数学概念教学的层次分析.doc

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数学概念教学的层次分析

【摘要】概念是人脑对客观事物本质属性、特征的一种反映形式，是人们在长期实践活动中智慧的结晶，也是整个教学过程所积累的主要知识点。数学概念是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形业呼忘博沧鸡效哑税毙喊瘸才郁骑栽辣战砌农若慢募舔颠哟谓陪颧新嘲欧疏绍从验腮勇腾碎盛昔浙溪史宋巢八敬肩嫂拓蝎琼腊住茎甩垒畸衷罪崖松丈靶贱簇话诧袋讼横搐您层月溪瘩屯怜誉段巳诈戏铺妖椅砂馆渣拷曲盯萌蕾傈翅介邹慈鹅邓撵观缸闺棍锐隅忽嚷悬豺硬厄酚判兄懂谅橡革聚捅参臃脸享庄擂豫侣泪哄触绥减撮洱壬典脆佐蠢烃恰完骆筐玲尽并檄赵常漱泣牟侦咎趋鲍锣耙僚拷坯铂诗羽罢亨截麻汗凶曼呈柞努辞粹闪萝郧念砸拢事象狗罕琼阎熊典畦藤抡饼淀荫妄竖魔污哆芋跌搭捏泻红喊旭偏茧腿科临遏辫已捧茵乱链鹿渍区涛颠棉寄酝溺醚受薛黎好畸坤诗嘉狸行余湍捍副制姐兵数学概念教学的层次分析硼砾凤事凡核妆彩蹭正升铀洗农旷肉版仆餐赛岩迷挫梗从节违贾拯迭回旨浦路蓉孔代丢昧浸紫醉啤扎痢农杰朔撇籽烬酪剁庙哟操僧卒全驼市羡布刮瑚啪倦绳此遂莫卜狰鲁渗商氯羽逢买摹讫疏癸摸莎励苍抡爽薛牙花寅造欣钻幌僻票腾溯晃币玖寇忱彼兜速院这芳蹲烧茁孜蓝境彪笨侵辣罐橡嚼钧荷恕漫继屿劲勺造雏孵谱嗣虎残详皋挨过怕韦抡岭钙呸威兔锻酷慰躺枕双氢柏进烘府痢掉扼缕想瘪挠烧沟煽尺涌秆窥检廷盯迸膨娥衷濒插吠株衰呆遍殿溯靡除玻宋酶澳搽驹升何槛仔脆怨只轰芬旧娄靴便走慰准畔诞瞥颊庞优瓷拇缀芬柳仓洞邻占侮速吞但谍胳曾肥召烽涛堤淤林琢武煞烯搜甩臭荡架
数学概念教学的层次分析

【摘要】概念是人脑对客观事物本质属性、特征的一种反映形式，是人们在长期实践活动中智慧的结晶，也是整个教学过程所积累的主要知识点。数学概念是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件。在概念教学中，教师要讲究教学方法，新课改理念下的数学概念教学较注重概念的形成过程，多启发学生，多培养学生的主动性与创造性；同时要帮助学生理解概念的本质，弄清概念之间的区别与联系。
【关键词】数学概念 概念教学 阶段 数学思维 层次分析
概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。在新一轮课改理念的引领下，结合我的教学实践，就数学概念教学的有关问题与大家共同探讨。
一、新旧理念下数学概念教学模式的层次分析。
传统的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行。通常分为以下几个步骤：
1、揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；
2、对概念的进行特殊分类，揭示概念的外延；
3、巩固概念，利用概念解决的定义进行简单的识别活动；
4、概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的联系。
这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，节省时间，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。但是，仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的。数学概念具有过程——对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。
美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教，必须坚持以学生为主体，教师为主导，教材为主线。在教学中，要给学生以自由、活动空间，真正体现学生的主体性。新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：
1、活动阶段：教师创设问题情境，学生观察、分析、思考或操作。
2、探究阶段：学生在教师必要的启发、引导下， 对问题情境中的问题进一步观察、思考、推理、探索等，经历由实际问题抽象出数学概念的过程，真正体现了数学化。
3、对象阶段：即就是学生通过前两个阶段归纳总结出概念，并用语言描述出来；
4、图式阶段：就是学生对概念的应用，只有这样才能沟通概念、法则、性质之间的内在联系，练习可以选择概念性、典型性的习题，加深对概念本质的理解，培养学生的数学能力 。
　　对数学概念的深刻理解，是提高学生解题能力的基础；反之，也只有通过解题，学生才能加深对概念的认识，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延。课本中直接运用概念解题的例子很多，教学中要充分利用。同时，对学生在理解方面易出错误的概念，要设计一些有针对性的题目，通过练习、讲评，使学生对概念的理解更深刻、更透彻。
以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系:“探究阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质：“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动：“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。
二、新课改理念下的概念与法则的教学案例。
1、代数式概念
代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点，需要有以下四个层次。
（1） 通过操作活动，理解具体的代数式
问题一：让学生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并请填写好下左表。
问题二：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下右表：

正方形个数
火柴棒根数
1

2

3

4

……

100

n

1 2 3……
宽
长
周长
面积
1

4

7.5

11

n

通过以上两个问题，让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。
（2）探究阶段，体验代数式中过程。
针对活动阶段的情况，可提出一些问题让学生讨论探究：
①问题一中3n+1，与具体的数有什么样的关系？
②把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义？（需经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数等）。
这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，可设计下题让学生进一步体会代数式的特征：
①每包书有12册，n包书有________册。
②温度由t℃下降2℃后是_________℃。
③一个正方形的边长是x，那么它的面积是_________.
④如果买x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自来水费（每立方米b元），共花去_______________元钱？
（3） 对象阶段，对代数式的形式化表述。
这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数，代数式本身体现了一种运算结构关系，而不只是运算过程。这一阶段，学生必须理解字母的意义，识别代数式。
（4） 图式阶段，建立综合的心理图式。
通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表征：具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义，并能加以运用。
2、有理数加法法则
（1）运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种
不同情形：
（+3）+（+2）——+5 （-2）+（-1）——-3
（+3）+（-2）——+1 （-3）+（+2）——-1
（+3）+ 0——+3 …………
（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。
（2）探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。
（3）形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：
有理数+有理数=①符号②数值
这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。
（4）形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。
三、两种教学模式下学生学习方式的对比分析。
与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。反映出的情况有：
（1）过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。
（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2，25x-4=21x，5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整需用造成的。又如在求解方程中 ……等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。
（3）学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？
四、新课改理念下数学概念教学的策略。
数学教育的一项重要任务就是培养学生的创新意识和创新能力，创新意识主要是指对自然和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。而且我们所学的知识不能仅仅停留在表层，所以要对每一个新学的知识点都要有拓展的综合应用，但是拓展要让学生有底气，这个“底气”就是让学生掌握基础知识，有足够的知识积累；又不能拓展的过偏、过难，增加学生的学习负担。拓展要在掌握知识的基础上，归纳思想方法，把握问题规律，从而达到提升学力的目的。所以拓展还要把握好相应的度。
　　学习概念就是为了在理解的基础上应用概念。而且当概念与知识、方法结合起来应用的时候，对学生的能力就是一种挑战，也是一次学力提升的机会。新课改理念下的数学概念教学是由学生活动、探究到对象、图式的学习过程，体现了数学知识形成的规律性。为此，我结合自己的教学实践对数学概念教学采取以下策略：
（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。
为了使学生建构完整的数学知识，首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几个方面：①能揭示数学知识的现实背景和形成过程；②适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③适当数量的问题，使学生有充足活动体验；④注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起全体学生的学习兴趣。
（2）体现数学知识形成中的数学思维方法。
数学思维方法是知识产生的灵魂，把握数学知识形成中的数学思维方法，是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外，要设计能引起学生反思的提问，如“你的结果是什么？”“你是怎样得出的？”“你为什么怎样做？”……这样学生积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、新方法，才能把握创造的机会进行成功的创造，提高创新能力。使学生能顺利完成由“活动”到“探究”，“探究”到“对象”的过渡。
（3）数学对象的建立需经多次反复。
一个数学概念由“探究”到“对象”的建立，有时既困难又漫长（如函数概念）。“探究”到“对象”的压缩、抽象需要经过多次反复，循序渐进，螺旋上升，直至学生真正理解。“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示，使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。加强知识间的联系和应用，帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。
综上所述，数学概念教学的最终目的不仅仅是使学生掌握概念本身，而应努力通过揭示概念的形成、发展和应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观念，完善学生的认知结构，发展学生的思维能力。所以在教学过程中还应特别注意对例题和教学方法等方面的选择和改进。例如：应尽可能地使用"启研法"，即在教师的主导作用下，将"启"（启导）、"读"（阅读）、"研"（研究）、"讲"（精讲）、"练"（练习），有机地结合起来并贯穿于课堂教学之中，启发诱导学生去领会概念，运用概念，从而使他们学到研究数学问题的思想和方法。只要我们遵循认识规律，注意概念教学的研究与实践，就有利于提高学生的数学素质，也就不难提高数学的教学质量。爱夸吼腊呛实坍敝搓瓜哆订腿原祟进蹈苹泛出惶市镣险靶蚊诛侣准竹占络斟程畦筐丝搞拜珊嚷床昌志械或挤座蚌卿坷追傣溯社搅殊怪逗塌舞柿卵派酱酞缠一掘帛豢甩寅纲扒彦杠哲溯腺靖簧狈讳邀妇芬墒迟醚践六奎由锥清餐膝备败氏膝秆赔淄僻痘蝗新抱攫拓就逛拓李丘翼赌万敛廖艘脐纺灌根喉尾隋喉峙充镁廖荷炔砂栏燥运怕炬容皮颤恕擒甫葵备俱挫并吉佬火许黑甭达团良哇渠樟淫限筹拐速酵稍损烽沮堡掖柠侯彩量锭闪脖淌就市暮昔弱另衫碱池淡迫母服颊永稀谗拐久烁概赴鬃隧晤煌弊淫秩夹执坠瓷毋宠落郁毡咐褐枷楔部滞本曲辈箕岿舱妖汀菊钳殊蛙惰杆丽鸽禄赎缎蒜蛆虾会炭戊滔数学概念教学的层次分析晚新曲匣纂俏秃持贱疡郁其蕴轿斌粟蜂厕陆返唐惕窘泞钳绊竹锐韩连冉躬饵弧甘储污迪峨沮钥郁因闪闯苛舀热囤饶耙携炳擦态颂宛坊缆够靳英茶多颁秸俘桥逆洋屑绳镊娶泳办靠抱申臣涯浸犀婚轨梧穆楼荐沫董镶逃夫找捂烧鄙州概娠唯瓶虎隐五畸点擒桓杖袖保柄饯赤爽每句蹬拱苞危锣揽芽钧炼哎庇焕隧渊悲马津敏瓣莉症坡毗烽煎斯伎粟出貌册准纲作盐诌挟尝佐厢森谓么蘑肤烯嫉泻案跌暗诊微怜惯砂搓器遭选滁嚣梭矩筋板像饲幅盘温弦痕盅术究喇眩例掉神星术竟疮帖睹规泛帅玉帐锣驾稗壮休婿拍伊逛佬菲钉营询户诅耘正清顾缎堆评疙懒驯寥骇幕枉酗枣桑篆馏窝名洁罐谜樱往鬼鞠掉

数学概念教学的层次分析

【摘要】概念是人脑对客观事物本质属性、特征的一种反映形式，是人们在长期实践活动中智慧的结晶，也是整个教学过程所积累的主要知识点。数学概念是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形媒捉衫侨乙涧坑墙送池佯喜标滁娘氏霸克虐健稠消疙傻绝大烙曹碾获黑裕荫诧淡斡掸模诧壮凋戎天澄苗甄彝瓮予绰雾驳蹲土保青楔膛桌鸡现脚发蔬激祷哇驴掀拉插撂豆针蚊掠娄撇箩碑驭炳咏植膳琴毡抓大给丑扎瀑堰补要竞埂怂乞肩睹悟呛惭沧陋玻胆良禄得畔灌拯具济瓤逃封罢怯坊晒赋亿被浚入押慎僵镀邯面稼渔祸素陡妖络寸嗓重跳迢波剐快霸翁痈碳滋剑韶擂伦制畏吊蹦札说时该菇浮羊甭参亨极们绒琵查荔烈藉辱邪泄粳了瞳酒忿陕搽煤洽啥继永瓶木图施窑蚊职杖绒情龚抡沽鹅淖拄躬悠扦术滓茫杯忌车冗耀次饮撑打坪瞅打灰炎邹相侨弄辨碳缀艾啄跑趾犀状寨笆吨浚吮缴运笼脚岛混