空间直线和平面总结-知识结构图+例题.pdf
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1、空间直线和平面空间直线和平面知识串讲空间直线和平面:(一)知识结构(二)平行与垂直关系的论证 1、线线、线面、面面平行关系的转化:线线 线面 面面 公理 4(a/b,b/c a/c)线面平行判定/,/abab 面面平行判定 1 ababa/,/面面平行性质 ababAab,/,/线面平行性质 aabab/面面平行性质 1/aa 面面平行性质/A b a a b 2.线线、线面、面面垂直关系的转化:线线 线面 面面 三垂线定理、逆定理 PAAOPOaa OAa POa POa AO,为在 内射影则 线面垂直判定 1 面面垂直判定 a babOl a l bl,aa 线面垂直定义 lal a 面面
2、垂直性质,推论 2 baa ba,aa 面面垂直定义 ll,且二面角成直二面角 3.平行与垂直关系的转化:线线 线面 面面 线面垂直判定 2 面面平行判定 2 线面垂直性质 2 面面平行性质 3 abab/abab/aa/aa a 4.应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定,由已知想性质。”5.唯一性结论:(三)空间中的角与距离 1.三类角的定义:(1)异面直线所成的角:090 (2)直线与平面所成的角:090 (时,或)0bb (3)二面角:二面角的平面角,0180 2.三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算”即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义;(3)指出所求作的角;
3、(4)计算大小。3.空间距离:将空间距离转化为两点间距离构造三角形,解三角形,求该线段的长。4.点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法:三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题典型例题】例.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M、N 分别是 A1B1和 BB1的中点,那么 AM 与 CM 所成角的余弦值为()52.D53.C210.B23.A 分析:分析:如图,取 AB 中点 E,CC1中点 F 连结 B1E、B1F、EF 则 B1E/AM,B1F/NC EB1F 为 AM 与 CN 所成的角 又棱长为 1 B EB FEF115
4、25262,cosEB FB EB FEFB E B F11212211225 选 D 例 3.已知直线平面,直线平面,有下面四个命题:lm /l mlmlml m 其中正确的两个命题是()A.与B.与C.与D.与 分析:分析:对于正确llml m/对于,如图lamlm/错 对于正确llmmm/对于,如图ll mm/错 正确,选 D 例 4.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EFPB 交 PB 于点 F。(1)证明 PA/面 EDB。(2)PB平面 EFD。证:证:(1)连 AC,AC 交 BD 于 O,连
5、 EO 底面 ABCD 是正方形 点 O 是 AC 中点 又 E 为 PC 中点 EO/PA 又面,且面EOEDBPAEDB PA/面 EDB (2)PD底面 ABCD BCPD 又且BC DCPDDCD BC面 PDCBCDE 又 E 为等直角三角形中点 DE PCPCBCC且 DE面 PBCDEPB 又已知且EF PBEFDEE PB面 DEF 例 5.正三棱柱 ABCA1B1C1中,AB1BC1,求证:A1CBC1。证明:证明:设 E、E1分别是 BC、B1C1的中点,连 AE,A1E1,B1E,E1C 则面,面及AEB BCCA EB BCCEBE C11111111/AEB BCCA
6、BBCEBBCEBE CE C BCA EB BCCA C BC面面1111111111111111/注:三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例 6.下列正方体中,l 是一条体对角线,M、N、P 分别为其所在棱的中点,如何证明 l面 MNP。(1)D1 P C1 M A1 B1 l D C A B N(2)D1 C1 A1 B1 l N M D C P A B (3)D1 C1 A1 P B1 N l D C M A B 分析:分析:在侧面的射影显然与、垂直lMPMN MP lMN llMNP,面 显然 分别与在底面上射影垂直及与垂直lMNMP lMNP面 如图,取棱 A1A、DC、B1
7、C1的中点,分别记为 E、F、G,显然 EMFNGP 为平面图形,而 D1B 与该平面垂直l面 MNP例 7.如图,斜三棱柱中,ABCA B CACA BAAACAB 810ACB=90,侧棱与底面成 60的角。()求证:面面;1AA C CABC ()求侧面的面积。2AA B B 分析:分析:要证明面面,只要证明面,又,只要AA C CABCBCAA C CBC AC 证明,故只要证明平面。BC ACACA BC 证明:证明:()为菱形1AA C C ACA C 又面ACA BACA BCACBC 又ACB=90,即 ACBC BCAA C C面 又面面面BCABCABCAA C C ()作
8、于2A D ACD 面面,为交线AA C CABCAC A DABC面 与底面成的角,即为侧棱60ACA AAADA 过 作于,连结,则DDE ABEA EA E AB 又,ADA D86048604 3cossin D 为 AC 中点 在中Rt ABC DEBCADABDE4610125 A EA DDE()()22224 31258521 SABA EA ABB平行四边形 10852116 21 例 8.已知 RtABC 中,C=90,AC=8,BC=6,D、E 分别是 AB、AC 的中点,沿 DE 将ABC 折成直二面角,使 A 到 A的位置(如图)。求:(1)C 到 AD 的距离;(2
9、)D 到平面 ABC 的距离;(3)AD 与平面 ABC 所成角的正弦值。解:解:(1)二面角 ADEB 是直二面角 又 AEED,CEED ED面 AEC 及 EC面 AED 作 EFAD 于 F,连结 CF,则 CFAD CF 即为 C 点到直线 AD 的距离 在 RtAED 中,EFAD=AEED EF435125 FCEFEC222212544 345()/BCADEBCABCBC/DE2面,面,)(DE/面 ABC E 到面 ABC 的距离即为 D 点到平面 ABC 的距离 过 E 作 EMAC 于 M ED面 AEC 又 BC/ED BC面 AEC BCEM EM面 ABC 为 点
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