立体几何多面体与外接球问题专项归纳--[1].pdf

1立体几何多面体与外接球问题专项归纳立体几何多面体与外接球问题专项归纳1 1、一个四棱柱的底面是正方形、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直侧棱与底面垂直,其长度为其长度为 4,棱柱的体积为棱柱的体积为 16,棱柱的各顶棱柱的各顶点在一个球面上点在一个球面上,则这个球的表面积是则这个球的表面积是()A.16B.20C.24D.322 2、一个正四面体的所有棱长都为、一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为则此球的表面积为()2A.3B.4C.3D.633.在半球内有一个内接正方体在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比试求这个半球的体积与正方体的体积之比.24.一个正四面体的所有棱长都为一个正四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一个球面上四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为则此球的表面积为()2A.3B.4C.3D.63历届高考外接球内切球问题历届高考外接球内切球问题1.1.（陕西理（陕西理66）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 1 的球面上，其中底面的三个顶的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A A433 B B33 C C 43 D D123 答案答案B B2.直三棱柱直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于，则此球的表面积等于 。解解:在在ABC中中2ABAC,120BAC,可得可得2 3BC,由正弦定理由正弦定理,可得可得ABC外接圆半径外接圆半径 r=2,设此圆圆心为设此圆圆心为O，球心为，球心为O，在，在RT OBO中，易得球半径中，易得球半径5R，故此球的表面积为故此球的表面积为2420R.3正三棱柱正三棱柱111ABCABC内接于半径为内接于半径为2的球，若的球，若,A B两点的球面距离为两点的球面距离为，则正三棱，则正三棱柱的体积为柱的体积为 答案答案 84.4.表面积为表面积为2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A A23 B B13 C C23 D D2 23答案答案 A【解析解析】此正八面体是每个面的边长均为此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由的正三角形，所以由2382 34a知，知，31a，则此球的直径为，则此球的直径为2，故选，故选 A A。5.5.已知正方体外接球的体积是已知正方体外接球的体积是332，那么正方体的棱长等于（，那么正方体的棱长等于（）A.22 B.332 C.324 D.334答案答案 D6.6.（20062006 山东卷）山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.13 B.13 C.133 D.19答案答案 C7.7.（2008 海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为底面周长为 3，则这个球的体积为，则这个球的体积为答案答案 348.（2007 天津理天津理 12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为，则此球的表面积为答案答案 149.（2007 全国全国理理 15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四的球面上。如果正四棱柱的底面边长为棱柱的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案答案 24 210.（2006 辽宁辽宁）如图，半径为）如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱，则此正六棱锥的侧面积是锥的侧面积是_答案答案 6 711.11.（辽宁省抚顺一中（辽宁省抚顺一中 20092009 届高三数学上学期第一次月考）届高三数学上学期第一次月考）棱长为棱长为 2 2 的正四面体的四个顶点都在同一个的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形三角形(正四面体的截面正四面体的截面)的面积是的面积是 .答案答案 2 12.（2009 枣庄一模）枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A3B2ABCPDEF4C316D以上都不对以上都不对答案答案 C13.(吉林省吉林市吉林省吉林市 2008 届上期末届上期末)设正方体的棱长为设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（，则它的外接球的表面积为（2 2 3 33 3）A38 B2 C4D34答案答案 C1 1、答案、答案:C解解:由题意知由题意知,该棱柱是一个长方体该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为其长、宽、高分别为 2,2,4.所以其外接球的半径所以其外接球的半径 R=.所以球的表面积是所以球的表面积是 S=4R2=24.44 16262、答案答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球则正方体内接于球,正方体正方体棱长为棱长为 1,则体对角线长等于球的直径则体对角线长等于球的直径,即即 2R=,3所以所以 S球球=4R2=3.3 3、解、解将半球补成整个的球（见题中的图）将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径球的直径.设原正方体棱长为设原正方体棱长为 a,球的半径为球的半径为 R,则根据长方体的对角线性质则根据长方体的对角线性质,得得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即即 4R2=6a2.所以所以 R=a.62从而从而 V半球半球=R3=a3,23326a3262V正方体正方体=a3.因此因此 V半球半球V正方体正方体=a3a3=2.6264答案答案:A解析解析:以以 PA,PB,PC 为棱作长方体为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥则该长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接球的外接球,所以所以球的半径球的半径 R=2,所以球的表面积是所以球的表面积是 S=4R2=16.2221(6)325