圆心角-弧-弦-弦心距之间的关系定理知识点及练习.pdf

圆心角圆心角,弧弧,弦弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习弦心距之间的关系定理知识点及练习1、定理：、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。若AOB=AOB，则 =，AB=AB，AM=AMAB AB 2、推论：、推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.特别提示：弧、弦、圆心角、弦心距之间的等量转化的前提是在同圆或等圆中；同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“AOBAB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧；在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立；但不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。3 3、应用、应用（1）在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；（2）有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距。（3）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（4）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。例：如图，为 的弦，、交于、。CDOACBDOAOBCDFE 求证：OEOF 证法一：证法一：连结 OC、OD OCODCD，ACBDCOABOD，（等弧所对的圆心角相等）COFDOE OEOF OCDABFEOCDABFEOCDABFEMN 证法二：证法二：过 O 点作 OMCD 于 N 交O 于 M CMMD又，CABDAMMB AOMBOM 又，FNOENOONON90 OFNOENOFOE练习练习一、选择题1、下列说法中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等2、半径为 4cm，120的圆心角所对的弦长为（）A.5cmB.4 3cmC.6cmD.3 3cm 3、在同圆或等圆中，如果圆心角BOA 等于另一个圆心角COD 的 2 倍，则下列式子中能成立的是（）A.ABCD 2B.ABCD2 C.ABCD2D.ABCD24.在O 中，圆心角AOB90，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则O 的直径的长为（）A.4 2B.8 2C.24D.165.在O 中，两弦 ABCD，OM、ON 分别为这两条弦的弦心距，则 OM、ON 的关系是（）A.OMONB.OMON C.OMOND.无法确定6、如图 1，ABC内接于O，445，ABC则O的半径为（）.A22B4C32D57、如图 2，在O中，点 C 是 AB 的中点，40A，则BOC等于（）.A40B50C70D80如图 4如图 5如图 68、如图 3，AB 为O 的直径，C、D 是O 上的两点，则BAC20ADCDDAC 的度数是（）A.70B.45C.35D.30DAOBC 二、填空题1、如图 3，A、B、C、D 是上四点，且 D 是 AB 的中点，CD 交 OB 于 E，O，=度.55,100OBCAOBOEC2、如图 4，已知 AB 是的直径，C、D 是上的两点，则的度数是 .OO130DBAC3、如图 5，AB 是半圆的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则OAD 的长为 cm.4、一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。5、一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。6、在半径为 R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于_。4.在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于 E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦CD 的弦心距 OF_cm，弦 CD 的长为_cm。7、已知O 的半径为 5cm，过O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP_。8已知 A、B、C 为O 上三点，若ABBCCA、度数之比为 1：2：3，则AOB_，BOC_，COA_。9、已知O 中，直径为 10cm，AB是O 的14，则弦 AB_，AB 的弦心距_。三、解答题1.如图 1：已知，OA 为O 的半径，AC 是弦，OBOA 并交 AC 延长线于 B 点，OA6，OB8，求 AC 的长。2.如图 2，中，O 在的三边上所截得的弦长都相等，求ABCA70ABCBOC 的度数。3、如图 3，C 是O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CDCO，使的度数 40，AD如图 3如图 21求的度数。BEOACBOABCOCABDE四、证明题1、已知：如图1，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。OCBADNMOACEBD2、如图：已知，O中，ABBCCD，OB、OC分别交AC、DB于M、N。求证：OMN是等腰三角形。3、如图，O中弦ABCD，且AB与CD交于E。求证：DEAE。112233