4.1-向量的内积.ppt

第第4 4章章 矩阵的特征值矩阵的特征值 工工程程技技术术中中的的一一些些问问题题 如如振振动动问问题题和和稳稳定定性性问问题题 以以及及一一些些离离散散的的动动态态系系统统问问题题（可可以以参参阅阅4.5）可可归归结结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题为求一个方阵的特征值和特征向量的问题 数数学学中中诸诸如如方方阵阵的的对对角角化化及及解解微微分分方方程程组组的的问问题题 也都要用到特征值的理论也都要用到特征值的理论 与与矩阵之间的矩阵之间的等价关系等价关系类似，我们要讨论矩阵之间类似，我们要讨论矩阵之间的的相似关系相似关系以及把一个以及把一个方阵化为对角阵方阵化为对角阵的问题的问题4.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性4.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量4.3 相似矩阵相似矩阵4.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 第第4章章 习题课习题课第第4 4章章 矩阵的特征值矩阵的特征值4 1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性 本节主要先介绍一些预备知识：本节主要先介绍一些预备知识：其中涉及向量的内积、长度及正交等知识其中涉及向量的内积、长度及正交等知识 一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角三、正交性问题三、正交性问题上页上页 下页下页 返回返回v3维向量的数量积、长度、夹角维向量的数量积、长度、夹角 3维向量维向量x y的数量积的数量积 x y|x|y|cos.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,设设3维向量维向量x(x1 x2 x3)T y(y1 y2 y3)T 则则 x y x1 y1 x2 y2 x3 y3.复习回顾复习回顾xy）F）s上页上页 下页下页 返回返回v向量的内积向量的内积 设有设有n维向量维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令令x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称为向量称为向量x与与y的的内积内积 说明说明 (1)内积是两个向量之间的一种内积是两个向量之间的一种运算运算 其结果是一个其结果是一个实数实数 用矩阵记号表示用矩阵记号表示 当当x与与y都是列向量时都是列向量时 有有x y xT y (2)n维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积的一种推广维向量数量积的一种推广一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质上页上页 下页下页 返回返回v内积的性质内积的性质(简单了解简单了解)设设x y z为为n维向量维向量 为实数为实数 则则 (1)x y y x （对称性）（对称性）(2)x y x y （齐次性）（齐次性）(3)x y z x z y z （可加性）（可加性）(4)当当x 0时时 x x 0 当当x 0时时 x x 0 （非非负负性）性）(5)x y2 x xy y （施瓦茨不等式施瓦茨不等式）v向量的内积向量的内积 设有设有n维向量维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令令x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称称为为向向量量x与与y的的内内积积，其其矩矩阵阵记记号号表表示示 x y xT y.一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质上页上页 下页下页 返回返回v向量的长度向量的长度 令令|x|称为称为n维向量维向量x的长度的长度(或范数或范数)v向量的长度的性质向量的长度的性质(简单了解简单了解)v 设设x y为为n维向量维向量 为实数为实数 则则 (1)非负性非负性 当当x 0时时|x|0 当当x 0时时|x|0 (2)齐次性齐次性|x|x|(3)三角不等式三角不等式|x y|x|y|二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角v注注:(1)|x|=1,称称x为为单位向量单位向量 (2)非零向量非零向量单位化单位化(规范化规范化):上页上页 下页下页 返回返回v向量间的夹角向量间的夹角二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角称为称为n维向量维向量x与与y的夹角的夹角 对于对于n维向量维向量x，y，当，当x 0 y 0时时 对于对于3维向量维向量x，y，上页上页 下页下页 返回返回v向量间的夹角向量间的夹角 当当x y 0时时 称向量称向量x与与y 垂直垂直或或正交正交 二、向量的长度与夹角二、向量的长度与夹角三、正交性问题三、正交性问题1、正交的概念、正交的概念xy）称为称为n维向量维向量x与与y的夹角的夹角 对于对于n维向量维向量x，y，当，当x 0 y 0时时 上页上页 下页下页 返回返回v定理定理1 正交向量组一定线性无关正交向量组一定线性无关 即即 若若a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量是一组两两正交的非零向量 则则a1 a2 ar线性无关线性无关 当当x y 0时时 称向量称向量x与与y正交正交 三、正交性问题三、正交性问题1、正交的概念、正交的概念2 2、正交向量组的概念、正交向量组的概念若向量组中的向量若向量组中的向量非零且两两正交非零且两两正交，则称该向量组为则称该向量组为正交向量组正交向量组上页上页 下页下页 返回返回 例例1.1 已知已知3维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T正交正交 试求一个非零向量试求一个非零向量a3使使a1 a2 a3两两正交两两正交 解解 设设a3(x1 x2 x3)T 则则a3应满足应满足a1Ta3 0 a2Ta3 0 即即a3应满足齐次线性方程组应满足齐次线性方程组 取取a3(1 0 1)T即合所求即合所求 得基础解系得基础解系(1 0 1)T 上页上页 下页下页 返回返回3、规范正交基、规范正交基 设设n维向量维向量e1 e2 er是向量空间是向量空间V(V Rn)的一个的一个基基 如果如果e1 e2 er两两正交两两正交 且都是且都是单位向量单位向量 则称则称e1 e2 er是是V的一个的一个规范正交基规范正交基 例如例如 向量组向量组 是是R4的一个规范正交基的一个规范正交基 上页上页 下页下页 返回返回3、规范正交基、规范正交基 设设n维向量维向量e1 e2 er是向量空间是向量空间V(V Rn)的一个的一个基基 如果如果e1 e2 er两两正交两两正交 且都是且都是单位向量单位向量 则称则称e1 e2 er是是V的一个的一个规范正交基规范正交基 规范正交向量组规范正交向量组 设设n维维向向量量e1 e2 er是是向向量量空空间间V(V Rn)的的线线性性无无关关的向量组的向量组 如果如果e1 e2 er两两正交两两正交 且都是且都是单位向量单位向量 则称则称e1 e2 er是是V的一个的一个规范正交向量组规范正交向量组 上页上页 下页下页 返回返回v规范正交基的求法规范正交基的求法施密特正交化方法施密特正交化方法 设设a1 a2 ar是向量空间是向量空间V中的一个基中的一个基 容易验证容易验证b1 b2 br两两正交两两正交 且且b1 b2 br与与a1 a2 ar等价等价 单位化：单位化：把把b1 b2 br单位化单位化 即得即得V的一个规范正交基的一个规范正交基 正交化：正交化：上页上页 下页下页 返回返回 例例1.2 设设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化 解解 令令b1 a1 再令再令 e1 e2 e3即为所求即为所求 3上页上页 下页下页 返回返回 我我们们讨讨论论了了向向量量的的正正交交性性，那那么么对对于于矩矩阵阵是是否否也也存存在在着着类似的正交性质类似的正交性质呢？呢？设设n阶阶矩矩阵阵A=(a1 a2 ,an)的的列列向向量量是是两两两两正正交交的的单单位位向向量组，量组，即即上页上页 下页下页 返回返回4、正交阵、正交阵 如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足ATA E(即即A 1 AT)那么称那么称A为为正交矩阵正交矩阵 简称简称正交阵正交阵 v正交矩阵的性质正交矩阵的性质 (1)方阵方阵A为正交阵为正交阵A的列向量都是两两正交的单位向量的列向量都是两两正交的单位向量 方阵方阵A为正交阵为正交阵A的行向量都是两两正交的单位向量的行向量都是两两正交的单位向量 正交矩阵举例正交矩阵举例 n阶阶正正交交阵阵A的的n个个列列(行行)向向量量构构成成向向量量空空间间Rn的的一一个个规规范正交基范正交基 上页上页 下页下页 返回返回4、正交阵、正交阵 如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足满足ATA E(即即A 1 AT)那么称那么称A为为正交矩阵正交矩阵 简称简称正交阵正交阵 v正交矩阵的性质正交矩阵的性质 (1)方阵方阵A为正交阵为正交阵A的列向量都是两两正交的单位向量的列向量都是两两正交的单位向量 方阵方阵A为正交阵为正交阵A的行向量都是两两正交的单位向量的行向量都是两两正交的单位向量 (2)若若A为正交阵为正交阵 则则A 1 AT也是正交阵也是正交阵 且且|A|1 (3)若若A和和B都是正交阵都是正交阵 则则AB也正交阵也正交阵 n阶阶正正交交阵阵A的的n个个列列(行行)向向量量构构成成向向量量空空间间Rn的的一一个个规规范正交基范正交基 上页上页 下页下页 返回返回v线性变换线性变换 在第二章在第二章,我们学习过线性变换的概念，我们学习过线性变换的概念，变量变量x1 x2 ,xn与变量与变量y1 y2 ,ym的线性关系式的线性关系式称为变量称为变量x1 x2 ,xn到变量到变量y1 y2 ,ym的的线性变换线性变换.若若A 为为可逆可逆矩阵矩阵 则线性变换则线性变换 y Ax 称为称为可逆线性变换可逆线性变换 若若A 为为正交正交矩阵矩阵 则线性变换则线性变换 y Ax 称为称为正交变换正交变换 上页上页 下页下页 返回返回v正交变换正交变换 若若A为为正交正交矩阵矩阵 则线性变换则线性变换 y A x 称为称为正交变换正交变换 正交变换性质正交变换性质设设经过经过正交变换后正交变换后 x Ax,z Az,则有则有(1)正交变换正交变换保保持向量持向量内积内积不变不变;(2)正交变换正交变换保保持向量的持向量的长度长度不变不变(保距性保距性);(3)正交变换正交变换保保持向量的持向量的夹角夹角不变不变上页上页 下页下页 返回返回v正交变换正交变换 若若A为为正交正交矩阵矩阵 则线性变换则线性变换 y A x 称为称为正交变换正交变换 这说明这说明 经正交变换线段的长度、夹角保持不变，从而经正交变换线段的长度、夹角保持不变，从而图形的几何形状保持不变图形的几何形状保持不变 这是正交变换的优良特性这是正交变换的优良特性 正交变换性质正交变换性质(1)正交变换正交变换保保持向量持向量内积内积不变不变;(2)正交变换正交变换保保持向量的持向量的长度长度不变不变(保距性保距性);(3)正交变换正交变换保保持向量的持向量的夹角夹角不变不变上页上页 下页下页 返回返回小结小结 本节主要先介绍一些预备知识：本节主要先介绍一些预备知识：其中涉及向量的内积、长度及正交等知识其中涉及向量的内积、长度及正交等知识 v向量的内积向量的内积 设有设有n维向量维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令令x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称称为为向向量量x与与y的的内内积积，其其矩矩阵阵记记号号表表示示 x y xT y.v向量的长度向量的长度 令令|x|称为称为n维向量维向量x的长度的长度(或范数或范数)上页上页 下页下页 返回返回v规范正交基的求法规范正交基的求法施密特正交化方法施密特正交化方法 设设a1 a2 ar 是向量空间是向量空间V中的一个基中的一个基 单位化：单位化：正交化：正交化：则则 e1 e2 er为为V的一个规范正交基的一个规范正交基.小结小结 上页上页 下页下页 返回返回方阵为正交阵方阵为正交阵的充分必要条件的充分必要条件 方阵方阵A为正交阵为正交阵ATA E AAT E A 1 AT A的列向量都是两两正交的单位向量的列向量都是两两正交的单位向量 A的行向量都是两两正交的单位向量的行向量都是两两正交的单位向量 小结小结 P139：4(1)，8作业作业