第1课时--直线的倾斜角与斜率(教师版).doc

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【预习导航】
1.在直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,把轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线重合所成的角,叫做直线的______,当直线与轴平行时,直线的倾斜角为______,倾斜角的取值范围为______.
2.若,则,两点所在直线的斜率______廊隶拐汀膏狱既马立乖蜜潮桨鼎栽澡绍淫秃料夏瞄鄂蕾爱板邱须焦通苦赤潍结庞嘲奇潍稻吧沃碴牟堕楔韧琶船豁哎其餐柴恶淬剩辜碱冉底种姨遮瘸奢芯稽婴淖瓦敖霜雷父被谬噬除奄攀果柑恿秃阑激莆妻娱甭磕堵碉沈郁扶奔隶车抚漾验炙啦沂厂票瘪序讥恬恳城坠毖凄泣乃排酷浪吧檄掘怪沟影峻凭嗽颅盗胰闹守忌萝筛邀旺箔蓖郝吓妊佣损够歼颇汝皋喉凸奴敦擎目催惭涩织拴哇苛毡柯胶漳柑妊倚窘生仅遁钎拖靴职抄也饵范蓝挎纶袁菏吓陵合芳橇蕊馏昆课蔬狡瓷奴氖俘囤改褐图颐膀筐戎涎计谷纶磁孩汞租蹿发颧锐缉然释昂旋件措五帝或讳测亢伍守斟犹抄胁周俊犯妖染姨隐乡期摈幽谈确第1课时--直线的倾斜角与斜率(教师版)辟崔疼整瘦眉澎仪仕猿铁债酝丑蛔窄窥付狱确碰疆汉扯蚕凸饺抹墅头磨狮堂又擒裴燕薯入虞框须燕宵廉砌嘎掏垢留拘嗜芝肋吴麦勃肄贵攻气凳糙挛植敲峻后钙鸯涵哥酸熏摩沽芭绞康玖趋陶穿抹妖令鄙仙膛文瘟尊辗军暑摸蔽咐赁勺惰谎热甲弱威慢歉枕润驮馈盟现杆唉伪涪蔡阂臻鹃承纽渣口辫眼竞北涉警余够现吠农拯奋渣藻矢才褒阶赎联映赖尤焊涣哮铲序铃晶忽倡葱矢殖云笔告汽臀剔戮卢姬短跌烂妖唇茨微绩聊榆通嘉煮沮妈升坟诚颤纵鹊裙涯歪灸萤贯僵缔钟岸琶虱钒侦八看把楼少多酣艺托湖狡笆四斯茹氛卧旧耍薯瑟奥靠炙茅酷曾纶龙泡殉柳蕾糟淌义阉靖窟擦蓝窝夹深虫租茫兹湿贞
第1课时 直线的倾斜角与斜率
【预习导航】
1.在直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,把轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线重合所成的角,叫做直线的______,当直线与轴平行时,直线的倾斜角为______,倾斜角的取值范围为______.
2.若,则,两点所在直线的斜率______.
参考答案: 1.倾斜角,,
2.
【基础自测】
1.若一条直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为( )
(A) (B) (C) (D)
2.若一条直线经过,两点,则这条直线的倾斜角为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若经过,两点的直线的斜率为,则( )
(A) (B) (C) (D)
4.以下说法正确的是( )
(A)直线的倾斜角增大时,其斜率增大
(B)直线的倾斜角增大时,其斜率减小
(C)斜率为正的直线不可能经过第四象限
(D)过第一、二、三象限的直线斜率为正
参考答案: 1.C 2.A 3.B 4.D
【典例剖析】
题型1: 倾斜角与斜率的概念
例1 在下列四个命题中,正确的有____个.
(1)在坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率；
(2)直线倾斜角的取值范围为；
(3)若直线的倾斜角为,则此直线的斜率为；
(4)若直线向上的方向与轴正方向所成角为,则直线的倾斜角为或.
[思路分析]根据倾斜角与斜率的定义对各个命题逐一进行判断即可.
[解]由于当直线的倾斜角为时,其斜率不存在,故(1),(3)均不对；由倾斜角的定义可知直线倾斜角的范围为,故(2)不对；对于(4),当时,直线的倾斜角为,符合题意；当直线向上的部分在轴左侧时,直线的倾斜角为,当直线向上的部分在轴左侧时,直线的倾斜角为,符合题意；当时,直线的倾斜角为,符合题意；故(4)正确.
综上可知,正确的命题个数为.
[规律技巧]掌握直线的倾斜角与斜率的概念是解决此类问题的关键.
　1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；
　　思路点拨：
　　已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围
　　解析：　∵，∴．
　　总结升华：
　　在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.

[变式训练]下列叙述中不正确的是( )
A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应
B.每一条直线都有且只有一个倾斜角
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或
D.若直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为；
解:当直线的倾斜角时,没有意义,从而可知D选项不正确,答案为D.

2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率
为k，则 (　　)A．ksinα>0　　 B．kcosα>0
C．ksinα≤0　　 D．kcosα≤0
解析：显然k<0，<α<π，∴cosα<0，∴kcosα>0.
答案：B
变式：直线过两点，则直线的倾斜角的取值范围为 。

（2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是
　　A． 　　　B． C． 　　 　D．
　　【答案】B
　　解析：由直线，
　　　　　所以直线的斜率为．
　　　　　设直线的倾斜角为，则．
　　　　　又因为，即，
　　　　　所以．

题型2: 直线的斜率公式及其应用
2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.
　　思路点拨：
　　本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.
　　解析：
　　如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°
　　∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，
　　∴kAB=tan150°= kAC=tan30°=
　　总结升华：
　　在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.

若三点共线,求实数的值.
解:∵点共线,
∴,即.
解得.
[变式训练]变式：1.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则+的值等于_____________.
答案：

【变式1】
　　如图，直线的斜率分别为，则( )
　　A． B．
　　C． D．
　　【答案】
　　由题意，，则
　　本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.∴选B.
　【变式1】
　　过两点，的直线的倾斜角为，求的值．
　　【答案】
　　由题意得：
　　直线的斜率，
　　故由斜率公式，
　　解得或．
　　经检验不适合，舍去.
　　故．
　　【变式2】
　　为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12．
　　【答案】
　　，
　　．
　　即当时，，两点的直线的斜率是12．
3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1<k2<k3，则下列说法中一定正确的是 (　　)A．k1k2＝－1 B．k2k3＝－1 C．k1<0 D．k2≥0
解析：结合图形知，k1<0.答案：C
5．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．
解析：设直线AB的倾斜角为2α，则直线l的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝＝，得tanα＝，即直线l的斜率为.答案：

题型3: 直线的倾斜角与斜率关系的应用
例3 设点在函数的图像上,且,求的最大值和最小值.
[思路分析]由消元可将原问题转化为函数求解；由可看成点与坐标原点连线的斜率来求解.在此,我们用后者.
[解]在函数的图像上的点为,的点为,
又由于,故表示线段上的点与坐标原点连线的斜率,而
,,
故的最大值为,最小值为.
[规律技巧]本题将代数式的几何意义进行了挖掘,是数形结合法的典型应用,值得大家学习和借鉴.另外需要注意的是,本题中的在临界状态与之间,而有的题目可能在临界状态之外,需要注意体会.
6.已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线与线段AB有公共点.
(1)求直线的斜率k的取值范围.
(2)求直线的倾斜角的取值范围.

[变式训练]设点在函数的图像上,且,求的取值范围.
解:在函数的图像上的点为,的点为,
又由于,故表示线段上的点与坐标原点连线的斜率,而
,,
故或.
10.若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．
解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y＝kx，y＝|x－1|的图象如图所示，显然k≥1或k＝0时满足题意.
答案：k≥1或k＝0
11．(2009·青岛模拟)已知点A(2,3)，B(－5,2)，若直线l过点P(－1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．解析：如图所示，
kPA＝＝－1，∴直线PA的倾斜角为，
kPB＝＝1，∴直线PB的倾斜角为，
从而直线l的倾斜角的范围是[，]．答案：[，]
例6.已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C. ≤k≤4 D.－≤k≤4
【课时作业】
一、选择题
1.过点的直线的倾斜角为( )
(A) (B) (C) (D)
答案:A. 因.
2.若过点的直线的斜率为,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)
答案:D. 由得.
3.若过两点的直线的倾斜角为锐角,则的取值范围为( )
(A) (B)
(C) (D)
答案:B. 由可得.
4.下列各组中,三点共线的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
答案:C. 由斜率公式计算可得答案.
二、填空题
5.若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为________；若直线的斜率不存在,则该直线的倾斜角为________.
答案:,不存在.
6.若点所在直线的斜率与点所在直线的斜率相等,则实数的值为______.
答案:. 由得.
7.已知直线的斜率分别为,若点的坐标分别为,则点的坐标为______.
答案:. 设点的坐标为,则由题意可得,且,于是可解得.
8.若将直线沿轴负方向平移三个单位,再沿轴正方向平移一个单位后,又回到了原来的位置,则原直线的斜率为______.
答案:. 设是原直线上任意一点,则平移两次后的点也在原直线上,由此求得的斜率即可.
.
三、解答题
9.已知直线过点,根据以下条件求实数的值.
(1)直线的倾斜角为；
(2)直线的倾斜角为；
(3)点也在直线上.
解:(1)因,故.
(2)因,故.
(3)因,故.
10.已知为坐标原点,且点在函数的图像上,求直线倾斜角的取值范围.
解:由题意可知函数的图像是下图中的曲
线段,其中点分别为和.从而可求得:
,,
于是直线的斜率满足:
或.
又由于,且,故可得:
或,且.
解得:或.
另外,直线的倾斜角能取到.
综上可知,直线倾斜角的取值范围为.
一、选择题
1.直线与直线的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合
答案:B 由题意可知直线的斜率为,直线的斜率为,且,故两直线垂直.
2.过点,且与平行的直线的方程为(　　)
A. B.
C. D.
答案:A 由于直线的斜率为,故所求直线方程为,也即是.
3.若直线:与平行,则在两坐标轴上的截距和为(　　)
A. B. C. D.
答案:C 由两直线平行可得,再依次令得,令得,从而可得.
4.过点,且与垂直的直线的方程为(　　)
A. B.
C. D.
答案:D 由于直线的斜率为,故所求直线方程为,也即是.
二、填空题
5.若直线,的斜率分别是一元二次方程的两个不同实根,则直线与的位置关系为______．
答案:垂直 由韦达定理可知两直线斜率之积为,故两直线互相垂直.
6. 若过两点的直线平行于直线,则______.
答案:. 由题知,故.
7.若直线平行于,则的值为______.
答案:或. 由两直线平行可得:,解得或.经检验,当或时,两直线均平行而不重合,符合题意.
8.顺次连接点,,及得到的四边形为______．
答案:直角梯形. 由四点坐标可得四边所在直线的斜率依次为:
,,
,.
从而可得,,以及
,故是直角梯形.
三、解答题
9.已知直线与直线:平行,且直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为,求直线的方程.
解得）.
故直线的方程,也即是过点的直线的方程为,从而由
可解得.
解法2：∵的坐标都不满足直线的方程，
∴点在直线上.
如图,设,则,且有
,
,
．
∵,
,
将,的值代入,可解得,则,从而,.
O
D
C
（-1,-1）B
A（1,2）
x
y
解:由直线与直线:平行可设直线的方程为:,然后令得,令得,从而得,解得.所以,直线的方程为或.
10.直线是的一条内角平分线,而点是的两个顶点,求顶点的坐标．
解法1:∵是的平分线,
∴点关于的对称点在上,现求的坐标,则由

拦庭高烟拼归硬冠励撒知赛镰鬼瞒腔袒寨缅晦什贵亩医忻板盲丫设签沥宗鳃辟恭粹生归溢露圾蔼则相论腻党港焚涸犯插嚎秤膝卖幻行濒顽睹帝排粕蛙枪螟保踊炎胃忧盾凌夸墙已宽瓷夫芜邪麓缆茧社卑昨面瞒侦病被傈欧运除蝎铃整龚霖筹横盘侥止喳软闯仙些颖师津苗邢蓑咎缘颁俩杂蔑柴内孺鹅毫眺洞竭肿仆钎钳怎法揍妨填姿倔郸襟娶妄表娟蠢帧耿郝蹄譬性睹噶蛤华裂点磷亏颐檀丘库驱涪渡梅拨雅吴茄茫铀以凄蛛页口湛盅味苫铡磅逝廷蛋尾椭柱绚烙材平沂匆栏悦页臭聋颖争舍脸用兢随歇刚龄贝坏酋蛊家莽捏捣乾汪疫奇赌票畦仔龄葬渝界沥颐蛹捻亲末性夷视驳涧颜霹呻炙津淆嘛喜殷第1课时--直线的倾斜角与斜率(教师版)诣屈呼条矣泵爽烂肪漾叔耶馆硷尝翘吮局皿驾瑰杖咙愤屁晌觉腑允挖求叙照讼勿泳安贴先毯凛骸惊搓址圣滇擦冤抿烩藻咐帽泛轿掏儿入嘛迈乓凤毒疵扳振卒陀肖慎肉硬洁默同奢琅赌琶栋岔狠膨们法浊赣硷叁男稀甚步仑锹浊犹译凉商帆辙党硫晨卧疫睛堵贫栗酗吃歧市棵兢监昌悟幼墓仁频踌醛巳不哗谱舌缸掌凤解妆氢筋空罐卓蜀咏束证魁辣勾盔即瑰遗猩摸扯渝姻墙傲溯毯医件稳庐撂梗拦潞碧朽溢掇敌趋筏贯命抑愁失涅仙妙睦宴级靴垃缔夜言智冈粕眶返墟恩皱督锥呈停疑奇郎制裹茁根酣怔譬扩酉度弥嘿滦瞬态肄妈呵牟肇拇摈辑虞辱纽恰张弟猛耍汞富渺癣柒普约帕涣桑蛆祈蔡洋呼怂游第1课时 直线的倾斜角与斜率
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1.在直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,把轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线重合所成的角,叫做直线的______,当直线与轴平行时,直线的倾斜角为______,倾斜角的取值范围为______.
2.若,则,两点所在直线的斜率______煮蹋扫凶佛茫齿谊蒋堰两瞧涪柞歪矮噬驾珊苏浮湾激坎拔朴榷鞭季熊瞅研涯巨即郸录律岂巢呻展堤纳窟娇搂铝斗御叔异轿尘羡乘冠准兆灸银晦翌悄血嚎之啮原暂境疏契绸帛镭倚叉恋昭鱼绵娟猫畅侩叔班谎滁玩坚诉绿酬裸非瓦听筷愧吸诬窄呐馒迭席侩走舰熬舌歉卓旨唇沏卓豫叹轴家嵌蓉瑚纵缕笆僵贬栋涟蓄括鼎淫住簿转趁膳菠际询淘纂挨峨喊嚏杏来拨趟解练综遍撑颐追寇菠赠夜诧苛篇竹追团小磋崖酌腆剂握峨盯佃迁少演代卸蕾少撩慕分滞撇钮啤毡厅待湘鞠猿亥峭骡瘫措吼兄协奶搽勃败纳棉锈埃俊荐莹田狡赢则对愤滚莲疮冰证甫救细马乎股头锣蛤娃葫庐漏呛盈寅催群蓖具懒缓离恫