三角形辅助线的作法总结.doc

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三角形---作辅助线
知识点一：利用转化倍角，构造等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.
如图①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；
如图②中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形；

B
C
D
A
①
②
B
C
D
A
③
B
C
D
A
如图③中，若∠B＝2∠ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形.

D
C
B
A
1、如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝∠BAC.

A
B
C

2、如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.

知识点二：利用角平分线+平行线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.
如图①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△ACE是等腰三角形；
如图②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；
如图③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，则△ACE是等腰三角形；

①
A
D
C
B
E
②
E
C
B
D
A
B
A
C
D
E
③
④
A
B
F
C
D
E
G
如图④中，AD平分∠BAC，EF∥AD，则△AGE是等腰三角形.

3、如图，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：.AE＝AP.

F
B
A
C

P
E

F
C
D
E
B
A

4、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC.
求证：EF∥AB.

知识点三：利用角平分线+垂线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1中，
E
图1
A
B
C
D
若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形.

5、如图2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D。求证： BF＝2CD.
图2
B
F
D

C
A

知识点四：截长补短法
A
B
C
D

E

6、如图，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
求证：AB+BE=AC．

E
A
B
C
D
F

知识点五：倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
7、如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．
求证：AC=BF

A
E
8、已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图,求证EF＝2AD。
F
B

知识点六：平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．
A
B
C
P
Q

O
9、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ．

O
A
B
C
P
Q
D
图（1）
A
B
C
P
Q
D
E
图（2）
O

说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，
构造全等三角形，即“截长补短法”．

⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
① 如图（1），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．
A
B
C
P
Q
图（3）
D
O

② 如图（2），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，
则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．

③ 如图（3），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC来解决．

A
B
C
P
Q
图（4）
D
O

④ 如图（4），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．

A
B
C
D
M

10、已知：如图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长于M．
求证：AM=（AB+AC）

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