工学计算方法.pptx
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1、计算方法的内容计算方法的内容 1.第一章第一章 引论:引论:132.第二章第二章 线性方程组的直接法线性方程组的直接法14,5-63.第三章第三章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法14,5-74.第四章第四章 数值积分与微分数值积分与微分1,2,5,35.第五章第五章 常微分方程数值解法:常微分方程数值解法:1,26.第六章第六章 逐次逼近法:逐次逼近法:132第一章第一章 计算方法引论计算方法引论 现代科学的三个重要组成部分现代科学的三个重要组成部分:科学理论科学理论,科学实验科学实验,科学计算科学计算。仅靠数学理论的演绎和推导不能解决实际中的数值问仅靠数学理论的演绎和推导不能解决实际中
2、的数值问题,只有计算机科学相结合,才能研制出实用的好算题,只有计算机科学相结合,才能研制出实用的好算法。法。好的算法变成数值软件以后才可能为社会创造更大的好的算法变成数值软件以后才可能为社会创造更大的财富。财富。1.计算机数值方法概述计算机数值方法概述 计算方法是计算方法是数学与计算机科学数学与计算机科学的的交叉学科交叉学科。1 1)数学的发展极大地促进了计算机科学的发展:数学的发展极大地促进了计算机科学的发展:Leibniz发现二进制编码;发现二进制编码;Von Neumann提出现代计算机建构理论;提出现代计算机建构理论;Bohm和和Jacopini为结构化程序设计奠定了基础。为结构化程序
3、设计奠定了基础。2)计算机科学为数学提供先进手段,并对数学计算机科学为数学提供先进手段,并对数学 发展产生了重大影响。发展产生了重大影响。为利用数学解决实际问题提供了工具;为利用数学解决实际问题提供了工具;解决了一些数学难题,并提出了新的研究课题;解决了一些数学难题,并提出了新的研究课题;促进了促进了“并行算法并行算法”的研究和新一代计算机的发展。的研究和新一代计算机的发展。2 计算方法的发展,产生了大量适合计算机求解的计算方法的发展,产生了大量适合计算机求解的现代数值方法,成为科学计算的主要方法。现代数值方法,成为科学计算的主要方法。现代计算方法的一个现代计算方法的一个显著特点显著特点:已产
4、生大量实用的已产生大量实用的“综合数学软件库综合数学软件库”,并逐步,并逐步 形成了数值软件产业。形成了数值软件产业。例如:例如:Mathematica是综合数学软件包,集符合演算、数值是综合数学软件包,集符合演算、数值 计算和图形演示等;计算和图形演示等;STYR是一个集数学、统计、应用软件等大型综合是一个集数学、统计、应用软件等大型综合 数值软件库;数值软件库;Matlab是集数值计算、图形演示等一体的综合数值是集数值计算、图形演示等一体的综合数值 软件库。软件库。计算方法的研究问题:将常见的数学模型计算方法的研究问题:将常见的数学模型转变转变成数值成数值 问题,提出相应的问题,提出相应的
5、数值方法数值方法,并设计,并设计数值算法数值算法,并利,并利 用用程序程序计算数值结果。计算数值结果。3 严格来讲,需要掌握一定的程序设计方法严格来讲,需要掌握一定的程序设计方法4以计算机求解数学模型包含三个过程:以计算机求解数学模型包含三个过程:总体设计总体设计:模型的细化;:模型的细化;详细设计详细设计:算法的设计;:算法的设计;程序设计程序设计:利用某种计算机语言实现编写程序。:利用某种计算机语言实现编写程序。学习本课程的学习本课程的基础知识基础知识:微积分、线性代数、微分方程等基本知识。微积分、线性代数、微分方程等基本知识。了解某种计算机高级语言。了解某种计算机高级语言。2 数值问题与
6、数值算法数值问题与数值算法 利用利用数学和计算机知识数学和计算机知识解决实际问题解决实际问题可分为两步可分为两步:建立数学模型建立数学模型:需要:需要利用有关专业知识和数学理论利用有关专业知识和数学理论,这属于应用数学范围;这属于应用数学范围;提出提出数值问题与数值方法数值问题与数值方法:将数学模型将数学模型变成变成数值问题数值问题,进而,进而研究研究该数值该数值 问题的问题的数值方法数值方法,并设计有效的数值算法的过程,并设计有效的数值算法的过程,这属于计算方法的范围。这属于计算方法的范围。数值方法数值方法:将求解:将求解“数值问题数值问题”在在“计算机上可执行计算机上可执行”的一系列计算公
7、式。数值问题的总体称为计算方法。的一系列计算公式。数值问题的总体称为计算方法。数值问题数值问题:指:指“输入数据与输出数据之间函数关系的输入数据与输出数据之间函数关系的 一个一个确定而无歧义确定而无歧义的描述的描述”。5“计算机上可执行计算机上可执行”的系列计算公式:这一系列公式中的的系列计算公式:这一系列公式中的 运算只能是运算只能是四则运算四则运算和和逻辑运算逻辑运算(与、或、非等)。(与、或、非等)。什么什么“数学模型数学模型”是是“数值问题数值问题”?1)1)求方程求方程 的根。的根。输入输入a,b,c,则输出数据是根,则输出数据是根x1和和x2,故是,故是“数值问题数值问题”2)求常
8、微分方程的解求常微分方程的解 因输入数据为因输入数据为2和和3,x=0和和y=0等,输出是函数等,输出是函数,故不是,故不是“数值问题数值问题”。如何如何将数学模型变成将数学模型变成“数值问题数值问题”将不是将不是“数值问题数值问题”转化为转化为“数值问题数值问题”的方法:的方法:“离散化离散化”。3例如,例如,将求解将求解 的问题变成求的问题变成求,如可如可 x1,x2,x100 取为取为 0.1,0.2,0.3,10=a 2-1 2-1 数值方法数值方法 计算公式不一定都是数值方法。如求计算公式不一定都是数值方法。如求 。7类似地,类似地,求根公式求根公式不能在计算机不能在计算机上直接运行
9、上直接运行 研究数值方法的任务有三条:研究数值方法的任务有三条:1 1)将计算机不能直接计算的运算化成计算机上)将计算机不能直接计算的运算化成计算机上可执行可执行的的 运算;利用运算;利用等价等价或或近似等价近似等价的方法转化;的方法转化;2)研究在计算机上研究在计算机上可执行可执行且且有效的有效的一系列计算公式;一系列计算公式;3 3)误差分析:研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。)误差分析:研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。计算机上能直接进行的运算:计算机上能直接进行的运算:四则运算四则运算 和和 逻辑运算逻辑运算 计算机上不能直接执行的运算包括:计算机上不能直接执行的运算包括:开方
10、、超越函数、极限、微分、积分等开方、超越函数、极限、微分、积分等 几个转化例子几个转化例子 8 本课程本课程重点重点是介绍常见的行之有效的新的数值方法。是介绍常见的行之有效的新的数值方法。2-2 数值算法数值算法 数值算法数值算法:有步骤地完成求解数值问题的过程。:有步骤地完成求解数值问题的过程。数值算法的解题过程必须具备以下四个特性:数值算法的解题过程必须具备以下四个特性:1)目的性目的性:算法目的明确,条件和结论均应明确;:算法目的明确,条件和结论均应明确;2)确定性确定性:算法必须精确地给出每一步的操作;:算法必须精确地给出每一步的操作;3)可执行性可执行性:算法中的每个操作都是可执行的
11、;:算法中的每个操作都是可执行的;4)有穷性有穷性:算法必须在有限步内结束解题过程。:算法必须在有限步内结束解题过程。计算机上的算法分类计算机上的算法分类 按求解问题的不同可分为两类:按求解问题的不同可分为两类:数值算法数值算法和和非数值算法非数值算法(符号推理、公式推导)。(符号推理、公式推导)。9 按面向计算机的不同,可分为:按面向计算机的不同,可分为:面向串行计算机的面向串行计算机的串行算法串行算法,只有一个进程;,只有一个进程;面向并行计算机的面向并行计算机的并行算法并行算法,含两个以上的进程,含两个以上的进程 根据算法内部的特点可分为:根据算法内部的特点可分为:确定性算法确定性算法,
12、每完成一步确切知道下一步该做什么,每完成一步确切知道下一步该做什么 非确定性算法非确定性算法(智能算法)。(智能算法)。注:注:计算机数值方法计算机数值方法只研究只研究计算机上计算机上串行确定型串行确定型数值算法。数值算法。例例1 1 给出等差数列给出等差数列1,2,3,10000的求和算法的求和算法 1)取取N=0,S=0;2)N+1N,S+NS;3)若若N0不成立,不成立,转,转76.,7.输出输出x1和和x214二图示法:二图示法:又又分分为为“流流程程图图”法法和和“结结构构化化框框图图”法。法。流程图示法流程图示法 15 结构化框图法:结构化框图法:N-S图示法图示法 1顶层设计:顶
13、层设计:2第第1层设计:细化层设计:细化(II)3第第2层设计:层设计:a)细化细化(I)16b)细化细化(II)4.第第3层设计:细化层设计:细化 173 3 误差误差 3-1 误差的基本概念误差的基本概念 数值计算中的数值计算中的误差来源误差来源有两种:有两种:1)1)舍入误差舍入误差:由于计算机的字长有限,原始数据:由于计算机的字长有限,原始数据 在计算机中的表示、运算产生的误差;在计算机中的表示、运算产生的误差;2)截断误差截断误差:由数学问题化成数值问题产生的误差:由数学问题化成数值问题产生的误差例如:例如:若计算机仅能表示若计算机仅能表示6位十进制数,则将表示为位十进制数,则将表示
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