高等数学A第1章81函数及其性质修改.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,12 十一月 2026,高等数学A第1章81函数及其性质修改,1.1 函数及其性质,1.1.5 函数的概念,1.1.1-1.1.4,集合,集合的运算,区间与邻域,函数定义,函数定义域和函数图形,表示函数关系式的方法及分段函数,1.1.9初等函数,1.1.8 函数的四则运算,复合函数,1.1.6 函数的特性,函数的单调性,函数的有界性,函数的奇偶性,函数的周期性,1.1.7 反函数与复合函数,反函数,基本初等函数,初等函数,函数及其性质习例,1-7,函数及其性质,1.1.1 集合,2.集合的表示法,3.数集分类:,1.1.2 集合的基本运算,1.集合的概念,对偶律：,1.1.3 区间与邻域,区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,记作,邻域,邻域引入的作用,:根据,(0)的变化,刻画,去心邻域,1.1.4 映射的概念,映射的定义：,设,X,Y,是两非空集,若存在对应规则,f,使,x,X,按照对应规则,f,都有唯一确定的,y,Y,与之对应,则称,f,是从,X,到,Y,的一个,映射,.记作,f,:,X,Y,或,f,:,x,y,x,X。,x,y,A,B,f,称,y,为,x,在,f,下的,像,记作,f,(,x,),即,y,=,f,(,x,).,集合,X,称为映射,f,的,定义域,，记作,D,(,f,),即,D,(,f,)=,X。,X中所有元,素的像所组成的集合称为映射,f,的,值域,，记作,R,(,f,)或,f,(,X,)，即,R,(,f,)=,f,(,X,)=,y,y=f,(,x,),x,X,.,而,称,x,为,y,在,f,下的一个,原像,。,注1.,映射是一种建立在两集合间的对应规则,它满足,X,中任一元素,x,都能且只能对应一个,y,但不同的,x,可以对应同一个,y,即可以出现“多对一”的情形,.,注2.,在定义中并不要求对每一个,y,Y,都有一个,x,与这个,y,对应.即，有些,y,可能并不是某个,x,的像.,单射：,设,f,:,X,Y,x,f,(,x,).,若,x,1,x,2,X,当,x,1,x,2,时,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,则称,f,是,单射,.,满射：,设,f,:,X,Y,x,f,(,x,).,若,y,Y,x,X,使得,f,(,x,),=,y,.,则称,f,是,满射.,一一映射：,若映射,f,:,X,Y,既是单射,又是满射.则称,f,是一个,双射也称,f,是一一映射,.,复合映射：,设,g,:,X,Y,1,f,:,Y,2,Z,其中,Y,1,Y,2,，则,x,X,经过,u Y,1,有唯一的,y,Z,与之对应，因此得到一个新的映射，记作,f。g,:,X,Z,即,(,f,。,g,)(,x,)=,f,(,g,(,x,),x,X,.称,f。g,为,f,与,g,的,复合映射,。,逆映射,：设,f,:,X,Y,的单射,若存在另一映射,g,:,R,(,f,),X,对每个,y,R,(,f,),，,经过,g,有唯一的,x,X,与之对应，且满足关系,f,(,x,),=y，,则称,g,是,f,的,逆映射,，记作,g,=,f,1,一一映射（双射）必有逆映射,1.函数的定义,1.1.5 函数的概念,设,D,是实数集，称映射 为定义在,D,上的函数,通常简记为,因变量,自变量,数集,D,叫做函数,f,的,定义域,记作 ,即,可见,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在,内，因此构成函数的要素是：,定义域与对应法则,故若两个函数的定义域相同,对应法则也相同,则这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,判断函数,f,与,g,是否是同一函数？,单值函数与多值函数,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数；否则叫做多值函数,只有一个自变量的函数，称为,一元函数.,表示函数的记号是可以任意选取的,除了常用的,外,还可以用其他的英文字母或希腊字母,比如“,、”等，,相应的函数可记为,f,(2)自然定义域.,理论研究中,对应法则是用数学公式表示的函数,这种函数的定义域是使数学公式有意义的自变量的所有值构成的实数集.即,当函数由公式（表达式）给出时，使公式有意义的自变量的取值范围就是函数的定义域.如：,分式的分母不为0；,(3)定义域的表示法：,不等式法，集合法，区间法，叙述法与图示法.,2.函数定义域的确定,(1)由实际问题决定.,例 求函数的定义域,解：,所以函数的定义域为(1,2.,3.函数的图形,4.分段函数,对于自变量的不同值（或在不同区间上），函数的表,达式不同，这种函数称为分段函数.,(1)绝对值函数,(2)符号函数,1,1,x,y,o,（piecewise function）,(3)取整函数,y=,x,x,表示不超过,x,的最大整数,1 2 3 4 5,-2,-4,-4-3-2-1,4 3 2 1,-1,-3,x,y,o,(4)Dirichlet(狄利克雷)函数,有理数点,无理数点,1,x,y,o,(5)取最值函数,y,x,o,y,x,o,(6)整标函数,以自然数为自变量的函数:,图形为一些离散的点构成.,1.1.6 函数的特性,1.函数的单调性,则称,f,(,x,)在,I,上严格单调上升或严格单调递增（严格单调下降或严格单调,递,减）.,则称,f,(,x,)在,I,上单调上升或单调,递,增(单调下降或单调,递,减).,单增和单减的函数统称为单调函数，,I,称为单调区间.,由有限个单调函数组成的函数，称为分段单调函数.如,2.函数的有界性,通常函数的有界性与区间有关，,上界与下界。,3.函数的奇偶性,偶函数图形关于,y,轴对称,y,x,o,x,-,x,奇函数图形关于原点对称,y,x,o,x,-,x,注意：,(1)若,f,(,x,)的定义域关于原点不对称,则,f,(,x,)一定不是奇函数或偶函数.,即,f,(,x,)可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.,(3)奇偶函数的性质,偶函数的和与差仍是偶函数，,奇函数的和与差仍是奇函数；,两个奇（或偶）函数的积（或商）是偶函数；,奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数；,有限个偶函数的积仍是偶函数；,偶数个,奇函数的积是偶函数.,4.函数的周期性,任一周期函数都有无穷多个周期.若在无穷多个周期,中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周,期，简称周期.,并非所有周期函数都有最小正周期,如Dirichlet函数,容易验证这是一个周期函数,任何正有理数,都是它的周期,因为不存在最小的正有理数,所以Dirichlet函数没有最小正周期.,1.1.7 反函数与复合函数,1.反函数,定义：,注意：,(1)反函数的定义域和值域恰好是原来函数的值域和定义域.,D,W,W,D,设函数 是单射，则它存在逆映射 ,称此映射 为函数 的反函数.,亦即,(2)直接函数与反函数的图形关于,y,=,x,对称.,反函数的求法：,(1)一般先从方程,y,=,f,(,x,)中解出,x,然后再将所得结果中的,x,与,y,互换位置即可;,(2)对分段函数,只要分段求出反函数便得.,(3)反函数的,对应法则是完全由原函数的对应法则所确定,.,2.复合函数,定义：,注意：,(2)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,即不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.,复合函数的求法：,(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；,(2)对于分段函数常用讨论的方法.,练习 1.由函数,可构成复合函数,函数复合后一般应重新验证它的定义域,注：,以上例题和结论是针对复合函数定义中条件,改为 时才有可能出现的情形。,而按照课件本身所给的复合函数定义则复合后的函数定,义域不会发生变化。,分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.,1.1.8 函数的四则运算,函数的四则运算,这四种运算称为函数的四则运算.,设函数 的定义域分别为 ，则可以定义这两个函数的下列运算:,和,差,积,商,1.1.9 初等函数,1.基本初等函数,(1)常数函数,(2)幂函数,(3)指数函数,(4)对数函数,(5)三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,(6)反三角函数,定义域：-1,1,值域：,单调增加，,有界函数,定义域：-1,1,值域：,单调减少，,有界函数,定义域:,值域：,单调增加，,有界函数,定义域:,值域：,单调减少，,有界函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,基本初等函数,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次,的函数复合步骤所构成并可用,一个式子表示,的函数,称为,初等函数,.,并非所有的函数都是初等函数,分段函数一般不是初等函数.,但也有例外!,3.双曲函数与反双曲函数,-都是初等函数.,例如,都是初等函数.,一般说来,分段函数不是初等函数.,但有个别分段函数例外，例如,因为它可以改写为初等函数,的形式.,幂指函数,是否为初等函数？,它是由,与,构成的复合函数,故该幂指函数是一个初等函数.,解,附：双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,(1)双曲函数,单调增加函数,单调性？,双曲函数与反双曲函数,奇函数,有界函数,单调增加函数,奇函数。,双曲函数常用公式,双曲函数与反双曲函数,(2)反双曲函数,奇函数,双曲函数与反双曲函数,解：,令,则,(舍去“-”),将字母 与 互换,得,即,例,求函数,的反函数,双曲函数与反双曲函数,奇函数,双曲函数与反双曲函数,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(一些,分段函数,有无穷多项等函数),三角函数,幂函数,反三角函数,对数函数,指数函数,基本初等函数的有限次四则运算式,简单函数,基本初等函数,复合函数,基本初等函数或简单函数的有限次,复合运算,式,函数及其性质举例,解：,解：,由此可求得,x,的取值范围，即为定义域.,解答,解：,易知该函数的定义域为：,解：,注：以上例2解答不够严谨,的定义域应是,从而,的定义域应是,解：,因为,所以,证明：,两式联立可求得，,证明：,由单调性及已知不等式有，,解：,故所求反函数为,解：,思考题1,解：,设 定义在对称区间(-,l,l,),令,故,可知,，命题得证。,练习册解答,