线性代数、高等数学等考研数学总结(数一二).pdf
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1、 概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 (),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE 可逆 的列(行)向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ,0总有唯一解 是正定矩阵 R R12,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或:全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.注nnR Rn()Ar AnAAAAxA不可逆 0的列(行)向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量 注()()abr aEbAnaEbAaEbA x 有非零解=-:具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于:12,ne ee
2、称为的标准基,中的自然基,单位坐标向量;nR RnR R87p教材线性无关;12,ne ee;12,1ne ee;tr=E n任意一个维向量都可以用线性表示.n12,ne ee 行列式的定义 1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaa1 行列式的计算:行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.若都是方阵(不必同阶),则(拉普拉斯展开式)AB与=()mnAOAAOA BOBOBBOAA
3、A BBOBO 1上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.关于副对角线:(即:所有取自不同行不同(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO 1列的个元素的乘积的代数和)n范德蒙德行列式:1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx 111矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作:或m nmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaam n ijm nAam nA伴随矩阵,为中各个元素的代数余子式.1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAAijAA 逆矩阵的求法::1
4、AAA注1abdbcdcaadbc1主换位副变号1()()A EE A 初等行变换 1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa 方阵的幂的性质:mnm nA AA()()mnmnAA 设的列向量为,的列向量为,,m nn sABA12,n B12,s 则,为m sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb iiAc(,)is1,2i的解可由线性iAxc 121212,sssAAAAc cc 12,sc cc12,n 表示.即:的列向量能由的列向量线性表示,为系数矩阵.CAB同理:的行向量能由的行向量线性表示,为系数矩阵.CBTA即
5、:1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaac11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaac 用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量;左行用对角矩阵乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量.右列 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.分块矩阵的转置矩阵:TTTTTABACCDBD分块矩阵的逆矩阵:111AABB111ABBA 1111ACAA CBOBOB1111AOAOCBB CAB 分块对角阵相乘:,11112222,ABABAB11112222A BABA B1122
6、nnnAAA分块对角阵的伴随矩阵:*ABABAB*(1)(1)mnmnAA BBB A 矩阵方程的解法():设法化成 0A AXBXAB(I)或 (I I)A BE X 初等行变换(I)的解法:构造()()TTTTA XBXX(I I)的解法:将等式两边转置化为,用(I)的方法求出,再转置得零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关.部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.(向量个数变动)原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关.(向量维数变动)两个向量线性相关对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关.114p教材
7、向量组中任一向量 都是此向量组的线性组合.12,n i(1i)n向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.12,n n1向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.12,n in1维列向量组线性相关;m12,n()r An 维列向量组线性无关.m12,n()r An若线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.12,n 12,n 12,n 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线后面0的第一个元素非零.当非零行的第一
8、个非零元为 1,且这些非零元所在列的其他元素都是时,称为行最简形矩阵0矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.即:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘;A行左A对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.A列右A矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式,且任意阶子式均为零,则称矩阵的秩为.记作Arr 1Ar()r Ar向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作 12,n 12(,)nr 矩阵等价 经过有限
9、次初等变换化为.记作:ABAB 向量组等价 和可以相互线性表示.记作:12,n 12,n 1212,nn 矩阵与等价,可逆作为向量组等价,即:秩相ABPAQB,P Q()(),r Ar BA BA B为同型矩阵等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价AB1212(,)(,)nnrr 1212(,)nnr 矩阵与等价.AB向量组可由向量组线性表示有解12,s 12,n AXB12(,)=nr.1212(,)nsr 12(,)sr 12(,)nr 向量组可由向量组线性表示,且,则线性相关.12,s 12,n sn12,s 向量组线性无关,且可由线性表示,则.12,s 12,n sn向量组可由向量
10、组线性表示,且,则两向量组等价;12,s 12,n 12(,)sr 12(,)nr p教材94,例10任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.设是矩阵,若,的行向量线性无关;Am n()r AmA 若,的列向量线性无关,即:线性无关.()r AnA12,n 矩阵的秩的性质:()AOr A若1()0AOr A若0()m nr Amin(,)m n ()()()TTr Ar Ar A Ap教材101,例15 ()()r kAr Ak 若0 ()(),()0m n
11、n sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩.()()()()Ar ABr BBr ABr A若可逆若可逆若;()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.等价标准型.()rrEOEOr ArAAOOOO若与唯一的等价,称为矩阵的 ()r AB()()r Ar Bmax(),()r A r B(,)r A B()()r Ar Bp教材70 ()()AOOArr Ar BOBBO(
12、)()ACrr Ar BOB 121212,0,()(),AnnAnAxAnAxAxr Ar AAxAn 当为方阵时当为方阵时有无穷多解0 表示法不唯一线性相关有非零解 可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),()()()1()nAxr Ar AAxr Ar Ar Ar A 教材72 讲义8性无关只有零解 不可由线性表示无解 :注AxAx有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax1122nnxxx 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxb12,2,jjjmjjn1 1212(,)n
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