数值分析整理版试题及答案.pdf

1例例 1、已知函数表x-112()f x-304求的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。()f x解：解：（1）由题可知kx-112ky-304插值基函数分别为1200102121()121 1126xxxxxxlxxxxxxx 0211012121()121 1 122xxxxxxl xxxxxxx 0122021111()1121 213xxxxxxlxxxxxxx故所求二次拉格朗日插值多项式为 2202()11131201241162314121123537623k kkLxy lxxxxxxxxxxxxx （2）一阶均差、二阶均差分别为 010101121212011201202303,1 1204,41234,52,126f xf xf xxxxf xf xf x xxxf xxf x xf xx xxx 2均差表为kx()kf x一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为 20010012012,35311126537623Pxf xf xxxxf xx xxxxxxxxxx 例例 2、设，试求在0,1上关于，2()32f xxx0,1x()f x()1x的最佳平方逼近多项式。span 1,x 解：解：若，则，且，这样，有 span 1,x 0()1x1()xx()1x 112001100112011000012101,11,3123,32269,324dxx dxxdxfxxdxfx xxdx 所以，法方程为，经过消元得01123126119234aa01231162110123aa 再回代解该方程，得到，14a 0116a 故，所求最佳平方逼近多项式为*111()46Sxx例例 3、设，试求在0,1上关于，的最()xf xe0,1x()f x()1x span 1,x 佳平方逼近多项式。解：解：若，则，这样，有 span 1,x 0()1x1()xx3 100012110101100100110,111,31,2,1.7183,1xxdxx dxxdxfe dxfxe dx 所以，法方程为01111.7183211123aa解法方程，得到，00.8732a 11.6902a 故，所求最佳平方逼近多项式为*1()0.87321.6902Sxx例例 4、用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。4n 91xdx解：解：（1）用的复合梯形公式4n 由于，所以，有2h f xx121,2,3kxk k 94131129 22 123579217.2277kkxdxThff xf（2）用的复合辛普森公式4n 由于，所以，有2h f xx121,2,3kxk k 12220,1,2,3kxk k4 9413310121429 6114246823573317.3321kkkkxdxShffxf xf例例 5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。123123123123315183156xxxxxxxxx 解：解：先消元1212331518311511161831151233151116rrA b 212131312332322,31,186,7183115017 3507 617 1831 618311507 617 1831 6017 35183107 617 100mmmmrrmm 第1行（）第2行第2行第1行（）第3行第3行第2行（）第3行第3行15831 622 766 7再回代，得到，33x 22x 11x 所以，线性方程组的解为，11x 22x 33x 例例 6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。123123123111945611183451282xxxxxxxxx5解：解：设1112132122233132331114561001111003451001122uuuAluuLUllu则由的对应元素相等，有ALU，1114u1215u1316u，21 11211433l ul31 1131122l ul，21 12222211460l uuu 21 13232311545l uuu，31 1232 2232136l ul ul 31 1332 23333313215l ul uuu因此，111100456411100360452361130015ALU解，即，得，Lyb12310094108382361yyy 19y 24y 3154y 解，即，得，Uxy123111456911046045154130015xxx3177.69x 2476.92x 1227.08x 所以，线性方程组的解为，1227.08x 2476.92x 3177.69x 、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使LUA 唯一成立。（）、当8n时，Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（）63、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12 n。（）、矩阵210111012A的范数2A。（）5、设aaaaA000002，则对任意实数0a，方程组bAx 都是病态的。（用）（）6、设nnRA，nnRQ，且有IQQT（单位阵），则有22QAA。（）7、区间ba,上关于权函数)(xW的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（）2、（）3、（）4、（）5、（）6、（）7、（）8、（）一、判断题（101）1、若 A 是 n 阶非奇异矩阵，则线性方程组 AXb 一定可以使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x*附近是平方收敛的。()3、若 A 为 n 阶方阵，且其元素满足不等式),.,2,1(1niaanijjijii 则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔迭代法一定收敛。()4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AXb。()8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。()9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截7断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()1.用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。（）1000100011nnn2.为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。（对 ）200119992200119993.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。（）复习试题复习试题一、填空题：一、填空题：1、410141014A，则 A 的 LU 分解为 A 。答案：答案：15561415014115401411A2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31_)(dxxf,用三点式求得)1(f 。答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL4、近似值*0.231x 关于真值229.0 x有(2 )位有效数字；5、设)(xf可微,求方程)(xfx 的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx6、对1)(3xxxf,差商3,2,1,0f(1 ),4,3,2,1,0f(0 )；87、计算方法主要研究(截断 )误差和(舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时，二分 n 次后的误差限为(12nab )；10、已知 f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15 )；11、两点式高斯型求积公式10d)(xxf(10)3213()3213(21d)(ffxxf)，代数精度为(5)；12、解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算 32)1(6)1(41310 xxxy 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 11,)64(3(10 xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为 199920012 。14、用二分法求方程01)(3xxxf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。15、计算积分15.0dxx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309，梯形公式的代数精度为 1，辛卜生公式的代数精度为 3 。16、求解方程组042.01532121xxxx的高斯塞德尔迭代格式为 20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121 。17、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl )2()(1xxxl ，)(xf的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2xxxxN。918、求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型 )求积公式为最高，具有(12 n )次代数精度。19、已知 f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf(12 )。20、设 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求)1(f(2.5 )。21、如果用二分法求方程043 xx在区间2,1 内的根精确到三位小数，需对分（10 ）次。23、)(,),(),(10 xlxlxln是以整数点nxxx,10为节点的 Lagrange 插值基函数，则nkkxl0)(1)，nkkjkxlx0)(jx)，当2n时)()3(204xlxxkknkk(324 xx )。26、改变函数f xxx()1 (x 1)的形式，使计算结果较精确 xxxf11 。27、若用二分法求方程 0 xf在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。29、若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用 477个求积节点。30、写出求解方程组24.016.12121xxxx的 Gauss-Seidel 迭代公式 ,1,0,4.026.111112211kxxxxkkkk，迭代矩阵为 64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛。31、设A 5443,则A 9 。32、设矩阵482257136A 的ALU，则U 4820161002U 。33、若4321()f xxx ，则差商2 4 8 16 32,f 3 。34、数值积分公式11218019()()()()f x dxfff 的代数精度为 2 。1035、线性方程组121015112103x 的最小二乘解为 11 。36、设矩阵321204135A 分解为ALU，则U 32141003321002 。二、单项选择题：二、单项选择题：1、Jacobi 迭代法解方程组bx A的必要条件是（C ）。AA 的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C niaii,2,1,0 D 1A2、设700150322A，则)(A为(C )A 2 B 5 C 7 D 33、三点的高斯求积公式的代数精度为(B )。A 2 B5 C 3 D 44、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是(B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是 的有(B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是(C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差C防止计算时溢出 D 简化计算11 9、用 1+3x近似表示31x所产生的误差是(D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-3247500 是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 811、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A )。A 05 B 05 C 2 D-2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A 3 B 4 C 5 D 213、(D)的 3 位有效数字是 0.236102。(A)0.0023549103 (B)2354.82102 (C)235.418 (D)235.5410114、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是(B )。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标 (B)y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C)y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D)y=x 与 y=(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组，第 1 次消元，选择主元为(134092143321321321xxxxxxxxxA )。(A)4 (B)3 (C)4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B)!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn17、等距二点求导公式 f(x1)(A)。0101101010010101)()()D()()()C()()()B()()()A(xxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxf1218、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值 x0 满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0000 xfxfxfxfxfxfxfxf19、为求方程 x3x21=0 在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。(A)11:,1112kkxxxx迭代公式(B)21211:,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式(D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式21、解方程组bAx 的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是（）。（1）1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B22、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取31 732.计算431()x ，下列方法中哪种最好？（）(A)28 16 3；(B)242 3()；(C)21642 3()；(D)41631()。27、由下列数表进行 Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix1.52.53.5()if x-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。28、形如112233()()()()baf x dxA f xA f xA f x 的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、计算3的 Newton 迭代格式为()13(A)132kkkxxx ；(B)1322kkkxxx ；(C)122kkkxxx ；(D)133kkkxxx 。30、用二分法求方程324100 xx 在区间1 2,内的实根，要求误差限为31102 ，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。32、设()il x是以0 19(,)kxk k 为节点的 Lagrange 插值基函数，则90()ikkl k ()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。35、已知方程3250 xx 在2x 附近有根，下列迭代格式中在02x 不收敛的是()(A)3125kkxx ；(B)152kkxx ；(C)315kkkxxx ；(D)3122532kkkxxx 。36、由下列数据x01234()f x1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 ，否则打，否则打）1、已知观察值)210()(miyxii，,用最小二乘法求 n 次拟合多项式)(xPn时，)(xPn的次数 n 可以任意取。()2、用 1-22x近似表示 cosx 产生舍入误差。()3、)()(210120 xxxxxxxx表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵 A=521352113具有严格对角占优。()四、计算题：四、计算题：141、用高斯-塞德尔方法解方程组 225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(x，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式 )222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxk)(1kx)(2kx)(3kx000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、求 A、B 使求积公式11)21()21()1()1()(ffBffAdxxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位小数)。答案：2,1)(xxxf是精确成立，即32212222BABA 得98,91BA求积公式为)21()21(98)1()1(91)(11ffffdxxf当3)(xxf时，公式显然精确成立；当4)(xxf时，左=52，右=31。所以代数精度为 3。15 69286.014097321132/119831131191311113221dttdxxxt3、已知ix1345)(ixf2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3xxxxxxxL )45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx 差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1041 )4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33xxxxxxxNxP 5.5)2()2(3 Pf 6、已知xsin区间0.4，0.8的函数表ix0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iy0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求63891.0sin的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差 16|)(|!3|)(|332xMxR尽量小，即应使|)(|3x尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点7.0,6.0,5.0最好，实际计算结果596274.063891.0sin，且 41055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!31596274.063891.0sin7、构造求解方程0210 xex的根的迭代格式,2,1,0),(1nxxnn，讨论其收敛性，并将根求出来，4110|nnxx。答案：解：令 010)1(,02)0(,210e)(effxxfx.且010e)(xxf)(，对 x，故0)(xf在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(xf变形为)e2(101xx则当)1,0(x时)e2(101)(xx，110e10e|)(|xx故迭代格式 )e2(1011nxnx收敛。取5.00 x，计算结果列表如下：n0123nx0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567nx0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 00817且满足 6671095000000.0|xx.所以008525090.0*x.8利用矩阵的 LU 分解法解方程组 2053182521432321321321xxxxxxxxx。答案：解：2441321153121LUA 令by L得T)72,10,14(y，yx U得T)3,2,1(x.9对方程组 841025410151023321321321xxxxxxxxx（1）试建立一种收敛的 Seidel 迭代公式，说明理由；（2）取初值T)0,0,0()0(x，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3)()1(10|kkxx。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优151023841025410321321321xxxxxxxxx故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取T)0,0,0()0(x,经 7 步迭代可得：T)010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*xx.10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.43518试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当 0 x1 时，)(xfex，则 e)(xf，且xxde10有一位整数.要求近似值有 5 位有效数字，只须误差 4)(11021)(fRn.由)(12)()(23)(1fnabfRn，只要 422)(1102112e12e)e(nnRxn 即可，解得 30877.67106e2n 所以 68n，因此至少需将 0,1 68 等份。11、用列主元素消元法求解方程组 11124112345111321xxx。解：111124111123451111212345411121rr5852510579515130123455795151305852510123455251321312rrrrrr13513505795151301234513123rr 回代得 3,6,1123xxx。12、取节点1,5.0,0210 xxx,求函数xxf e)(在区间0,1上的二次插值多项式)(2xP,并估计误差。19解：)15.0)(05.0()1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002xxexxexP)5.0(2)1(4)1)(5.0(2)5.01)(01()5.0)(0(15.01xxexxexxxxe又 1|)(|max,)(,)(1,03 xfMexfexfxxx故截断误差|)1)(5.0(|!31|)(|)(|22xxxxPexRx。14、给定方程01e)1()(xxxf1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程 01e)1(xx （1）改写为 xxe1 （2）作函数1)(1 xxf，xxf e)(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*x。2)将方程（2）改写为 xxe1构造迭代格式 5.1e101xxkxk ),2,1,0(k计算结果列表如下：k123456789xk1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.278463)xxe1)(，xxe)(当2,1 x时，2,1)1(),2()(x，且1e|)(|1x所以迭代格式),2,1,0()(1kxxkk对任意2,1 0 x均收敛。2015、用牛顿(切线)法求3的近似值。取 x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：3是03)(2 xxf的正根，xxf2)(，牛顿迭代公式为nnnnxxxx2321，即 ),2,1,0(2321nxxxnnn取 x0=1.7,列表如下：n123nx1.732351.732051.7320516、已知 f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2xL及 f(1，5)的近似值，取五位小数。解：)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2xxxxxxxL)1)(1(34)2)(1(23)2)(1(32xxxxxx04167.0241)5.1()5.1(2 Lf17、n=3,用复合梯形公式求xxde10的近似值（取四位小数）,并求误差估计。解：7342.1e)ee(2e 3201de132310310Txxxxxfxfe)(,e)(，10 x时，e|)(|xf05.0025.0108e312e|e|23TRx至少有两位有效数字。18、用 Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 411131103321xxx=815，取 x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel 迭代格式为：21)8(41)1(31)5(31)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)1(1kkkkkkkkxxxxxxxx系数矩阵411131103严格对角占优，故 Gauss-Seidel 迭代收敛.取 x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:k)(1kx)(2kx)(3kx11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 20、（8 分）用最小二乘法求形如2bxay的经验公式拟合以下数据：ix19253038iy19.032.349.073.3解：,12xspan2222383125191111TA 3.730.493.320.19Ty解方程组 yAACATT其中 3529603339133914AAT 7.1799806.173yAT解得：0501025.09255577.0C 所以 9255577.0a，0501025.0b 21、（15 分）用8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dxex10时，试用余项估计其误差。用8n的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。解：001302.0768181121)(12022 efhabfRT)()(2)(2)8(71kkbfxfafhT36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21 161226329434.022、（15 分）方程013 xx在5.1x附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31xx对应迭代格式311nnxx；(2)xx11对应迭代格式nnxx111；（3）13 xx对应迭代格式131nnxx。判断迭代格式在5.10 x的收敛性，选一种收敛格式计算5.1x附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1）321(31)(）xx，118.05.1）（，故收敛；（2）xxx1121)(2，117.05.1）（，故收敛；（3）23)(xx，15.135.12）（，故发散。选择（1）：5.10 x，3572.11x，3309.12x，3259.13x，3249.14x，32476.15x，32472.16x23、（8 分）已知方程组fAX，其中4114334A，243024f（1）列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（2）求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi 迭代法：,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkkGauss-Seidel 迭代法：,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1kxxxxxxxkkkkkkk0430430430430)(1ULDBJ，790569.0)410(85)(或JB25、数值积分公式形如 10)1()0()1()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf试确定参数DCBA,使公式代数精度尽23量高；（2）设 1,0)(4Cxf，推导余项公式10)()()(xSdxxxfxR，并估计误差。解：将32,1)(xxxxf分布代入公式得：201,301,207,203DBBA构造 Hermite 插值多项式)(3xH满足1,0)()()()(33ixfxHxfxHiiii其中1,010 xx则有：103)()(xSdxxxH，22)4(3)1(!4)()()(xxfxHxfdxxxfdxxSxfxxR2103)4(10)1(!4)()()()(1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ffdxxxf27、（10 分）已知数值积分公式为：)()0()()0(2)(20hffhhffhdxxfh，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：1)(xf显然精确成立；xxf)(时，11 022220hhhhxdxh；2)(xxf时，1212220023322302hhhhhhhdxxh；3)(xxf时，30121024223403hhhhhdxxh；4)(xxf时，6401210255324504hhhhhhdxxh；所以，其代数精确度为 3。28、（8 分）已知求)0(aa的迭代公式为：2,1,00)(2101kxxaxxkkk证明证明：对一切axkk,2,1，且序列 kx是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：2,1,0221)(211kaxaxxaxxkkkkk 故对一切axkk,2,1。又1)11(21)1(2121kkkxaxx 所以kkxx1，即序列 kx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。2429、（9 分）数值求积公式30)2()1(23)(ffdxxf是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为)(xf在基点 1、2 处的插值多项式为)2(121)1(212)(fxfxxp 30)2()1(23)(ffdxxp。其代数精度为 1。30、(6 分)写出求方程 1cos4xx在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)nnnxxxcos1411，n=0,1,2,141sin41xx 对任意的初值 1,00 x,迭代公式都收敛。31、(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555 2583 xxf 00163.0296151008361144115121115100115!3 25fR32、(10 分)用复化 Simpson 公式计算积分 10sindxxxI的近似值，要求误差限为5105.0。0.9461458812140611fffS 0.94608693143421241401212fffffS255-12210933.0151SSSI 94608693.02 SI或利用余项：!9!7!5!31sin8642xxxxxxxf!49!275142)4(xxxf 51)4(xf 54)4(45105.05288012880nfnabR，2n，2SI33、(10 分)用 Gauss 列主元消去法解方程组：276234532424321321321xxxxxxxxx 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333-2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333-2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.6875Tx0000.5,0000.3,0000.234、(8 分)求方程组 12511213121xx 的最小二乘解。bAxAATT，2081466321xx，0000.23333.1x若用 Householder 变换，则：52073.236603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,bA81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1最小二乘解：(-1.33333，2.00000)T.2636、(6 分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：1211010fAfAdxxxf取 f(x)=1,x，令公式准确成立，得：2110 AA，312110 AA 310A，611Af(x)=x2时，公式左右=1/4;f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24 公式的代数精度=237、（15 分）已知方程组Axb，其中122111221A ，123b ，（1）写出该方程组的 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式11231213131212220 1 2322()()()()()()()()();,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx Gauss-Seidel 迭代法的分量形式11231121311131212220 1 2322()()()()()()()()();,kkkkkkkkkxxxxxxkxxx （2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为1022101220()BDLU ，1230 ，01()B ，Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为1022023002()GDLU ，12302,，21()B ，Gauss-Seidel 迭代法发散 40、(10 分)已知下列函数表：x0123()f x13927(1)写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；(2)作均差表，写出相应的三次 Newton 插值多项式，并计算1 5(.)f的近似值。解：（1）27312302301301201 02 0310 12 1320 21 2330 3 1 32()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxL x 32482133xxx （2）均差表：011329327 2618 26 43 341221123()()()()Nxx