插值与数据拟合建模.pptx
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1、 插值与数据拟合就是通过一些已知数据去插值与数据拟合就是通过一些已知数据去确定某类函数的参数或寻找某个近似函数,使确定某类函数的参数或寻找某个近似函数,使所得的函数与已知数据具有较高的精度,并且所得的函数与已知数据具有较高的精度,并且能够使用数学分析的工具分析数据所反映的对能够使用数学分析的工具分析数据所反映的对象的性质象的性质 几种常用的方法:几种常用的方法:1 1、一般插值法、一般插值法 2 2、样条插值法、样条插值法 3 3、最小二乘曲线、最小二乘曲线 4 4、曲面的拟合、曲面的拟合数据拟合与插值建模数据拟合与插值建模 上大学二年级的小华正在做作业,上大学二年级的小华正在做作业,“爸爸,
2、计爸爸,计算这道题要用到算这道题要用到sin sin ,可是我的计算器坏了,可是我的计算器坏了,怎么办。怎么办。”当工程师的老张从厚厚的一摞旧书底下当工程师的老张从厚厚的一摞旧书底下抽出一本数学用表来,抽出一本数学用表来,“给你,这是我念大学时用给你,这是我念大学时用的,那时候啊,计算器听都没听说过。的,那时候啊,计算器听都没听说过。”小华拿着表翻了一会儿,无奈的说:小华拿着表翻了一会儿,无奈的说:“表上每表上每 才有一个函数值,这里只才有一个函数值,这里只sin sin 和和sin “sin “表中没有的,都可以用插值方法计算表中没有的,都可以用插值方法计算”“”“插值!我们插值!我们的数学
3、实验课就要学了,不过,今天我要先自己想个的数学实验课就要学了,不过,今天我要先自己想个办法,用这个算出办法,用这个算出sin ”sin ”这本四位数学用表给出这本四位数学用表给出sin sin 0.5760.576,sin =0.5783sin =0.5783。小华认为在。小华认为在sin sin 到到sin sin 这样小的范围内,正弦可以近似为线性这样小的范围内,正弦可以近似为线性函数,于是很容易地得到函数,于是很容易地得到Sin =0.576+(0.5783-0.5760)0.6=0.5774Sin =0.576+(0.5783-0.5760)0.6=0.5774 聪明的小华用的这个办法
4、是一种插值聪明的小华用的这个办法是一种插值方法方法分段线性插值。实际上,分段线性插值。实际上,插值可插值可以理解为,要根据一个用表格表示的函数,以理解为,要根据一个用表格表示的函数,计算表中没有的函数值。计算表中没有的函数值。表中有的,如(表中有的,如(sin sin ,0.57600.5760)(sin (sin ,0.5783),0.5783)称为称为节点节点;要计算的,如;要计算的,如sin sin ,称为,称为插值点插值点,结果(,结果(0.57740.5774)即为)即为插值插值。小华作的线性函数为小华作的线性函数为插值函数插值函数,插值函数,插值函数所表示的直线当然要通过节点。所表
5、示的直线当然要通过节点。插值最初来源于天体计算插值最初来源于天体计算由若干观由若干观测值(即节点)计算任意时刻星球的位置测值(即节点)计算任意时刻星球的位置(即插值点和插值)(即插值点和插值)的需要。现在,虽的需要。现在,虽然人们已很少需要用它从函数表计算函数值然人们已很少需要用它从函数表计算函数值了,但是插值仍然在诸如机械加工等工程技了,但是插值仍然在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有着许多直接的术和数据处理等科学研究中有着许多直接的应用,另一方面,插值又是数值微分、数值应用,另一方面,插值又是数值微分、数值积分、常微分方程数值等数值计算的基础。积分、常微分方程数值等数值计算的基
6、础。几天后,小华在物理实验里又碰几天后,小华在物理实验里又碰到一个看起来非常类似的问题:有一到一个看起来非常类似的问题:有一只对温度敏感的电阻,已经测得了一只对温度敏感的电阻,已经测得了一组温度组温度T T和电阻和电阻R R数据。数据。现在想知道现在想知道60600C时的电阻多大。时的电阻多大。温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032 小华征求老师的意见,老师给了他两点提示:小华征求老师的意见,老师给了他两点提示:一是在直角坐标系中把一是在直角坐标系中把5 5个点(个点(T T,R R)画一下,看)画一下,看看电阻
7、看电阻R R和温度和温度T T之间大致有什么关系之间大致有什么关系;二是;二是测量测量数据总有相当大的误差数据总有相当大的误差,这与用函数表作插值计,这与用函数表作插值计算应该有不同之处吧(虽然函数表也存在舍入误算应该有不同之处吧(虽然函数表也存在舍入误差,但很小,可以认为表中数值是精确的)差,但很小,可以认为表中数值是精确的)通过图形小华看到,通过图形小华看到,R R与与T T大致呈直线关系,大致呈直线关系,于是用手画了一条靠近于是用手画了一条靠近5 5个点的直线,又想起中学个点的直线,又想起中学物理学过,金属材料的电阻率与温度成正比,从物理学过,金属材料的电阻率与温度成正比,从而确定而确定
8、R R与与T T的关系应该是的关系应该是 R=at+bR=at+b 其中其中a a,b b为待定常数。为待定常数。正是由于测量误差的存在,由正是由于测量误差的存在,由R=at+bR=at+b表表示的直线不可能通过全部示的直线不可能通过全部5 5个点,所以,与插个点,所以,与插值曲线要通过全部节点不同,小华打算作一条值曲线要通过全部节点不同,小华打算作一条尽量靠近所有的点的直线,求出尽量靠近所有的点的直线,求出a a,b b待定常数,待定常数,由此计算由此计算t=t=60600C 的的R R就十分简单了。就十分简单了。根据一组(二组)数据,即平面上的根据一组(二组)数据,即平面上的若干点,确定一
9、个一元函数,即曲线,若干点,确定一个一元函数,即曲线,使这些节点与曲线总体来说尽量接近,使这些节点与曲线总体来说尽量接近,这就是曲线拟合。这就是曲线拟合。函数值与曲线拟合都是要根据一组函数值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数据构造一个函 数作为近似,由于近似数作为近似,由于近似的要求不同,二者的数学方法是完全不的要求不同,二者的数学方法是完全不同的。同的。数数 据据 拟拟 合合1.拟合的基本原理;拟合的基本原理;2.最小二乘拟合;最小二乘拟合;3.用用Matlab作最小二乘拟合;作最小二乘拟合;4.4.如何用拟合解决实际问题。如何用拟合解决实际问题。t(h)0.25 0.5 1 1.5
10、2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 对某人用快速静脉注射方式一次性注射某种药物对某人用快速静脉注射方式一次性注射某种药物300mg后,经过时间后,经过时间t采集血样,测得血药浓度采集血样,测得血药浓度c如下表:如下表:求血药浓度随时间的变化规律求血药浓度随时间的变化规律c(t).半对数坐标系半对数坐标系(semilogy)下的图形下的图形Log10c(t)=a t+b引例引例1 1:血药浓度的变化规律:血药浓度的变化规律曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法 已知一组(二维)数据,即平
11、面上已知一组(二维)数据,即平面上 n个点个点(xi,yi)i=1,n,寻求一个函数(曲线)寻求一个函数(曲线)y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点(xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离最小二乘拟合最小二乘拟合 第一步:第一步:先选定一类函数先选定一类函数f(x,a1,a2,am)其其准则为(最小二乘准则):使准则为(最小二乘准则):使n个点个点(xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x,a1,a2,am)的距离的距离 i 的平方和最小的平方
12、和最小。其中其中a1,a2,am为待定常数。为待定常数。f f可以为一些简单的可以为一些简单的“基函数基函数”(如幂函数,三角函数等等)的线性组合:(如幂函数,三角函数等等)的线性组合:第二步:确定参数第二步:确定参数a1,a2,am,记记问题归结为,求问题归结为,求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小。这样的拟合称为最小二乘拟合。这样的拟合称为最小二乘拟合。除了最小二乘准则(即各点误差的平方和除了最小二乘准则(即各点误差的平方和最小),你认为还可以用怎样的拟合准则?最小),你认为还可以用怎样的拟合准则?比较起来,最小二乘准则有什么优点?比较起来,最小二乘准则有什么优点?
13、思考思考最小二乘拟合函数最小二乘拟合函数 f(xf(x,a a1 1,aam m)的选取的选取 +f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1exp(a2x)+f=a1exp(a2x)1.1.通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f f;2.2.将数据将数据 (xi,yi)i=1,n 作图,通过直观判断确定作图,通过直观判断确定 f:2.2.作一般的作一般的最小二乘曲线拟合,可利用已有程序最小二乘曲线拟合,可利用已有程序curvefit,curvefit,其调用格式为:其调用格式为:a=curvefit(f,a0,x,y)1.1.作多项式
14、作多项式f(x)=a1xm+amx+am+1函数函数拟合拟合,可利用已有程序可利用已有程序polyfit,polyfit,其调用格式为其调用格式为:a=polyfit(x,y,m)用用MATLABMATLAB作最小二乘拟合作最小二乘拟合数据点数据点拟合多项式次数拟合多项式次数系数系数注:注:f f为拟合函数为拟合函数y=f(a,x)y=f(a,x)的函数的函数MM文件,文件,f(a,x)f(a,x)为拟合函数。为拟合函数。数据点数据点待定常数待定常数a a的初值的初值函数函数M文件文件用用MATLABMATLAB作多项式最小二乘拟合作多项式最小二乘拟合2.2.用命令用命令polyfit(x,y
15、,m)得到得到 a1=3.3940,a2=702.49181.选取函数选取函数 R=a1t+a2温度温度t(0C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032例例.由数据由数据拟合拟合R=f(t)用用MATLABMATLAB作最小二乘曲线拟合作最小二乘曲线拟合例:用函数例:用函数f(x)=a1*exp(-a2*x)+a3*exp(-a4*x)拟合拟合下列数据点:下列数据点:xdata=0:.1:2 ydata=5.8955 3.5639 2.5173 1.9790 1.8990 1.3938 1.1359 1.0096 1.0343 0
16、.8435 0.6856 0.6100 0.5392 0.3946 0.3903 0.5474 0.3459 0.1370 0.2211 0.1704 0.2636用命令用命令curvefit(f,a0,x,y)拟合的应用拟合的应用参数辨识参数辨识 数学建模的方法:机理分析和测试分析。数学建模的方法:机理分析和测试分析。机理分析是根据对客观事物特性的认识,找机理分析是根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律,建立的模型常有明出反映内部机理的数量规律,建立的模型常有明确的物理意义。确的物理意义。测试分析将研究的对象看作一个测试分析将研究的对象看作一个“黑箱黑箱”,通过对实验数据的统计
17、分析,找出与数据拟合得通过对实验数据的统计分析,找出与数据拟合得最好的模型。最好的模型。机理分析机理分析模型结构模型结构实验数据实验数据未知参数未知参数范例:薄膜渗透率的测定范例:薄膜渗透率的测定 一、问题:一、问题:某种医用薄膜,具有从高浓度的溶液向低某种医用薄膜,具有从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能,在试制时需测定薄膜浓度的溶液扩散的功能,在试制时需测定薄膜被物质分子穿透的能力。被物质分子穿透的能力。测定方法:用面积为测定方法:用面积为S S的薄膜将容器分成的薄膜将容器分成体积分别为体积分别为 的两部份,在两部分中分的两部份,在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该别注满
18、该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。平均每单位时间通过单位面积薄溶液中扩散。平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比,膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比,比例系数比例系数K K表征了薄膜被该物质分子穿透的能表征了薄膜被该物质分子穿透的能力,称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧力,称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度,以此确定的溶液浓度,以此确定K K。VAVBS二、问题分析二、问题分析 考考察察时时段段tt,t+tt+t薄薄膜膜两两侧侧容容器器中中该该物物质质质
19、量的变化。质量的变化。设设 ,对对容容器器的的B B部部分分溶溶液液浓度的测试结果如下表:(浓度单位浓度的测试结果如下表:(浓度单位 )1)在容器的一侧,物质质量的增加是由于另一在容器的一侧,物质质量的增加是由于另一侧的物质向该侧渗透的结果,因此物质质量的增侧的物质向该侧渗透的结果,因此物质质量的增量应等于另一侧的该物质向这侧的渗透量。量应等于另一侧的该物质向这侧的渗透量。以容器以容器A A侧为例,在时段侧为例,在时段tt,t+tt+t物质质量物质质量的增量为:的增量为:分别表示在时刻分别表示在时刻t t膜两侧溶液膜两侧溶液设设的浓度,浓度单位的浓度,浓度单位:由于平均每单位时间通过单位面积薄
20、膜的由于平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比,比物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比,比例系数为例系数为K K。因此,在时段因此,在时段tt,t+tt+t,从,从B B侧渗透至侧渗透至A A侧的该物质的质量为:侧的该物质的质量为:于是有:于是有:两边除以两边除以tt,并令,并令t0t0取极限再稍加整理取极限再稍加整理即得:即得:分别表示在初始时刻两侧溶液的浓度分别表示在初始时刻两侧溶液的浓度其中其中(1)2)注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不变变,与初始时刻该物质的含量相同,因此与初始时刻该物质的含量相同,因此 从而
21、:从而:加上初值条件:加上初值条件:代入式(代入式(1)得:)得:便可得出便可得出CB(t)的变化规律,从而根据实验数据进行的变化规律,从而根据实验数据进行拟合,估计出参数拟合,估计出参数K,。三、数学模型三、数学模型假设:假设:1)薄膜两侧的溶液始终是均匀的;薄膜两侧的溶液始终是均匀的;2)平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比。子量与膜两侧溶液的浓度差成正比。3 3)薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一侧向)薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。另一侧渗透的性能是相同的。基于假设和前面的分析,基于假
22、设和前面的分析,B B侧的浓度侧的浓度CB(t)应满足应满足如下微分方程和初始条件:如下微分方程和初始条件:四、求解方法:四、求解方法:1.函数拟合法函数拟合法前面得到的模型是一个带初值的一阶线性微分方前面得到的模型是一个带初值的一阶线性微分方程,解之得:程,解之得:问题归结为利用问题归结为利用C CB B在时刻在时刻t tj j的测量数据的测量数据C Cj j(j=1,2,.,N)(j=1,2,.,N)来辨识来辨识 K K 和和 。引入引入从而从而 用函数用函数CB(t)来拟合所给的实验数据,来拟合所给的实验数据,从而估计出其中的参数从而估计出其中的参数a,b,K。将将代入上式有:代入上式有
23、:用用MATLABMATLAB软件进行计算软件进行计算.1 1)编写函数编写函数M-M-文件文件 nongdu.mnongdu.mfunction f=nongdu(x,tdata)function f=nongdu(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata);f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata);其中其中 x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;2)2)在工作空间中执行以下命令在工作空间中执行以下命令(test1.m)(test1.m)tdata=linspace(100,100
24、0,10);tdata=linspace(100,1000,10);cdata=4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10.cdata=4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10.6.26 6.39 6.50 6.59;6.26 6.39 6.50 6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x0=0.2,0.05,0.05;x=curvefit(nongdu,x0,tdata,cdata)x=curvefit(nongdu,x0,tdata,cdata)3)3)输出结果输出结果:x=0.007 -0.003 0.1012:x=0.007 -0.003 0.10
25、12 即即 k=0.1012,a=0.007,b=-0.003,k=0.1012,a=0.007,b=-0.003,进一步求得:进一步求得:2.非线性规划法非线性规划法 利用利用C CB B在时刻在时刻t tj j的测量数据的测量数据C Cj j(j=1,2,.,N)(j=1,2,.,N)来辨来辨识识 K K 和和 。问题可转化为求函数问题可转化为求函数即求函数即求函数的最小值点(的最小值点(K K,a a,b b)。)。3.导函数拟合法导函数拟合法前面得到的微分方程为:前面得到的微分方程为:令令上式变为:上式变为:这可以看作这可以看作随随CB的变化规律的变化规律(j=1,2,.,N)若知道一
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- 数据 拟合 建模
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