用样本的数字特征估计总体的数字特征——标准差.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020年5月29日星期五,#,11 十一月 2026,用样本的数字特征估计总体的数字特征标准差,一、复习,如何根据样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数？,（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标.,（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.,（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.,知识探究：标准差,样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.,思考1：,在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：,甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4,乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7,甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？,思考2：,甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？,环数,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,4 5 6 7 8 9 10,O,（甲）,环数,频率,0.4,0.3,0.2,0.1,4 5 6 7 8 9 10,O,（乙）,甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.,ks5u精品课件,思考3,：,对于样本数据x,1,，x,2,，x,n,，,表示这组数据的平均数。那么 到,的距离是什么？,那么样本数据 到 的“平均距离”是什么？,（i=1,2,3,，n),6,思考4：,反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据 的平均数为 ，则标准差的计算公式是：,思考4：,反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据 的平均数为 ，则标准差的计算公式是：,那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？,s0，标准差为0的样本数据都相等.,练习1,已知一个样本数据是1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？,答案：由 ，得x=4,思考5：,对于一个容量为2的样本,：,在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？,思考5：,对于一个容量为2的样本,：,在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？,标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.,例题分析,例1,画出下列四组样本数据的条形图，说明他们的异同点.,(1)，；,(2)，；,O,频率,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,1 2 3 4 5 6 7 8,（1）,O,频率,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,1 2 3 4 5 6 7 8,（2）,(3)，；,(4)，.,频率,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,1 2 3 4 5 6 7 8,O,（3）,频率,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2,1 2 3 4 5 6 7 8,O,（4）,从数学的角度考虑，人们也常用标准差的平方 ,方差,来代替标准差，作为测量样本数据的分散程度的工具：,方差,简化计算公式：,或是：,注意：,因为方差与原始的数据的单位不同，且平方后可能会夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的的，但是在解决问题时，一般采用标准差。,例2,甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm）：,甲：,25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39,乙：,25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 26.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48,从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高？,甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定程度较高，故甲生产的零件质量较高.,说明：,1.生产质量可以从总体的平均数与标准差两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与标准差估计总体的平均数与标准差.,2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是总体的平均数.,练习2,甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：,甲：99 100 98 100 100 103,乙：99 100 102 99 100 100,（1）分别计算两组数据的平均数及方差；,（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定。,思路点拨,：（1）将样本数据代入平均数和方差的计算公式可得解；（2）哪台机床的加工的零件的直径的方差小就说明质量稳定。,答案：（1）,（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又因为 所以乙机床加工零件的质量更稳。,练习3,从甲、乙两种玉米各抽10株，分别测得它们株高如下（单位：cm):,甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42,乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40,问：（1）哪种玉米的苗长的高？,（2）哪种玉米的苗长得齐？,解析：,看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得整齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数。,答案：,（1）,=300/10=30（cm）,=310/10=31（cm）,所以,(2),所以,练习4,教材79页练习题2,作业：P,79,3.,小结：,1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小。标准差，方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。标准差的大小不会超过极差。,2)标准差、方差的取值范围大于等于0，标准差、方差为0时，样本的各数据全相等表明数据没有波动幅度，数据没有离散性。,3）,因为方差与原始的数据的单位不同，且平方后可能会夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的的，但是在解决问题时，一般采用标准差。,