拉格朗日定理和函数的单调性.pptx
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1、第六章第六章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用首页首页1 1 拉格朗日定理和函数的单调性拉格朗日定理和函数的单调性 2 2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限3 3 泰勒公式泰勒公式4 4 函数的极值与最大(小)值函数的极值与最大(小)值 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理罗尔罗尔定理定理,并用此讨论函数的单调性并用此讨论函数的单调性.首页首页 在这一章里在这一章里,我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质函数所应具有的性质.微分中值定理(包括罗尔定理、拉格微分中值定理(包括罗
2、尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)正是进行这一讨论的有效朗日定理、柯西定理、泰勒定理)正是进行这一讨论的有效工具工具.在每一点都可导的一段连续在每一点都可导的一段连续曲线上曲线上,如果曲线的两端点高度相等如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一水平切则至少存在一水平切线(图线(图6-16-1).首页首页一一 、罗尔定理与拉格朗日定理、罗尔定理与拉格朗日定理定理定理6.1 6.1 (罗尔(罗尔(RolleRolle)中值定理)中值定理)若函数若函数 满足如下条件:满足如下条件:()在闭区间在闭区间a,ba,b上连续;上连续;()在开区间(在开区间(a,ba,b)内可导;)内可导;(),则在
3、内则在内(a,b)(a,b)至少存在一点至少存在一点 ,使得使得 (1 1).罗尔定理的几何意义是说:罗尔定理的几何意义是说:不满足三个条件中的任何一个不满足三个条件中的任何一个,首页首页注注1 1 Rolle Rolle定理的三个条件只是充分条件,不是必要条件,定理的三个条件只是充分条件,不是必要条件,这三个条件不完全满足时,结论也有可能成立这三个条件不完全满足时,结论也有可能成立.例如例如,函数函数但但不满足条件不满足条件,无水平切线,无水平切线(图图6-2-(b)6-2-(b);(c)(c)y=x y=|x|y=f(x).首页首页注注2 2 Rolle Rolle定理的三个条件都是很重要
4、的,缺了其中一个,定理的三个条件都是很重要的,缺了其中一个,结论就可能不成立结论就可能不成立.例如例如 函数函数 不满足条件不满足条件,无水平切线,无水平切线(图图6-2-(a)6-2-(a)函数函数 函数函数 不满足条件不满足条件,无水平切线,无水平切线(图图6-2-(c).6-2-(c).图图6-2(a)6-2(a)(b)(b)但它满足定理的三个条件,有水平切线但它满足定理的三个条件,有水平切线(图图6-2-(d)6-2-(d)y y y=f y=f(x x)0 x 0 x 首页首页注注3 3 可能有同学会问,为什么不将条件可能有同学会问,为什么不将条件(i)(ii)(i)(ii)合并为合
5、并为f f(x)(x)在在a,ba,b上可导?上可导?可以可以.但条件加强了,就排斥了许多仅满足三但条件加强了,就排斥了许多仅满足三个条件的函数个条件的函数.例如函数例如函数 ,则则显然显然x x=0=0时,函数不可导(切线时,函数不可导(切线y y轴),即不符合加强条件;轴),即不符合加强条件;例如例如在在-1,1-1,1上满足上满足RolleRolle定理的三个条件定理的三个条件.在在(-1,1)(-1,1)内存在无限多个内存在无限多个 使得使得首页首页注注4 4 罗尔定理结论中的值不一定唯一罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个可能有一个,几个甚至几个甚至无限多个无限多个.倘若倘若 有
6、两个实根有两个实根 和和 (不妨设(不妨设 ),则函数),则函数 在在 上满足罗尔定理三上满足罗尔定理三个条件,从而存在个条件,从而存在 ,使,使 ,这与,这与 的假设相矛盾,命题得证的假设相矛盾,命题得证.这可反证如下:这可反证如下:如果去掉第三个条件,如果去掉第三个条件,RolleRolle定理的结论会发生什么变化?定理的结论会发生什么变化?LagrangeLagrange给出了回答给出了回答.首页首页 设设 为为R R上可导函数,证明:若方程上可导函数,证明:若方程 没有实根,则没有实根,则方程方程 至多只有一个实根。至多只有一个实根。作为罗尔定理的简单应用,请看下面的例子。作为罗尔定理
7、的简单应用,请看下面的例子。例例1 1 证证 (问问)Rolle Rolle定理的条件定理的条件(i)(ii)(i)(ii)很重要且具有一般性,但条件很重要且具有一般性,但条件(iii)(iii)比较苛刻,函数一般不满足它,从而限制了定理的应用比较苛刻,函数一般不满足它,从而限制了定理的应用.定理定理6.26.2 表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。情形。首页首页(拉格朗日(拉格朗日(LagrangeLagrange)中值定理)中值定理)若函数满足如下条件:若函数满足如下条件:()在闭区间在闭区间 上连续;上连续;()在开区间在开区间 内可导;内可导;
8、则在则在 内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得 (2)(2)显然,特别当显然,特别当 时,本定理的结论(时,本定理的结论(2 2)即为罗尔)即为罗尔定理的结论(定理的结论(1 1)。)。定理是说,若平面上一条以定理是说,若平面上一条以 、为端点的连续曲线在、为端点的连续曲线在 内处处有不平行内处处有不平行于于y y轴的切线,轴的切线,使得曲线使得曲线 在该点的切线平行于弦在该点的切线平行于弦AB AB,即平行于,即平行于两个端点两个端点 与与 的连线(图的连线(图6-3-(a)6-3-(a))y y y=f y=f(x x)首页首页(析析)为了找出证明思路,我们也先从几何上看为了找出证明思
9、路,我们也先从几何上看LagrangeLagrange定理定理的意义:的意义:(2)(2)式右端是弦式右端是弦ABAB的斜率的斜率.则在开区间则在开区间 内部必至少有一内部必至少有一点,点,只需将只需将“曲线高度曲线高度-弦的高度弦的高度”即可满足,即可满足,因此关键是求弦的方程因此关键是求弦的方程.则曲线段则曲线段F(x)必有水平弦必有水平弦.首页首页 如果在如果在LagrangeLagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件,中值定理中增加函数在两端点值相等的条件,则结论正是则结论正是RolleRolle中值定理的结论中值定理的结论.可见,可见,RolleRolle中值定理是中值定
10、理是LagrangeLagrange中值定理的特例,这又是一个先处理特殊后处理一般中值定理的特例,这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子情形的例子.因而定理因而定理6.26.2证明的思路就是将证明的思路就是将LagrangeLagrange中值中值定理转化到定理转化到RolleRolle中值定理上去以获得证明,中值定理上去以获得证明,使用使用RolleRolle定理的关定理的关键是其条件键是其条件(3)(3)弦弦ABABx x轴轴.即现在的问题是:如何实现这即现在的问题是:如何实现这个转化?即如何将个转化?即如何将LagrangeLagrange中值定理中的斜弦转化为中值定理中的斜弦转化为R
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