内积空间中的正交性.doc

2.4 内积空间中的正交性
Inner Product Spaces and Orthogonality
在三维空间中，如右图1所示任取一平面，空间中的每一个矢量必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量在平面上，另一个向量与平面垂直，即，．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？

图2.4.1 三维空间向量的分解，向量，其中
2.4.1 正交分解
定义2.4.1 正交
设是内积空间，，如果，则称与正交或垂直，记为．如果的子集中的每一个向量都与子集中的每一个向量正交，则称与正交，记为．特别记，即向量与中的每一个向量垂直．
定理2.4.1 勾股定理
设是内积空间，，若，则．
证明

．□
注1: 在内积空间中，是否存在 ？显然由
，
可知在实内积空间中成立．
定义2.4.2 正交补Orthogonal plement
设是内积空间，，记，则称为子集的正交补．显然有，以及．
性质2.4.1 设是内积空间，，则是的闭线性子空间．
证明 (1) 是的线性子空间
，，，有
，
于是，因此是的线性子空间．
(2) 是的闭子空间
设，且依范数，于是，有
．
因此，即是的闭子空间．□
注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert空间中(完备的内积空间)，任意子集的正交补是完备的子空间，即Hilbert空间的正交补也是Hilbert空间．
定义2.4.3 正交分解
设是内积空间的子空间，，如果存在，使得，则称为在上的正交投影或正交分解．
引理2.4.1 设是内积空间，是的线性子空间，，若存在，使得，那么．
证明 令，若不垂直于，则存在，使得，显然．
因为，有

特别取，则可得
，
即知．又由于，所以
．
产生矛盾，故．□
定理2.4.1 投影定理
设是Hilbert空间的闭线性子空间，则中的元素在中存在唯一的正交投影，即，，其中．(或表示为)
证明 (1) 寻找进行分解．
，设，则存在，使得
，
首先证是中的基本列，因为有

因为及是子空间，知，所以，于是

故是中的基本列，又因是闭子空间，即为完备空间，所以是中的收敛列．不妨设，则有
．
令，因此有，其中，且根据前面引理知．
(2) 分解的唯一性．假设还存在，使得，那么有
，，
于是只需的分解具有唯一性．若，，，则

可见及，即的分解具有唯一性．□
例2.4.1 证明在内积空间上，的充要条件是有．
证明 必要性 若，则有，有，于是由勾股定理得：．
充分性若有，且时，

特别取，于是，

故，即．□
2.4.2 标准正交系
在三维空间中，任何一向量可写成，其中
，，，，，，
显然当时，，而．可见，那么在有限维内积空间中是否具有同样的结论呢？
定义2.4.4 标准正交系
设是内积空间，是中的点列，若满足
．
则称为中的标准正交系．
例2.4.2 在维内积空间中，向量组
，，，，
是的一个标准正交系．□
例2.4.3 在中，向量()，则是的一个标准正交系．□
例2.4.4 在中，对于，定义内积为

则下列三组向量均是的标准正交系，
；
；
．□
注3: 如果线性空间上中的点列的任意有限个元素线性独立，则称为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设是标准正交系的一个有限子集，如果存在使得
，
那么对于任意的()
.
反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系．
定理2.4.2 设为内积空间的标准正交系，，记
，
那么，是在上的正交投影．即，，．
证明 显然，，由于存在，使得于是

．□
注4: 上述定理中的为维闭子空间，作为内积空间与同构，也是完备的子空间，根据投影定理，在上的正交投影唯一存在．
定理2.4.3 设为内积空间中任意的一组线性独立系，则可将用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系，且对任何自然数，有
，，
同时．
证明 令，则有．记，根据上述定理可将在上做正交分解，即，，得．
令，则有，，且有
，．
记，将在上做正交分解，则及，得，可令，从而治是的线性组合，是的线性组合．
以此类推，可令，且有正交，进而令，显然，于是
．
同时可得是的线性组合．□