第一基本概念与抽样分布.pptx

第一基本概念与抽样分布第一基本概念与抽样分布第一基本概念与抽样分布第一基本概念与抽样分布由于每个个体得出现就是随机得由于每个个体得出现就是随机得,所以相应所以相应得数量指标得出现也带有随机性得数量指标得出现也带有随机性、从而可以把从而可以把这种数量指标瞧作一个随机变量这种数量指标瞧作一个随机变量,因此随机变量因此随机变量得分布就就是该数量指标在总体中得分布得分布就就是该数量指标在总体中得分布、这样这样总体就可以用一个随机变量及其分布来描述总体就可以用一个随机变量及其分布来描述、统计中统计中,总体这个概念得要旨就是总体这个概念得要旨就是:总体就就是一个随机变总体就就是一个随机变(向向)量或其概率分布量或其概率分布、数理统计研究得内容数理统计研究得内容:总体相应随机变总体相应随机变(向向)量量得概率分布及数字特征得概率分布及数字特征、为推断总体分布及各种特征为推断总体分布及各种特征,按一定规则从按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关以获得有关总体得信息总体得信息,这一抽取过程称为这一抽取过程称为“抽样抽样”,所抽取所抽取得部分个体称为样本得部分个体称为样本、样本中所包含得个体数样本中所包含得个体数目称为样本容量目称为样本容量、2、样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5(1)、抽样、样本、样本值抽样、样本、样本值但就是但就是,一旦取定一组样本一旦取定一组样本,得到得就是得到得就是n个个具体得数具体得数(X1,X2,Xn),称为样本得一次观察值称为样本得一次观察值,简称样本值简称样本值、样本就是随机变量样本就是随机变量、抽到哪抽到哪5辆就是随机辆就是随机得得容量为容量为n得样本可以瞧作得样本可以瞧作n维随机向量维随机向量、样本具有两重性样本具有两重性:10、随机性随机性样本样本(X1,X2,Xn)本身就是随机向量。本身就是随机向量。20、相对确定性相对确定性经过一次抽样否经过一次抽样否,样本样本(X1,X2,Xn)又就又就是一组确定得样本值是一组确定得样本值(x1,x2,xn)。由于抽样得目得就是为了对总体进行统计推由于抽样得目得就是为了对总体进行统计推断断,为了使抽取得样本能很好地反映总体得信息为了使抽取得样本能很好地反映总体得信息,必须考虑抽样方法必须考虑抽样方法、最常用得一种抽样方法叫作最常用得一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”,它要求抽取得样本满足下面三点它要求抽取得样本满足下面三点:10、随机性随机性:X1,X2,Xn每个结果等可能被抽取。每个结果等可能被抽取。20、代表性代表性:X1,X2,Xn中每一个与所考察得总体中每一个与所考察得总体有相同得分布有相同得分布;30、独立性独立性:X1,X2,Xn就是相互独立得随机变量就是相互独立得随机变量,每个样本值互不干扰。每个样本值互不干扰。(2)、简单随机样本简单随机样本由简单随机抽样得到得样本称为简单随机样本由简单随机抽样得到得样本称为简单随机样本,它可以用与总体独立同分布得它可以用与总体独立同分布得n个随机变量个随机变量X1,X2,Xn表示表示、简单随机样本就是应用中最常见得情形简单随机样本就是应用中最常见得情形,今后今后,当说到当说到“X1,X2,Xn就是取自某总体得样本就是取自某总体得样本”时时,若不特别说明若不特别说明,就指简单随机样本就指简单随机样本、数学定义数学定义:n个随机变量个随机变量X1,X2,Xn独立同分布独立同分布(X与同分布与同分布),则称则称(X1,X2,Xn)来自总体来自总体X得容量为得容量为n得简单随机样本得简单随机样本,简称为样本简称为样本、事实上我们抽样后得到得资料都就是具体得、事实上我们抽样后得到得资料都就是具体得、确定得值确定得值、如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测人测量身高量身高,得到得到10个数个数,它们就是样本取到得值而不它们就是样本取到得值而不就是样本就是样本、我们只能观察到随机变量取得值而我们只能观察到随机变量取得值而见不到随机变量见不到随机变量、3、总体、样本、样本值得关系总体、样本、样本值得关系总体（理论分布）总体（理论分布）？样本样本样本值样本值统计就是从手中已有得资料统计就是从手中已有得资料-样本值样本值,去推断去推断总体得情况总体得情况-总体分布总体分布F(x)得性质得性质、总体分布决定了样本取值得概率规律总体分布决定了样本取值得概率规律,也就就是也就就是样本取到样本值得规律样本取到样本值得规律,因而可以由样本值去推断总因而可以由样本值去推断总体体、样本就是联系二者得桥梁样本就是联系二者得桥梁实际上实际上,样本得分布与总体分布得关系如下样本得分布与总体分布得关系如下定理定理1、若总体得分布函数为若总体得分布函数为F(x),则其简单随则其简单随机样本得联合分布函数为机样本得联合分布函数为由由样样本本值值去去推推断断总总体体情情况况,需需要要对对样样本本值值进进行行“加加工工”,这这就就要要构构造造一一些些样样本本得得函函数数,它它把把样样本本中所含得中所含得(某一方面某一方面)得信息集中起来得信息集中起来、二、统计量二、统计量1、定义定义设设(X1,X2,Xn)为总体为总体X得一个样本得一个样本,f(X1,X2,Xn)就是一个不含任何有关总体分布未知就是一个不含任何有关总体分布未知参数得函数参数得函数,称为此总体得一个统计量称为此总体得一个统计量,它就是完全它就是完全由样本决定得量由样本决定得量、统计量实际上也就是一个随机变量统计量实际上也就是一个随机变量,它就是一它就是一个随机向量得函数。个随机向量得函数。大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静继续保持安静继续保持安静就是统计就是统计量量、不就是统计不就是统计量量、统计量得两重性统计量得两重性(1)、统计量统计量f(X1,X2,Xn)本身就是随机向量本身就是随机向量,她有确定得概率分布抽样分布。她有确定得概率分布抽样分布。(2)、经过一次抽样否经过一次抽样否,f(X1,X2,Xn)又就是由又就是由样本值样本值(x1,x2,xn)确定得一个统计值。确定得一个统计值。样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩得信息中心矩得信息2、常用得统计量常用得统计量(样本矩样本矩)(1)、定定义义它们均就是随机变它们均就是随机变量量样本均值样本均值样本方差样本方差它反映了总体它反映了总体均值得信息均值得信息k=1时时,A1称为样本均值称为样本均值k=2时时,B2称为样本方差称为样本方差(2)、矩得性矩得性质质性质性质1、由大数定由大数定律可知律可知大样本条件下大样本条件下,一次抽样后样本均值、方差可一次抽样后样本均值、方差可作为总体得均值、方差得近似。作为总体得均值、方差得近似。一般地一般地,抽样分为大样本与小样本问题。抽样分为大样本与小样本问题。性质性质2、证证推论推论证证3、次序统计量次序统计量(1)、定定义义即即:X(k)得取值得取值x(k)为为(x(1),x(n)按从小到大得次按从小到大得次序重新排列后第序重新排列后第k个位置得数个位置得数,(2)、中位数、样本极差中位数、样本极差中位数中位数样本极差样本极差次序统计量、中位数、样本极差都就是统计量。次序统计量、中位数、样本极差都就是统计量。极差可以反映样本值变化得程度或离散程度。极差可以反映样本值变化得程度或离散程度。例例1、计算下列样本中位数、均值、方差、标计算下列样本中位数、均值、方差、标准差、极差准差、极差、解解4、经验分布函数经验分布函数(1)、定定义义当给定次序统计量得一组值当给定次序统计量得一组值定义对定义对称称Fn(x)为总体为总体X得经验分布函数。为样本值不超得经验分布函数。为样本值不超过过x得频率。得频率。经验分布函数经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布从样本直观得到描述性分布、样本直方图可以描述样本直方图可以描述、(2)、经验分布函数得性质经验分布函数得性质10、具有通常分布函数得三个性质具有通常分布函数得三个性质,图形呈跳跃上升图形呈跳跃上升;20、Fn(x)就是一个随机变量就是一个随机变量;30、经验分布函数经验分布函数Fn(x)与总体分布函数与总体分布函数F(x)得关得关系系格列汶科格列汶科(Glivenko)定理定理:三、三、抽样分布抽样分布统计量既然就是依赖于样本得统计量既然就是依赖于样本得,而后者又就而后者又就是随机变量是随机变量,故统计量也就是随机变量故统计量也就是随机变量,因而就有因而就有一定得分布一定得分布,这个分布叫做统计量得这个分布叫做统计量得“抽样分布抽样分布”、抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布渐近分布渐近分布(小样本问题中使用小样本问题中使用)(大样本问题中使用大样本问题中使用)抽样分布就是由一个统计量抽样分布就是由一个统计量(随机变量函数随机变量函数)得分布得分布、研究统计量得性质与评价一个统计推研究统计量得性质与评价一个统计推断得优良性断得优良性,完全取决于其抽样分布得性质完全取决于其抽样分布得性质、由实际问题与中心极限定理可知由实际问题与中心极限定理可知,讨论正态总讨论正态总体得样本统计量得分布非常必要。体得样本统计量得分布非常必要。1、正态总体正态总体X与样本线性函数得分布与样本线性函数得分布(1)总体总体X(2)(X1,Xn)来自来自总体总体X设设X1,XnN(0,1)且相互独立且相互独立,则称随机变量则称随机变量:就是由正态分布派生出来得一种分就是由正态分布派生出来得一种分布布、(1)、定义定义所服从得分布为自由度为所服从得分布为自由度为 n得得n为独立随机正态变量得个数为独立随机正态变量得个数,也称为也称为其中其中(x)为为伽玛伽玛(Gamma)函数函数具有如下性质具有如下性质:10、设设X1,Xn则则E(X)=n,D(X)=2n由定义知由定义知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n30、2变量变量得可加得可加性性要用到独立随机变量与得卷积公式与要用到独立随机变量与得卷积公式与(x)得性质。得性质。=2n应用应用Lindeberg中心极限定理可得中心极限定理可得:40、极限分极限分布布记为记为Tt(n)、设设XN(0,1),Y 2(n),且且相相互互独独立立,则则称称随随机机变量变量所服从得分布为自由度为所服从得分布为自由度为n得得t 分布分布,也称为也称为t变量变量、3、t 分布分布(1)、定定义义:(2)、T变量得密度函数为变量得密度函数为:10、T t(n)为具有自由度为为具有自由度为n得得t分布得随机变分布得随机变量量,则则T得数字特征具有如下性质得数字特征具有如下性质:当当 n=1时时,T t(n)实际上就是柯西分布实际上就是柯西分布,任何任何阶矩均不存在阶矩均不存在;(3)、T变量得性质变量得性质:当当n2,E(T)=0;D(T)=n/(n-2)、事实上事实上当当n充分大时充分大时,其图形类似于标准正态分布密其图形类似于标准正态分布密度函数得图形度函数得图形、t分布得密度函数关于分布得密度函数关于x=0对称对称,就是偶函数就是偶函数,且且应用应用函数得性质及司特林函数得性质及司特林(Stirling)公式得公式得:30、极限分布极限分布当当n充分大时充分大时,t 分布近似分布近似N (0,1)分布分布、但对但对于较小得于较小得n,t分布与分布与N(0,1)分布相差很大分布相差很大、由定义可见由定义可见,服从自由度为服从自由度为n1及及n2得得F分布分布,n1称为第一自由称为第一自由度度,n2称为第二自由度称为第二自由度,记作记作FF(n1,n2)、F(n2,n1)4、F分分布布(1)、定义定义也称为也称为F变量变量EX不依赖于第不依赖于第一自由度一自由度n1、10、若若XF(n1,n2),X得数学特征得数学特征:若若n22(2)、若若XF(n1,n2),X得概率密度为得概率密度为(3)、F变量得性质变量得性质20、若若n1=1时时,FF(1,n2)=t 2(n2)、30、极限分布极限分布若若XF(n1,n2),n24,则则四、抽样分布定理四、抽样分布定理当总体为正态分布时当总体为正态分布时,我们简单地叙述几我们简单地叙述几个抽样分布定理个抽样分布定理、1、一个正态总体一个正态总体X设设X1,X2,Xn就是来自总体就是来自总体X(1)、定理定理1、(样本均值得分样本均值得分布布)n取不同值时样本均值取不同值时样本均值的分布的分布n取不同值时取不同值时得分布得分布(2)、定理定理2(样本方差得分布样本方差得分布)则有则有X1,X2,Xn就是来自总体就是来自总体X又相互独立又相互独立30、得说得说明明2、两个正态总体两个正态总体 情情形形定理定理3、或或也有也有或或或或统计四大分布得定义、基本性质以及统计四大分布得定义、基本性质以及上述抽样分布定理在后面得学习中经常上述抽样分布定理在后面得学习中经常用到用到,要理解要理解,牢记！牢记！下面给出概率分布得上侧分位数下面给出概率分布得上侧分位数(分位点分位点)得定义得定义,它在计算统计查表时经常使用它在计算统计查表时经常使用、五、分位点五、分位点1、定定义义设设X就是随机变量就是随机变量,对对 (0,1),若存在若存在x 使使则称则称x 就是就是X(概率分布概率分布)得得 上侧分位上侧分位点点、特别地特别地;(1)、正态分正态分布布查表查表P253页表页表1、查表查表P261页表页表3、(3)、Tt(n)学生氏分布学生氏分布查表查表P259页表页表2、(4)、F F(m,n)查表查表P366页表页表5、