直线与平面垂直专题(培训机构专用)(含答案).pdf

第 1 页直线、平面垂直的判定与性质【例题 1】如图所示，ABC 中，ABC90，SA平面 ABC，过点 A 向 SC 和 SB 引垂线，垂足分别是 P、Q，求证：(1)AQ平面 SBC；(2)PQSC【练习 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O 为 ABCD 的中心，求证 B1O平面 PAC【例题 2】如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DEBC(1)求证：BC 平面 PAC(2)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角？并说明理由 第 2 页【练习 2】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，点 D 在B1C1上，A1DB1C求证：(1)EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C【例题 3】如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M，N 分别是A1B，B1C1的中点(1)求证：MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1和平面 A1BC 所成的角的大小【练习 3】如图，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M 是 EA 的中点，N 是 EC 的中点，求证：平面 DMN平面 ABC 第 3 页【例题 4】如图所示，在多面体 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8，AB2DC45(1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD平面 PAD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积【练习 4】如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的菱形，BCD120，平面PCD平面 ABCD，PCa，PDa，E 为 PA 的中点求证：平面 EDB平面 ABCD2【拓展练习】1、如图，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 于点 E，过 E 作 EFSC 于点 F(1)求证：AFSC；(2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AGSD 第 4 页2、如图，在四面体 ABCD 中，CBCD，ADBD，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：(1)EF面 ACD；(2)面 EFC面 BCD3、如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3，BC3，沿对角线 BD 将BCD 折起，使点 C 移到 C点，且3C点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上(1)求证：BC平面 ACD；(2)求点 A 到平面 BCD 的距离 4、如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD，底面 ABCD 是直角梯形，其中 BCAD，BAD90，AD3BC，O 是 AD 上一点(1)若 CD平面 PBO，试指出点 O 的位置；(2)求证：平面 PAB平面 PCD 第 5 页【例题 1】如图所示，ABC 中，ABC90，SA平面 ABC，过点 A 向 SC 和 SB 引垂线，垂足分别是 P、Q，求证：(1)AQ平面 SBC；(2)PQSC证明(1)SA平面 ABC，BC平面 ABC，SABC又BCAB，SAABA，BC平面 SAB又AQ平面 SAB，BCAQ又AQSB，BCSBB，AQ平面 SBC(2)AQ平面 SBC，SC平面 SBC，AQSC又APSC，AQAPA，SC平面 APQPQ平面 APQ，PQSC【练习 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O 为 ABCD 的中心，求证 B1O平面 PAC证明连接 AB1，CB1，设 AB1AB1CB1，2AOCO，B1OAC连接PB1OB OB2BB ，PB PD B1D ，2 12 1322 12 12 194OP2PD2DO2，OB OP2PB B1OPO，342 12 1又POACO，B1O平面 PAC【例题 2】如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点 D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DEBC(1)求证：BC 平面 PAC(2)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角？并说明理由(1)证明PA底面 ABC，PABC又BCA90，ACBC又ACPAA，BC平面 PAC(2)解DEBC，又由(1)知，BC平面 PAC，DE平面 PAC又AE平面 PAC，PE平面 PAC，DEAE，DEPEAEP 为二面角 ADEP 的平面角PA底面 ABC，PAAC，PAC90在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC这时AEP90，故存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角 第 6 页【练习 2】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，点 D 在B1C1上，A1DB1C求证：(1)EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C证明(1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EFBC因为 EF平面 ABCBC平面 ABC所以 EF平面 ABC(2)由三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱知 CC1平面 A1B1C1又 A1D平面 A1B1C1，故 CC1A1D 又因为A1DB1C，CC1B1CC，故 A1D平面 BB1C1C，又 A1D平面 A1FD，所以平面 A1FD平面 BB1C1C【例题 3】如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M，N 分别是A1B，B1C1的中点(1)求证：MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1和平面 A1BC 所成的角的大小(1)证明如图所示，由已知 BCAC，BCCC1，得 BC平面 ACC1A1连接 AC1，则 BCAC1由已知，可知侧面 ACC1A1是正方形，所以 A1CAC1又 BCA1CC，所以 AC1平面 A1BC因为侧面 ABB1A1是正方形，M 是 A1B 的中点，连接 AB1，则点 M 是 AB1的中点又点 N 是 B1C1的中点，则 MN 是AB1C1的中位线，所以 MNAC1故 MN平面A1BC(2)解如图所示，因为 AC1平面 A1BC，设 AC1与 A1C 相交于点 D，连接 BD，则C1BD 为直线 BC1和平面 A1BC 所成的角设 ACBCCC1a，则 C1Da，BC1a在 RtBDC1中，sin C1BD，222C1DBC112所以C1BD30，故直线 BC1和平面 A1BC 所成的角为 30【练习 3】如图，ABC 为正三角形，EC平面 ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M 是 EA 的中点，N 是 EC 的中点，求证：平面 DMN平面 ABC 第 7 页证明M、N 分别是 EA 与 EC 的中点，MNAC，又AC平面 ABC，MN平面 ABC，MN平面 ABC，DB平面 ABC，EC平面 ABC，BDEC，四边形 BDEC 为直角梯形，N 为 EC 中点，EC2BD，NC 綊 BD，四边形 BCND 为矩形，DNBC，又DN平面 ABC，BC平面 ABC，DN平面 ABC，又MNDNN，平面 DMN平面 ABC【例题 4】如图所示，在多面体 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8，AB2DC45(1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD平面 PAD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积(1)证明在ABD 中，AD4，BD8，AB4，5AD2BD2AB2ADBD又面 PAD面 ABCD，面 PAD面 ABCDAD，BD面 ABCD，BD面 PAD，又 BD面 BDM，面 MBD面 PAD(2)解过 P 作 POAD，面 PAD面 ABCD，PO面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高又PAD 是边长为 4 的等边三角形，PO23在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，四边形 ABCD 为梯形在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为，此即为梯形的高4 84 58 55S四边形 ABCD24VPABCD 242162 54 528 551333【练习 4】如图所示，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的菱形，BCD120，平面PCD平面 ABCD，PCa，PDa，E 为 PA 的中点求证：平面 EDB平面 ABCD2 第 8 页证明设 ACBDO，连接 EO，则 EOPCPCCDa，PDa，PC2CD2PD2，PCCD平面 PCD平面 ABCD，CD 为交线，PC2平面 ABCD，EO平面 ABCD又 EO平面 EDB，平面 EDB平面 ABCD【拓展练习】1、如图，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC，再过 A 作 AESB 于点 E，过 E 作 EFSC 于点 F(1)求证：AFSC；(2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AGSD2、如图，在四面体 ABCD 中，CBCD，ADBD，且 E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：(1)EF面 ACD；(2)面 EFC面 BCD3、如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3，BC3，沿对角线 BD 将BCD 折起，使点 C 移到 C点，且 C3点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上(1)求证：BC平面 ACD；(2)求点 A 到平面 BCD 的距离 4、如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱PAPD，底面 ABCD 是直角梯形，其中 BCAD，BAD90，AD3BC，O 是 AD 上一点(1)若 CD平面 PBO，试指出点 O 的位置；(2)求证：平面 PAB平面 PCD