牛吃草问题例题及练习.doc

牛吃草问题
牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。
基本思路：假设每头牛一定时间内吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝（牛头数×吃的天数）－（草的生长速度×同一个吃的天数）；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
例1  牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？
解：27头牛6周的吃草量 27×6＝162 23头牛9周的吃草量 23×9＝207
★每天新生的草量 (207－162)÷(9－6)＝15
★原有的草量207－15×9＝72 ★吃12天牛的头数： 72÷12+15=21(头)
例2  一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果派10人淘水，6小时淘完；如果派6人淘水，18小时淘完。如果派22人淘水，多少小时可以淘完？
解：10人6小时淘水量10×6＝60 6人18小时淘水量6×18＝108
★漏进的新水(108－60)÷(18－6)＝4
★原有漏进的水60－4×6＝36 ★22人需要时间：36÷(22-4)=2时
例3  某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
假设一个检票口一分钟能检票的人数看成“1份”。
30分钟的总量：4×30=120 20分钟的总量：5×20=100
★每分钟新增的量：（120-100）÷（30-20）=2
★原有的量：120-2×30=60或      100-2×20=60
★7个检票口需要时间：60÷（7-2）=12（分）
例4  两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走，男孩每秒可走3级台阶，女孩每秒可走2级台阶，结果从滚梯一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒，该滚梯共有多少级？
解：男生走了：3×100=300（级）女生走了：2×300=600（级）
★每秒新增的量：（600-300）÷（300-100）=1.5（级）    （自动滚梯的速度）
 原有的量（自动滚梯原有的级数）： 300-1.5×100=150（级） 或 600-1.5×300=150（级）
例5  自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了0.5分钟到达楼上，女孩用了0.6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？
每分钟减少的量：（80×0.5-60×0.6）÷（0.6-0.5）=40（级/分）  （自动扶梯的速度）
★原有的量：80×0.5+40×0.5=60（级）
例6  由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？
解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少．但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
★每天减少的量：（20×5-15×6）÷（6-5）=10
★原有的量：20×5+5×10=150
★吃10牛的头数：150÷10-10=5（头）
解决方法二 利用公式解方程
草地原有草量=(牛数-每天长草量)x天数作为等量关系式。
y=(N-X)* T其中，Y代表原有草量，N代表牛的头数，X代表草生长速度，T代表天数。
【例1】一片牧场，假设每天的长草量相同。9头牛吃3天，5头牛吃6天，多少头牛2天吃完?( )A.12 B.13 C.14 D.15
解析：题目给了2个条件，将两个条件分别代入公式中，得到两个方程：
y=(9-X)*3=(5-X)*6
两个方程可以解得x=1，y=24。
将x=1，y=24带入并将题目要求的问题再列个方程24=(N-1)*2，可以解得N=13。选B
【例2】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么这片草地可供10头牛和60只羊一起吃多少天?( )
A.6 B.8 C.12 D.15
解析：虽然题目涉及到了牛和羊，但是给出了1头牛相当于4只羊的换算关系，因此可以将羊换算为牛。即16头牛可以吃20天，20头牛可以吃12天。10头牛和60只羊可换算成25头牛。题目可变成求25头牛可以吃多少天。
将两个条件分别带入公式y=(N-X)* T，可以得到两个方程：
y=(16-X)*20 =(20-X)*12
两个方程可以解得x=10，y=120。将x=10，y=120带入后题目求的问题可列方程得到：120=(25-10)*T。解得T=8。选B

2014年10月19号课后作业
1.一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问：可供多少头牛吃5天？

2.有一片牧场,草每天生长的速度相同。草地上的草可供10头牛吃10周，或可供24只羊吃20周。已知每周1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃多少周？

3. 船有个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏水时，船已进一些水。若12个人来舀水，3小时可舀光，5个人来舀水，10小时才舀光。现在要2小时舀光，需安排多少人？

4. 一水库原有水量一定，河水每天均匀入库。用5台同样的抽水机连续20天可将水抽干；用6台同样的抽水机连续15天可将水抽干。若想6天将水库里的水全部抽干，需要多少台抽水机？

5. 客运站早上5点开始售票，但早就有人排队等候买票了，每分钟来的旅客一样多，从开始售票到等候买票的队伍消失，若同时开5个售票口需30分钟，同时开6个售票口需20分钟。如果让队伍10分钟消失，要同时开几个售票口？

6. 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。男孩20秒走了27级，女孩走了24级，按此速度男孩子2分钟到达另一端，而女孩需3分钟才能到达。问该自动扶梯共有多少级?

7. 由于天气逐渐变冷，牧场上草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，则11头牛可以吃多少天？

例7  有三块草地，面积分别为5，15和24公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天．问：第三块草地可供多少头牛吃80天？
把一头牛吃一天的草量 看成 “1份”
第一块 （5公顷30天的总量）：10×30=300
第二块 （15公顷45天的总量）：28×45=1260
提示：先“归一”，都变成1公顷：
1公顷30天的总量：300÷5=60
1公顷45天的总量：1260÷15=84
★1公顷每天增长的量：
（84-60）÷（45-30）=1.6
★1公顷原有的量：60-1.6×30=12
应用“归一”的结果：
用到中第三块（24公顷80天）：
★24公顷每天增长的量：1.6×24=38.4
★24公顷原有的量：12×24=288
288÷80+38.4=42（头）
10. 有三片草地，面积分别为4公顷，8公顷和10公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一片草地上的草可供24头牛吃6周，第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草可供50头牛吃几天？
11. 有一片匀速生长的牧草，可供17头牛吃30天，或可供19头牛吃24天。原来有若干头牛在草地上吃草，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？

13.有一牧场，牧草每天匀速生长，可供9头牛吃12天，可供8头牛吃16天，现在开始只有4头牛吃，从第7天开始，又增加了若干头牛，再用6天吃光所有的草，问增加了几头牛？