相交线教案.doc

整理
相交线
一、 教学内容
1、重点：对顶角及其性质，邻补角及其性质，直线与直线的垂直，垂线段最小，同位角、内错角、同旁内角的概念。
2、考点：对顶角及其性质，邻补角及其性质，直线与直线的垂直，垂线段最小，同位角、内错角、同旁内角的概念。
3、难点：同位角、内错角、同旁内角的概念。
4、易错点：邻补角及其性质，同位角、内错角、同旁内角的概念
二、知识梳理
知识点一：对顶角、邻补角概念及性质
　　1．对顶角的概念
　　定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。
定义2：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角，
要点诠释：(1)对顶角的确定条件：是两条直线相交所得到的，有公共顶点而没有公共边。　　
(2)两条直线相交所构成的四个角中，共有2对对顶角。
　　2．邻补角的概念
　　定义1：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
　　定义2：邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，如图2中的∠1和∠2。
要点诠释：(1)邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两角的另一条边在同一条直线上。(2)判定邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共的，另外两边互为反向延长线。
　　(3)邻补角是成对的。邻补角一定是互补的两个角，互补的两个角不一定是邻补角。
　　(4)两条直线相交所构成的四个角中，有4对邻补角。
　　3．对顶角、邻补角的性质
　　邻补角的性质：邻补角互补； 对顶角的性质：对顶角相等。
　　4．归纳小结
角的名称
特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
对顶角
①两条直线相交形成的角
②有一个公共顶点；
③没有公共边
对顶角相等
①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现的
①有无公共边
②两直线相交时，对顶角有2对；邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边
邻补角互补
补充：对顶角的性质：完成推理过程
如图，∵∠1+∠2 = ，∠2+∠3 = 。（邻补角定义）
∴∠1=180°－ ，∠3 =180°－ （等式性质）
∴∠1=∠3 (等量代换)
或者∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），
　　∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．
由上面推理可知，对顶角的性质：对顶角 。
例1：判断
1．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． ( )
2．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( )
3．有一条公共边的两个角是邻补角． ( )
4．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角． ( )
5．对顶角的角平分线在同一直线上． ( )
6．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角． ( )
变式训练：下列说法正确的有( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例2:如图3所示,AB与CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___.

(3) (4) (5)
变式2.如图3所示,若∠1=25°,则∠2=_______,∠3=______,∠4=_______.

3.如图4所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______.
4.如图5所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1-∠2=70,则∠BOD=_____,∠2=____.
5、已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2+∠3= 。
例3：如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.

2、如图所示, 直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠AOC=120°,求∠BOD,∠AOE的度数.
变式训练:
（1）直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD, ∠BOD－∠BOC=50°，求∠EOC的度数。
（2）直线AB,CD相交于点O,若∠AOD=40°，∠AOE:∠EOD=2:3,求∠EOD的度数。

例4、观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）．

　　（1）图1中共有_______对对顶角；（2）图2中共有_______对对顶角；（3）图3中共有_______对对顶角；
　　（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成____对对顶角；
　　（5）若有180条直线相交于一点，则可形成________对对顶角．
知识点二：垂直及相关概念
　　1．垂线的概念
　　当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
要点诠释：
　　(1)两直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼。
　　(2)如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。
　　(3)两条直线互相垂直，则四个交角为直角，反之，若两条直线交角为直角，则这两条直线互相垂直
垂线的画法
　　过一点画已知直线的垂线，让直角三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。
要点诠释：
　　（1）过直线上一点或直线外一点能画已知直线的垂线，并且只能画出一条垂线。
　　（2）如过一点画射线或线段的垂线时，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射线反向延长线上或
　 　　　在线段的延长线上，如图4。

　　3．垂线的性质
　　性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
　　性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。
　　垂线段的定义：如图5，P为直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，线段PO叫做垂线段，A、B为直线l上的两点，线段PA与PB叫做斜线段。　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：
　　(1)画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条。
　　(2)直线外一点到这条直线的垂线段只有一条，而斜线段有无数条。
知识点三：点到直线的距离
　　从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图5，线段PO的长度，叫做点P到直线l的距离。
要点诠释：
　　垂线是直线，垂线段特指一条线段，点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，是有单位的。
例1、下列语句：
　　 ①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直。
　　 ②一条直线的垂线有无数条。
　 　③在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
　　 ④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直。
　 　其中正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
例2、如图12，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE与∠AOC的度数。

　例3、如图，O为直线AB上一点，∠BOC = 3∠AOC，OC平分∠AOD；⑴ 求∠AOC的度数； ⑵ 推测OD与AB的位置关系，并说明理由。

2． 变式训练：如图1，三条直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD
　　⑴ 若∠COE = 35°，∠AOE =_______，∠BOE =______⑵ 若∠DOF = 35°，∠BOF =______，∠EOC =_______；
　　2．如图2，若OE⊥AB，∠2比∠1大70°则∠AOC =______________，∠BOC =______________；
　　3．如图3，OA⊥OB，OD⊥OC，若∠AOC=32°则∠BOD=______________；

4、　知识点四：同位角、内错角、同旁内角
　　如图6，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”。

　　①∠1与∠5，这两个角分别在AB、CD的上方，并且在EF的右侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角
　　②∠3与∠5，两个角都在AB、CD之间，且∠3在EF的左，∠5在EF的右，像这样的一对角叫做内错角。　
③∠3和∠6在直线AB、CD之间，并且在EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角。
要点诠释：
　　(1)同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的。
　　(2)这三类角必须是由两条直线被第三条直线所截形成的。
　　(3)同位角特征：截线同旁；被截两线的同方向。内错角特征：截线两旁；被截两线之间。
　 　　同旁内角特征：截线同旁；被截两线之间。
　　　例、如图9，找出图中的同位角、内错角、同旁内角。

三、 　课后作业
　1．将一个角的两边分别反向延长，形成一个新的角，这个角与原来的角是______________，将一个角的一边反向延长，这条反向延长线与另一边构成一个角，所得的角与原来的角______________；

2．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD =________；
　若∠AOD = 2∠AOC，则∠BOC =______；若∠AOD =∠AOC，则∠BOD =_______；

3．如图，直线AB、CD、EF相交于O，若∠1 = 20°，∠2 = 40°，则∠3 =____，∠4 =_____，∠5 =___.

4．若直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠BOD的和为220°，则∠BOD的度数为______________；　
5．如图直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠3∶∠2 = 8∶1， 求∠AOC的度数

6 如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，若∠AOB=40°，求∠COE的度数

7．如图，画AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F。

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