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多媒体教学课件复变函数论1.6.1 解析开拓的概念及方法v6.1.1 基本概念定义6.1 设f(z)定义在域（某一曲线）D上，G是一个包含D的区域，若存在G内的解析函数F(z)，使得当 时，F(z)=f(z)，则称函数f可以解析开拓到G内，并称F是f从D到G的（直接）解析开拓.由定义可得解析开拓的唯一性。2.6.1.2 透弧开拓定义6.2 设区域 以逐段光滑曲线L（不包括端点）为邻接边界，分别在 内解析，若存在 中的解析函数F，使得 则称 与 互为（直接）透弧L的解析开拓。显然 和 在L上具有相同的边界极限值。3.6.1.2 透弧开拓证明：分析问题，我们将利用柯西定理，只要能证明对于任意闭曲线都成立即可。4.5.透弧开拓6.6.1.3幂级数开拓定义6.3 设区域 为解析函数元素，在 的一个非空开域K上，有则称 与 互为（直接）解析开拓。定义是合理的，因为令它是在 上的解析函数7.6.1.3幂级数开拓关于幂级数开拓，我们有以下结论：1、若f沿半径方向开拓时,遇到奇点就不能开拓。2、沿半径方向至少有一个方向不能够开拓。3、也存在沿每个方向都不能解析开拓的函数。思考题：用解析开拓的观点解释多值函数在其黎曼 面上的单值解析？8.6.2完全解析函数及其单值性定理6.2.1 完全解析函数和黎曼面问题：1、什么时候开拓的不能开拓了（即定义域达到最大限度）？2、什么时候开拓为单值（多值）解析函数？为此，先引入几个定义9.6.2.1 完全解析函数和黎曼面定义6.5 设 为解析函数元素的集合（有限或无限个），其中任意两个元素 都存在解析函数链使他们互为间接解析开拓，称 定义了一个一般解析函数。定义6.6 设 定义的一般解析函数包含了任一元素的一切解析开拓，则称 为完全解析函数。把 中具有相同函数值的区域粘结起来，这样形成的一个区域或推广了的区域称为 的黎曼面。简单说：完全解析函数是不能再解析开拓或者说开拓到最大限度的一般解析函数，黎曼面就是它的最大定义域，黎曼面的边界称为自然边界。10.6.2.2 单值性定理 单值性定理是关于一般解析函数成为单值解析函数的判别定理。现介绍幂级数沿弧解析开拓的概念。设L：z=z(t),是简单曲线，对于任意给定 ，若F在 解析，把F在 的幂级数展式、收敛半径及收敛圆分别记为 ，显然 ，还可设 （否则没有继续开拓的必要）。定义6.7 所谓 是 沿L的解析开拓是指满足如下两个条件：(1)对与0,1上每个t，有R(t)0;(2)对任意的 ，当 时，内有 11.6.2.1 完全解析函数和黎曼面这时我们称 分别为始元和终元。在本定义下必在解析函数链（圆链，不止一组）覆盖L，由解析函数的唯一性，由 唯一决定，并与覆盖L的圆链无关。那么同一始元沿不同曲线得到同一终元的条件是什么？12.6.2.1 完全解析函数和黎曼面单值性定理的一个常见情况是如下定理：定理6.4 设 ，D为单连通域。若f(0,z)在U(0)解析，且在D内可沿任意简单曲线解析开拓，则存在一个D内的解析函数F(z),使得当 时，F(z)=f(0,z)13.