数值分析整理版试题及答案.pdf
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1、1例例 1、已知函数表x-112()f x-304求的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。()f x解:解:(1)由题可知kx-112ky-304插值基函数分别为1200102121()121 1126xxxxxxlxxxxxxx 0211012121()121 1 122xxxxxxl xxxxxxx 0122021111()1121 213xxxxxxlxxxxxxx故所求二次拉格朗日插值多项式为 2202()11131201241162314121123537623k kkLxy lxxxxxxxxxxxxx (2)一阶均差、二阶均差分别为 01010112121
2、2011201202303,1 1204,41234,52,126f xf xf xxxxf xf xf x xxxf xxf x xf xx xxx 2均差表为kx()kf x一阶二阶-1-3103/22445/6故所求Newton二次插值多项式为 20010012012,35311126537623Pxf xf xxxxf xx xxxxxxxxxx 例例 2、设,试求在0,1上关于,2()32f xxx0,1x()f x()1x的最佳平方逼近多项式。span 1,x 解:解:若,则,且,这样,有 span 1,x 0()1x1()xx()1x 1120011001120110000121
3、01,11,3123,32269,324dxx dxxdxfxxdxfx xxdx 所以,法方程为,经过消元得01123126119234aa01231162110123aa 再回代解该方程,得到,14a 0116a 故,所求最佳平方逼近多项式为*111()46Sxx例例 3、设,试求在0,1上关于,的最()xf xe0,1x()f x()1x span 1,x 佳平方逼近多项式。解:解:若,则,这样,有 span 1,x 0()1x1()xx3 100012110101100100110,111,31,2,1.7183,1xxdxx dxxdxfe dxfxe dx 所以,法方程为01111
4、.7183211123aa解法方程,得到,00.8732a 11.6902a 故,所求最佳平方逼近多项式为*1()0.87321.6902Sxx例例 4、用的复合梯形和复合辛普森公式计算积分。4n 91xdx解:解:(1)用的复合梯形公式4n 由于,所以,有2h f xx121,2,3kxk k 94131129 22 123579217.2277kkxdxThff xf(2)用的复合辛普森公式4n 由于,所以,有2h f xx121,2,3kxk k 12220,1,2,3kxk k4 9413310121429 6114246823573317.3321kkkkxdxShffxf xf例例
5、 5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。123123123123315183156xxxxxxxxx 解:解:先消元1212331518311511161831151233151116rrA b 212131312332322,31,186,7183115017 3507 617 1831 618311507 617 1831 6017 35183107 617 100mmmmrrmm 第1行()第2行第2行第1行()第3行第3行第2行()第3行第3行15831 622 766 7再回代,得到,33x 22x 11x 所以,线性方程组的解为,11x 22x 33x 例例 6、用直接三角分解
6、法求下列线性方程组的解。123123123111945611183451282xxxxxxxxx5解:解:设1112132122233132331114561001111003451001122uuuAluuLUllu则由的对应元素相等,有ALU,1114u1215u1316u,21 11211433l ul31 1131122l ul,21 12222211460l uuu 21 13232311545l uuu,31 1232 2232136l ul ul 31 1332 23333313215l ul uuu因此,111100456411100360452361130015ALU解,即,
7、得,Lyb12310094108382361yyy 19y 24y 3154y 解,即,得,Uxy123111456911046045154130015xxx3177.69x 2476.92x 1227.08x 所以,线性方程组的解为,1227.08x 2476.92x 3177.69x 、若A是nn阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使LUA 唯一成立。()、当8n时,Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。()63、形如)()(1iniibaxfAdxxf的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为12 n。()、矩阵210111012A的范数2A。(
8、)5、设aaaaA000002,则对任意实数0a,方程组bAx 都是病态的。(用)()6、设nnRA,nnRQ,且有IQQT(单位阵),则有22QAA。()7、区间ba,上关于权函数)(xW的直交多项式是存在的,且唯一。()1、()2、()3、()4、()5、()6、()7、()8、()一、判断题(101)1、若 A 是 n 阶非奇异矩阵,则线性方程组 AXb 一定可以使用高斯消元法求解。()2、解非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 x*附近是平方收敛的。()3、若 A 为 n 阶方阵,且其元素满足不等式),.,2,1(1niaanijjijii 则解线性方程组 AXb 的高斯塞德尔
9、迭代法一定收敛。()4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AXb。()8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。()9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截7断误差舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。()1.用计算机求时,应按照从小到大的顺序相加。()1000100011nn
10、n2.为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。(对 )200119992200119993.用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。()4.用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关。()复习试题复习试题一、填空题:一、填空题:1、410141014A,则 A 的 LU 分解为 A 。答案:答案:15561415014115401411A2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31_)(dxxf,用三点式求得)1(f 。答案:2.367,0.253、1)3(,2)2(,1)1(fff,则
11、过这三点的二次插值多项式中2x的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 。答案:-1,)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL4、近似值*0.231x 关于真值229.0 x有(2 )位有效数字;5、设)(xf可微,求方程)(xfx 的牛顿迭代格式是();答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx6、对1)(3xxxf,差商3,2,1,0f(1 ),4,3,2,1,0f(0 );87、计算方法主要研究(截断 )误差和(舍入 )误差;8、用二分法求非线性方程 f(x)=0 在区间(a,b)内的根时,二分 n 次后的误差限为(12nab );10、已知 f(1)2,f(2)3,f
12、(4)5.9,则二次 Newton 插值多项式中 x2系数为(0.15 );11、两点式高斯型求积公式10d)(xxf(10)3213()3213(21d)(ffxxf),代数精度为(5);12、解线性方程组 Ax=b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算 32)1(6)1(41310 xxxy 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 11,)64(3(10 xtttty,为了减少舍入误差,应将表达式19992001改写为 199920012 。14、用二分法求方程01)(3xxxf在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5,1 ,进行
13、两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。15、计算积分15.0dxx,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ,用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309,梯形公式的代数精度为 1,辛卜生公式的代数精度为 3 。16、求解方程组042.01532121xxxx的高斯塞德尔迭代格式为 20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M=121 。17、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl )2()(1xxxl ,)(xf的二次牛顿插值多项式为 )1(716)(2xxxxN。918、求积公式baknkk
14、xfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型 )求积公式为最高,具有(12 n )次代数精度。19、已知 f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf(12 )。20、设 f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0,用三点式求)1(f(2.5 )。21、如果用二分法求方程043 xx在区间2,1 内的根精确到三位小数,需对分(10 )次。23、)(,),(),(10 xlxlxln是以整数点nxxx,10为节点的 Lagrange 插值基函数,则nkkxl0)(1),nkkjkxlx0)(jx),当2n时)()3(204xlxxkknkk(324 xx )。26
15、、改变函数f xxx()1 (x 1)的形式,使计算结果较精确 xxxf11 。27、若用二分法求方程 0 xf在区间1,2内的根,要求精确到第 3 位小数,则需要对分 10 次。29、若用复化梯形公式计算10dxex,要求误差不超过610,利用余项公式估计,至少用 477个求积节点。30、写出求解方程组24.016.12121xxxx的 Gauss-Seidel 迭代公式 ,1,0,4.026.111112211kxxxxkkkk,迭代矩阵为 64.006.10,此迭代法是否收敛 收敛。31、设A 5443,则A 9 。32、设矩阵482257136A 的ALU,则U 4820161002U
16、 。33、若4321()f xxx ,则差商2 4 8 16 32,f 3 。34、数值积分公式11218019()()()()f x dxfff 的代数精度为 2 。1035、线性方程组121015112103x 的最小二乘解为 11 。36、设矩阵321204135A 分解为ALU,则U 32141003321002 。二、单项选择题:二、单项选择题:1、Jacobi 迭代法解方程组bx A的必要条件是(C )。AA 的各阶顺序主子式不为零 B 1)(A C niaii,2,1,0 D 1A2、设700150322A,则)(A为(C )A 2 B 5 C 7 D 33、三点的高斯求积公式的
17、代数精度为(B )。A 2 B5 C 3 D 44、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中,A 须满足的条件是(B )。A 对称阵 B 正定矩阵 C 任意阵 D 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是(A )产生的误差。A.只取有限位数 B模型准确值与用数值方法求得的准确值C 观察与测量 D数学模型准确值与实际值 6、3.141580 是 的有(B )位有效数字的近似值。A 6 B 5 C 4 D 7 7、用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是(C )误差。A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A )。A控制舍入误差 B 减小方法误差
18、C防止计算时溢出 D 简化计算11 9、用 1+3x近似表示31x所产生的误差是(D )误差。A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 10、-3247500 是舍入得到的近似值,它有(C )位有效数字。A 5 B 6 C 7 D 811、设 f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中 x2的系数为(A )。A 05 B 05 C 2 D-2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A 3 B 4 C 5 D 213、(D)的 3 位有效数字是 0.236102。(A)0.0023549103 (B)2354.82102 (C)235.418 (D)235.54101
19、14、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根,把方程 f(x)=0 表示成 x=(x),则 f(x)=0 的根是(B )。(A)y=(x)与 x 轴交点的横坐标 (B)y=x 与 y=(x)交点的横坐标(C)y=x 与 x 轴的交点的横坐标 (D)y=x 与 y=(x)的交点15、用列主元消去法解线性方程组,第 1 次消元,选择主元为(134092143321321321xxxxxxxxxA )。(A)4 (B)3 (C)4 (D)916、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )。(A)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(B
20、)!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn),(D)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn17、等距二点求导公式 f(x1)(A)。0101101010010101)()()D()()()C()()()B()()()A(xxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxf1218、用牛顿切线法解方程 f(x)=0,选初始值 x0 满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程 f(x)=0 的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(000
21、0 xfxfxfxfxfxfxfxf19、为求方程 x3x21=0 在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A )。(A)11:,1112kkxxxx迭代公式(B)21211:,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式(D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式21、解方程组bAx 的简单迭代格式gBxxkk)()1(收敛的充要条件是()。(1)1)(A,(2)1)(B,(3)1)(A,(4)1)(B22、在牛顿-柯特斯求积公式:baniinixfCabdxxf0)()()()(中,当系数)(
22、niC是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)8n,(2)7n,(3)10n,(4)6n,23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次25、取31 732.计算431()x ,下列方法中哪种最好?()(A)28 16 3;(B)242 3();(C)21642 3();(D)41631()。27、由下列数表进行 Newton 插值,所确定的插值多项式的最高次数是()ix1.52.53.5()if x-10.52.55.08.
23、011.5(A)5;(B)4;(C)3;(D)2。28、形如112233()()()()baf x dxA f xA f xA f x 的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A)9;(B)7;(C)5;(D)3。29、计算3的 Newton 迭代格式为()13(A)132kkkxxx ;(B)1322kkkxxx ;(C)122kkkxxx ;(D)133kkkxxx 。30、用二分法求方程324100 xx 在区间1 2,内的实根,要求误差限为31102 ,则对分次数至少为()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。32、设()il x是以0 19(,)kxk k 为节点的 L
24、agrange 插值基函数,则90()ikkl k ()(A)x;(B)k;(C)i;(D)1。33、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有()次代数精度(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。35、已知方程3250 xx 在2x 附近有根,下列迭代格式中在02x 不收敛的是()(A)3125kkxx ;(B)152kkxx ;(C)315kkkxxx ;(D)3122532kkkxxx 。36、由下列数据x01234()f x1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4;(B)2;(C)1;(D)3。37、5 个节点的 Gauss 型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9
25、;(C)10;(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打 ,否则打,否则打)1、已知观察值)210()(miyxii,,用最小二乘法求 n 次拟合多项式)(xPn时,)(xPn的次数 n 可以任意取。()2、用 1-22x近似表示 cosx 产生舍入误差。()3、)()(210120 xxxxxxxx表示在节点 x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵 A=521352113具有严格对角占优。()四、计算题:四、计算题:141、用高斯-塞德尔方法解方程组 225
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