第五章-弹性力学解题方法问题-PPT.ppt

第五章第五章 弹性力学解题方法问题弹性力学解题方法问题目目 录录 5.1 5.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程 5.2 5.2 问题的提法问题的提法5.3 5.3 弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法 5.4 5.4 圣维南局部影响原理圣维南局部影响原理 5.5 5.5 叠加原理叠加原理总结弹性力学基本理论；讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系基本方程和边界条件。5.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程1.1.平衡方程平衡方程:弹性体要满足的基本方程弹性体要满足的基本方程张量表示：张量表示：2.2.几何方程：弹性体要满足的基本方程几何方程：弹性体要满足的基本方程张量表示：张量表示：3.本构方程：弹性体要满足的基本方程弹性体要满足的基本方程广义胡克定律的应力表示张量表示：张量表示：广义胡克定律的应变表示张量表示：张量表示：4.4.变形协调方程变形协调方程位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点基本方程：基本方程：平衡微分方程平衡微分方程几何方程几何方程本构方程本构方程变形协调方程（应变作为基本未知量）变形协调方程（应变作为基本未知量）若物体表面的位移若物体表面的位移 已知，则已知，则位移边界条件位移边界条件为为 物体表面的面力分量为物体表面的面力分量为Tx、Ty和和 Tz 已知已知,则则面力边界面力边界 条件条件为：为：5.5.边界条件边界条件若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合混合 边界条件边界条件5.2弹性力学弹性力学问题的提法问题的提法弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十五弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，对十五个未知量求解十五个基本方程。个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。本未知量，可以做必要的简化。为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。知量。在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，在数学上称为偏微分方程的边值问题。在数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及第一类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表第二类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为面的面力分量为Tx、Ty和和Tz，边界条件为面力边，边界条件为面力边界条件。界条件。第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。的部分为位移边界条件。称为混合边界条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。是唯一的。基本解法基本解法（1 1）位移解法：）位移解法：以位移函数作为基本未知量以位移函数作为基本未知量（2 2）应力解法）应力解法以应力函数作为基本未知量以应力函数作为基本未知量 （3 3）混合解法混合解法 以部分位移和部分应力分量作为基本未知量以部分位移和部分应力分量作为基本未知量 5.3 弹性力学问题基本解法弹性力学问题基本解法位移解法的主要步骤：位移解法的主要步骤：利用位移函数利用位移函数 u1,u2,u3 表示其他未知量；表示其他未知量；推导由位移函数推导由位移函数 ui 描述的基本方程；描述的基本方程；关键点：以位移表示的平衡微分方程。关键点：以位移表示的平衡微分方程。位移解法的基本方程位移解法的基本方程 1.平衡微分方程平衡微分方程 2.几何方程几何方程 3.本构方程本构方程 4.位移边界条件，力边界条件位移边界条件，力边界条件由由 上式称为应力位移表达式。上式称为应力位移表达式。将将(1)代入代入(2)此式称为位移表示的平衡方程（此式称为位移表示的平衡方程（LemeLeme方程）方程）将应力位移表达式代入平衡方程将应力位移表达式代入平衡方程转换指标转换指标注意到注意到：则则即即得得注意注意有有给定位移边界条件就可由给定位移边界条件就可由LemeLeme方程解出方程解出u ui i=（u,v,wu,v,w）或或u ui i=（u u1 1,u u2 2,u u3 3 ）。）。u ui i=u ui i（x，y,z）其位移边界条件为：其位移边界条件为：对于用面力表示的边界条件对于用面力表示的边界条件 T Ti i=ijij nj j此式称为力位移边界条件。此式称为力位移边界条件。注意：注意：则则将将应力位移表达式代入面力边界条件应力位移表达式代入面力边界条件:有有为二为二阶线性偏微分方程组，其解为齐次解阶线性偏微分方程组，其解为齐次解+特解。特解。对于对于LemeLeme方程方程齐次方程齐次方程对对 求导求导因因则则或或即即因因所以有所以有即体积应力即体积应力 满足调和方程。满足调和方程。结论结论即体积应变即体积应变 满足调和方程。满足调和方程。对对LemeLeme方程方程 进行进行（调和算子调和算子）运算：运算：有有所以所以即即这说明应力与应变满足双调和方程。这说明应力与应变满足双调和方程。有有即即由由有有及及即即由由结论：结论：对于对于LemeLeme方程方程其齐次方程其齐次方程有有位移分量求解后，可通过几何方程求出应变位移分量求解后，可通过几何方程求出应变 和通过本构方程求出应力和通过本构方程求出应力 。总之，位移解法以位移为总之，位移解法以位移为3 3个基本未知函数个基本未知函数（u1 1,u2 2,u3 3），归结为在给定的边界条件下），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的求解位移表示的3 3个平衡微分方程，即三个个平衡微分方程，即三个拉梅方程拉梅方程。对于位移边界条件，位移解法是十分合适的对于位移边界条件，位移解法是十分合适的。至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本至此，我们讨论了弹性力学位移解法的基本方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边方程。除无限大域外，位移解法也适用于全部边界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条界条件为位移边界的情况。然而，对于力边界条件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的件问题，位移解法就显得不够简便。一种变通的方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满方法就是选择应力为求解的场变量。应力需要满足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这足六个平衡方程和三个独立的协调方程，通过这六个方程可以求解出六个应力分量。六个方程可以求解出六个应力分量。例例 设有半空间体，单位体积的设有半空间体，单位体积的质量为质量为 ，在水平边界面上受均，在水平边界面上受均布压力布压力 的作用，试用位移法求的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在各位移分量和应力分量，并假设在 处处 方向的位移方向的位移受均布压力作用的半空间体半空间体解：可以假设解：可以假设因此体积应变因此体积应变按位移解题例题按位移解题例题对于对于LemeLeme方程方程或或积分上式积分上式有有将将代入拉梅方程：代入拉梅方程：在边界上在边界上，得得结合结合 的表达式可得的表达式可得代入由位移表示的边界条件代入由位移表示的边界条件由条件由条件 得得将常数将常数 和和 代入代入 的表达式，得的表达式，得求应变求应变由广义胡克定律有即即位移法位移法 其位移边界条件为：其位移边界条件为：给定位移边界条件就可由给定位移边界条件就可由LemeLeme方程解出方程解出 。复习复习:位移法位移法位移分量求解后，可通过几何方程求出应变位移分量求解后，可通过几何方程求出应变 和通过本构方程求出应力和通过本构方程求出应力 。位移解法以位移为位移解法以位移为3 3个基本未知函数（个基本未知函数（u1 1,u2 2,u3 3），），归结为在给定的边界条件下求解位移表示的归结为在给定的边界条件下求解位移表示的3 3个平个平衡微分方程，即三个衡微分方程，即三个拉梅方程拉梅方程。位移解法适用于位移边界条件位移解法适用于位移边界条件。对于位移法体力为常量时：对于位移法体力为常量时：由位移法得到：体积应力由位移法得到：体积应力 和体积应变和体积应变 均满足均满足调和（调和（Laplace)方程；方程；即即体积应力函数和体积应变函数为调和函数。体积应力函数和体积应变函数为调和函数。位移分量位移分量,应力分量和应变分量均满足双调和方程；应力分量和应变分量均满足双调和方程；位移分量位移分量,应力分量和应变分量为双调和函数。应力分量和应变分量为双调和函数。解：由几何方程求应变分量解：由几何方程求应变分量已知已知,求应力求应力位移法例题位移法例题2 2lx xy yp pp ph hh h1 1y yz z由2 2lx xy yp pp p力边界条件力边界条件y=+h:v=0_位移边界条件位移边界条件应力应满足边界条件应力应满足边界条件2 2lx xy yp pp py=+h y=-h 应力解法基本步骤：应力解法基本步骤：以应力分量以应力分量 ij 作为基本未知量；作为基本未知量；用六个应力分量表示协调方程；用六个应力分量表示协调方程；关键点：以应力表示的协调方程关键点：以应力表示的协调方程应力解法的方程应力解法的方程 1.平衡微分方程平衡微分方程 2.变形协调方程变形协调方程 3.本构方程本构方程 4.面力边界条件面力边界条件由应力表示的本构方程代入协调方程由应力表示的本构方程代入协调方程（1）整理上面的方程，把其中）整理上面的方程，把其中 l 的指标取为的指标取为 k，（2）把）把 k=1,2,3的叠加起来，运用的叠加起来，运用即即合并有合并有上式对指标上式对指标 i 和和 j 对称所以只含有六个独立方程，利用平对称所以只含有六个独立方程，利用平衡方程衡方程 有有同理同理改写改写成成 上两式代入协调方程中有上两式代入协调方程中有把上式中把上式中 i=j 的的3 3个方程叠加起来个方程叠加起来，注意到注意到 ii=,ii=和和 ii=3 可得可得对上式作双调和运算有对上式作双调和运算有由由有有及及上式称为上式称为Michell方程方程(用应力表示的协调方程用应力表示的协调方程)将上式回代到协调方程将上式回代到协调方程中有中有还可以写成还可以写成Michell方程方程对于上式当对于上式当 时有时有同理对于上式当同理对于上式当 时分别有时分别有对于上式当对于上式当 时有时有即即展开展开Michell方程方程体力为常数时，右端项为零，故有体力为常数时，右端项为零，故有上方程称为上方程称为Beltremi方程。方程。当满足面力边界条件时即得到问题的解答。当满足面力边界条件时即得到问题的解答。解上面的方程，或下面的解上面的方程，或下面的Michell方程方程应力法体力为零时应力法体力为零时应力解法的基本未知量为应力解法的基本未知量为6个应力分量，可以避个应力分量，可以避开几何方程；开几何方程；基本方程为基本方程为 3个平衡微分方程和个平衡微分方程和 6个变形协调方个变形协调方程和程和3个边界条件，对于几何形状或载荷较复杂个边界条件，对于几何形状或载荷较复杂问题的求解困难。问题的求解困难。应力解法适用于面力边界条件与单连体。应力解法适用于面力边界条件与单连体。总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，总之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的面力边界条件下，求解平衡微归结为在给定的面力边界条件下，求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏分方程和应力表示的变形协调方程所组成的偏微分方程组。微分方程组。混合解法混合解法 根据问题性质和边界条件，选择不同的根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为基本未知量求解称为混合解法混合解法。弹性理论解的惟一性定理弹性理论解的惟一性定理 弹性体受已知外力的作用。在物体的边弹性体受已知外力的作用。在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知；则弹一部分面力已知，另一部分位移已知；则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是惟一性体平衡时，体内各点的应力和应变是惟一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。的，对于后两种情况，位移也是唯一的。局部影响原理局部影响原理：物体在任意一个小部分作物体在任意一个小部分作用有一个平衡力系，则该用有一个平衡力系，则该平衡力系在物体内部所产平衡力系在物体内部所产生的应力分布，仅局限于生的应力分布，仅局限于力系作用的附近区域。在力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处，这距离该区域相当远处，这种影响便急剧减小。种影响便急剧减小。5.4 圣维南原理圣维南原理圣维南原理图示圣维南原理图示解的叠加原理解的叠加原理：小变形线弹性条件下，作用于物体的若小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。等于每组载荷单独作用效应的总和。5.5 叠加原理叠加原理 逆解法逆解法 根根据据问问题题的的性性质质，确确定定基基本本未未知知量量和和相相应应的的基基本本方方程程，并并且且假假设设一一组组满满足足全全部部基基本本方方程程的的应应力力函函数数(或或位位移移函函数数)。然然后后在在确确定定的的坐坐标标系系下下，考考察察具具有有确确定定的的几几何何尺尺寸寸和和形形状状的的物物体体，其其表表面面将将受受什什么么样样的的面面力力作作用用或或者者将将存存在在什什么么样样的的位移。位移。半逆解法半逆解法 对对于于给给定定的的弹弹性性力力学学问问题题，根根据据弹弹性性体体的的几几何何形形状状，受受力力特特征征和和变变形形特特点点，或或已已知知简简单单结结论论，如如材材料料力力学学解解，假假设设部部分分应应力力分分量量或或者者部部分分位位移移分分量量的的函函数数形形式式为为已已知知，由由基基本本方方程程确确定定其其他他的的未未知知量量，然然后后根根据据边边界界条条件件确确定定未未知知函函数数中中的的待待定定系系数。数。弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。法的理论依据。逆解法和半逆解法其求解过程带有逆解法和半逆解法其求解过程带有“试算试算”的性质；的性质；偏微分方程边值问题求解困难，难以确定弹偏微分方程边值问题求解困难，难以确定弹性力学问题的解析解；性力学问题的解析解；解：用半逆解法。解：用半逆解法。设设 除外所有应力分量为零，即除外所有应力分量为零，即M求应力分量求应力分量逆解法例题逆解法例题o oxzhho ozyhb b代入应力协调方程中代入应力协调方程中有有则有则有展开展开积分上式的第一式积分上式的第一式将上式代入将上式代入 中得中得在将在将 代入代入 中得中得 所以有所以有式中式中 由边界条件确定。由边界条件确定。代入上式代入上式有有边界条件边界条件2 2：有有边界条件边界条件3 3：有有边界条件边界条件1 1：ho ozyhb b