实变函数试题库(4)及参考答案.pdf

实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（4）本科本科一、填空题 1.设为两个集合,则.,A B_cABABI2.设,如果满足(其中表示的导集),则是 nEREEEEEE3.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满(i)(,)G(,)）（ba,G(ii),aG bG4.设为无限集.则的基数(其中表示自然数集的基数)AA_AaaN5.设为可测集,则.12,E E2mE 1212()_m EEmEmE6.设为可测集上的可测函数列,且,则由_定理可知得,()nfxE()(),nfxf x xE存在的子列,使得.()nfx()knfx.()()()ka enfxf xxE7.设为可测集()上的可测函数,则在上的积分值 存在且()f xEnR()f xEL在上 可积.（填“一定”“不一定”）|()|f xEL8.若是上的绝对连续函数,则是上的有 ()f x,a b()f x,a b二、选择题1设，则（）,0 01Exx 是中闭集 是中完备集A1mE B0mE CE2RDE2R2设，是上的可测函数，则（）f x g xE、不一定是可测集 、是可测集A E x f xg xB E x f xg x、是不可测集 、不一定是可测C E x f xg xD E x f xg x集3下列集合关系成立的是（）A、B、()A BBABUU()A BBAUC、D、()B AAAUB AA4.若是开集，则 （）nERA、的导集 B、的开核 C、D、的导集EEEEEEEE三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1设是上有界函数，且可积，则（）f x,a bL 在上黎曼可积 在上可测 A f x,a bB f x,a b 在上几乎处处连续 在上不一定连续C f x,a bD f x,a b2.设,则()0,1E 中的无理点A、是可数集 B、是闭集 C、中的每个点均是聚点 D、EEE0mE 3.若()至少有一个内点，则（）ERA、可以等于 B、C、可能是可数集 D、不可能是可数集*m E*0m E EE4设是可测集，则的特征函数是（）,Ea bE()ExA、上的符号函数 C、上的连续函数,a bEB、上的可测函数 D、上的连续函数,a b,a b四、判断题1.零测集上的函数是可测函数.（）2.可列个闭集的并集仍为闭集 （）3.任何无限集均含有一个可列子集 （）4.设为可测集，则一定存在集，使，且.（）EGGEG0m G E 五、定义题1.为什么说有界变差函数几乎处处可微？2.简述无穷多个开集的交集是否必为开集？3.可测集上的可测函数与简单函数有什么关系？E4.上的有界变差函数与单调函数有什么关系？,a b六、计算题7.设，为康托集，求.3sin0,1 xxPf xxxPP 0,1f x dx8.求.0,lnlimcosxnnxnexdxn七、证明题1设是上几乎处处有限的可测函数，且，(),(),(),()nnfx gxf x g xE()()nfxf x，则()()ngxg x()()()()nnfxgxf xg x2设是上可积函数，则在上也是可积的(),()f x g xEL22()()fxgxEL3设是可测集上的非负可测函数，如果，则于()f xE()0Ef x dx()0.f xaeE4证明等式：()()()ABCA BA CUI实变函数试题库及参考答案（实变函数试题库及参考答案（4）本科本科一、填空题1.等于 2.闭集.3.4.5.6.黎斯 7.不一定 不一定 8.界变差函数.(a,b)G2、单选题1.B 2.B 3.A 4.B3、多选题1.BD 2.CD 3.BD 4.ABC四、判断题五、定义题1.答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几乎处处可微.2.答：不一定，如1111,11,1nnn I3.答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式.4.答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差.六、解答题1.解：因为，所以于0mP ,.f xx ae0,1于是而在上连续，所以 0,10,1f x dxxdxx0,1 因此.2121000,11|22xxdxRx dx 0,112f x dx 2.解：令 0,lncosxnnxnfxxexn显然在上可测，且 nfx0,0,0,lncosxnnxnexdxfx dxn因为 lnlncos,0,1,2,xnxnxnfxexxnnn L不难验证，当足够大时，是单调递减非负函数，且 lnnxngxnn，所以 lim0nngx 0,0,0,lnlimlimlimnnnnnxndxgx dxgxn0,00dx由勒贝格控制收敛定理 0,lim0nnfx dx故.0,lnlimcos0 xnnxnexdxn七、证明题1.证明 对任何正数，由于0|()()()()|()()|()()|nnnnfxgxf xg xfxf xgxg x 所以|()()()()|nnE xfxgxf xg x|()()|()()|22nnE xfxf xE x gxg xU 于是|()()()()|nnmE xfxgxf xg x|()()|()()|22nnmE xfxf xmE x gxg x0()n 故()()()()nnfxgxf xg x2.证明 因是上可积，所以在上可积，从而(),()f x g xEL|()|,|()|f xg xEL 可积，|()|()|f xg xL又222()()(|()|()|)|()|()|fxgxf xg xf xg x故在上可积22()()fxgxEL3.证明 反证，令，则由的可测性知，是可测集.下证，|()0AE x f x()f xA0mA 若不然，则0mA 由于，所以存在，使11|()0|()nAE x f xE x f xnU1N 1|()0mE x f xdN 于是11|()|()111()()|()0EE x f xE x f xNNdf x dxf x dxdxmE x f xNNNN因此，矛盾，故于()0Ef x dx()0.f xaeE4.证明 ()()()()()()()cccccABCABCABCABACA BA CUIUIIIIII