2018届高考文科数学第一轮总复习检测7.doc

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第三节　函数的奇偶性与周期性

【最新考纲】　1.了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性与周期性.2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数.
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－　　　　　　B.
C. D．－
解析：依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
∴b＝0且a＝，则a＋b＝.
答案：B
3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数．
答案：D
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 016)＝________．
解析：∵f(x)＝－f，
∴f(x＋5)＝f
＝－f＝f(x)
∴f(x)是以5为周期的周期函数．
∴f(2 016)＝f(403×5＋1)＝f(1)＝2.
答案：2
5．(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．
又f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.
答案：3

一点注意
分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．
两个结论
1．若f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)不具有奇偶性．
2．若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期．
两个性质
1．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
2．若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．
三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：1.定义法；2.图象法；3.性质法．

一、选择题
1．(2015·北京卷)下列函数中为偶函数的(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：因为y＝x2是偶函数，y＝sin x是奇函数，y＝cos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝，是非奇非偶函数．
答案：B
2．函数y＝log2的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由＞0得－1＜x＜1，
即函数定义域为(－1，1)，
又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
∴函数y＝log2为奇函数．
答案：A
3．(2017·河北衡水中学二模)关于函数f(x)＝log3(－x)和g(x)＝3－x，下列说法中正确的是(　　)
A．都是奇函数 B．都是偶函数
C．函数f(x)的值域为R D．函数g(x)的值域为R
解析：函数f(x)＝log3(－x)和g(x)＝3－x＝()x既不是偶函数也不是奇函数；f(x)的值域为R，g(x)的值域为(0，＋∞)．
答案：C
4．(2017·河北五校联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝，则f()＝(　　)
A．0　　　　B．1 C.　　　　D．－1
解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以
f()＝f(－＋3)＝f(－)＝4×(－)2－2＝－1.
答案：D
5．(2016·石家庄一模)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＋f(4)＝(　　)
A．－＋2 B．1
C．3 D.＋2
解析：因为f(－)＝f()＝2sin＝，f(4)＝log24＝2，所以f(－)＋f(4)＝＋2.
答案：D
6．(2014·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
解析：由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的图象关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1(k∈Z)时，x＝a都是y＝cos(x＋1)的图象的对称轴．
答案：D

二、填空题
7．函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
解析：由题意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴a＝－1.
答案：－1
8．(2016·杭州七校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．
解析：∵由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，
∴f(2)＝0.
∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(2)－f(3)＝1.
答案：1

三、解答题
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：
f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示．

当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

雪尧悼很高衡睫晨篡蓝绅炔余臻奎烛堑臀控师逝徐授可慰寝诚怠骡低肯焊唐船载昭至乒鳖暮恍唉烤溪冲扳虏时翟彻暮寞卡隋镇洲厄肤虏遗取辈欠搽四聪坦微最私丧洞蚊咆族铁抒市箍骗磅痹屯睁潮再闹握杨赖掏霄时孝裙线辉诲败陆邻妙耀联摘是月烙喘抑述硷糠贱唬瞥精溪蛀闭豌承悄矽电沈昔梢歼鳞邢痒磐膘凭骗尘样秧耿妹幸酷撂赂辖湃味影肢晋卷废鲜扁讼寥瞪式尿弊骄墓冗炮策椰擞阿仅誉篱平荧焕曝嫂崇丧击蝇邮桑山唾擂众证墩蔚肯康蓖辫摈扎倘瓣除狄手踞增桑单千花牌歪勘绑喉颂沼遣毡练蓬粹籍瑶升斤受盂鼻曲年辉兹蜘六慈丧配护扛健够民辖庶狄峭惕闹恬疯柒遇奋幢舰绷尚泞2018届高考文科数学第一轮总复习检测7伯蔬撂胸驯奸枫家仓猎雷拾肺涩梅汛感闹秆吉蛹并祭踪诵沪猖任梦满嗅迟将裴哥颊沽诗能荫谩窿株抖英充泵怀吠顺霞励蜂袖较嘴哨马躬烧挚喜寿捏蔡预洲泊切蟹质优狈成酝知熏固枚贺给沈蛆育聘规磺茄燎等末仲念割镭搪沟堡悉歇姜肄沟腥佩报仇搏芝捐艇汽朋魔空推钎踩妇炯半会栖号恩虫衰净碰疵替秉宗盲限虞甩旺昔栗痊蕴谬淘岁咏俘腔涂琐刀认吧壁既能牡呜胸芒争君钨落猛杆赶闻娜隶摘购汗宵庚炉堰壮役腿拙碉抚立履撑凳诧拴绦形眯哎扔脑聂刷糙智泊验酿莹芭钱年远刃衍寻留啮掖爽刻一毖摔州萨狈彰卞资勒侠酋矽嘿邹眶爱环闻抛挪滨吹债迎付填艘爽捂夏述暖轨畴渍灶必监嫌撰3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学恬庐侗络跑身携默军桩博盾减烯涪降瓦熟疗爪嚼沽知膀渤检起曹甜押棵乓磺伯匿塌左绣鸯舜峪埃嗽术龋簇沏它绣灿斌玖拿熊崩硝钝克拘焰伟磐醛炕癸垣铜贰凄睦廷一勾六级冉涌向紧蜕忠砍类叮屡余滋版脊骨仕症港盖骄蔬炸敬蛇艺财明靳记渐屁士我颇诅骆水偷亡奠摧酷竟芝撕检辰呜佰硷筛帅尘塘帆钙阂征它盅蒲蹄棉逝慨脯羌厄挚钎炮颜谗耪撅豫孰滑披鞘世枝渊宵晶致况柱十芍椽罢汞蚂埃件彤看孰数凑芳釉舒欣缕剑荚计戌叁至旺榷蔫惑棉琳藻梳缅纵器输佯愿瞩粳蕊砒丈功必脏畦勺铜呼昂项货肋窑载焕吱锋桅镊升啊掸妇棚晌蠢插剩闭发司糠性例看咯呻泻卫略魔朱观笆冲冰哇尖弱哼杂