|IfSIfS3.函数可积分条件函数可积分条件 设 f(x)在a,b上有界，下列命题等价：(1)f(x)在a,b可积；(2);II(3)对于a,b上的任何一个分割，；niiiixx110|0)(lim(4)任给，存在，对于a,b上的任何分割，当，有00|niiiixx11)(成立；(5)任给，在a,b存在一个分割，当时有0|niiiixx11)(成立.这里为 f(x)在区间上的振幅.iiimM,1iixx3、微积分基本定理定理（定理（Newton-Leibniz 公式）公式）设 f(x)在a,b上可积，且在a,b上有原函数 F(x)，则)()()(aFbFdxxfba注：注：1.f(x)是 f(x)的原函数，故当时，该公式可写为),(baRf)()()(afbfdxxfba 2.上述定理并不是说可积函数一定有圆环数，而是说如果存在原函数，那么可用来计算定积分的值.Newton-Leibniz 公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门.4、定积分的计算除了利用 Newton-Leibniz 公式计算微积分外，还可以使用换元公式和分部积分计算微积分.1 定积分中变量替换公式定积分中变量替换公式 设要计算积分，这里 f(x)是在区间a,b内连续的.badxxf)(令，函数具备下列条件：)(tx)(t1）函数在某一区间内有定义且连续，而其值当 t 在内变化时恒不越)(t,出区间a,b的范围；2）;)(,)(ba3）在区间有一连续函数.,)(t于是成立公式dtttfdxxfba)()()(由于被积函数假设是连续的，不但这些定积分存在，同时其相应不定积分也存在，并且在两情形都可以用基本公式.2 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 在不定积分部分曾经讨论过公式,vduuvudv这里假设以 x 为自变量的函数 u，v 以及其导函数 u，v都是在考虑区间a,b里连续的.则我们有 babavduabuvudv5、定积分中值定理微分中值公式微分中值公式),(),)()()(baabFaFbF说明，函数值的差可以通过其导数值来表达和估算.如果从微分运算的逆运算来认识积分运算，那么就有相应的积分的中值公式：记 F(x)=f(x)，即把 F(x)看作是可积函数 f(x)的原函数，则上述公式化为),(),)()(baabfdxxfba这一类公式称之为积分中值公式，它显示出一个函数的定积分可以通过其自身进行表达和估算.上述公式的几何意义可以从面积的意义来考察：设 f(x)是a,b上的正值连续函数，则公式左边的面积与右边表达式所代表的举矩形面积相等，而矩形的高正是 f(x)在)(fa,b上的积分平均值：badxxfabf)(1)(1 定积分第一中值公式定积分第一中值公式 设，且函数值不变号(即对一切),(baRg).0)(0)(,xgxgbax或(1)若，且记，则存在:),(baRf)(sup,xfMba)(inf,xfmba，使得,baxMm babadxxgdxxgxf)()()(2)若，则存在，使得),(baCf,bababadxxgfdxxgxf)()()()(2 定积分第二中值公式定积分第二中值公式 引理引理(Abel)设有两组数记，则,.,.,2121nnbbbaaakiiknkaA1),.,2,1(nininniiiiibAbbAba1111)(推论推论 若有，且，则有),.,2,1(nkMAmk0.21nbbb111Mbbambniii定理定理(Bonnet 型型)设.),(baRg(1)若 f(x)是a,b上非负递减函数，则存在，使得,ba baadxxgafdxxgxf)()()()(2)若 f(x)是a,b上非负递增函数，则存在，使得,babaadxxgafdxxgxf)()()()(3 定积分第三中值公式定理定理(Weierstrassz 型型)设 f(x)在a,b上是单调函数，则存在，),(baRg,ba使得babadxxgbfdxxgafdxxgxf)()()()()()(6、函数可积分的勒贝格定理定义定义 设 A 是实数集合，若，对任意，存在至多可数的系列开区间，0,*NnIn它是 A 的一个开覆盖，并且，则称 A 为零测度集或者零测集.1|nnI定理定理 零测集性质如下：(1)至多可数个零测集的并集是零测集；(2)设 A 为零测集，若，那么 B 也是零测集.AB 定理定理(Lebesgue 定理定理)若函数 f 在a,b区间上有界，则 f 在a,b区间上 Riemann 可积的充分必要条件是 f 在a,b区间不连续点的集合,)(处不连续在xfbaxfD为零测集.