B6161代数系统.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,09 十一月 2026,B6161代数系统,Abstract algebra,In algebra,which is a broad division of mathematics,abstract algebra,(occasionally called,modern algebra,)is the study of algebraic structures.Algebraic structures include groups,rings,fields,modules,vector spaces,lattices,and algebra over a field.The term abstract algebra was coined in the early 20th century to distinguish this area of study from the other parts of algebra.,-Quoted from WIKIPEDIA,Abstract algebra,The permutations of,Rubiks Cube,have a group structure;the group is a fundamental concept within abstract algebra.-Quoted from WIKIPEDIA,”The notion of a group,viewed only 30 years ago as the epitome of sophistication,is today one of the mathematical concepts most widely used in physics,chemistry,biochemistry,and mathematics itself.”,-Alexey Sosinsky,Abstract algebra,第六章 群、环、域,第六章 群、环、域,6.1 代数系统,6.2 群的定义,6.3 子群及其陪集,6.4 群的同态与同构,6.5 环,6.6 域的特征 素域,6.7 多项式,6.8 有限域,6.1 代数系统,一、,代数运算,二、运算律,三、代数系统,Abstraction&Generalization,Abstraction:,the process of formulating a concept of a common property by disregarding the differences between a number of particular instances.,-Quoted from,The Harper Collins Dictionary of Mathematics,Abstraction&Generalization,Abstraction:,the process of formulating a concept of a common property by disregarding the differences between a number of particular instances.,-Quoted from,The Harper Collins Dictionary of Mathematics,Abstraction&Generalization,Generalization,is the process to derive broader results from one or more particular cases.We can extend our reasoning beyond the range in which these results originated.,2+1=3,+,+,一、代数运算,1+2=3、2.3+（,-,1.2）=1.1、,有理数的,+,、,集合的,、,、,命题的,、,、,a,b,b,c=a,b,c、,a,b,b,c=b、,a,b,b,c=a、,P,P=1、,P,P=0、,一、代数运算,对,a、bQ，有,a,+b,Q,、,a,b,Q。,有理数的,+,、,集合的,、,、,命题的,、,、,对,A、B,(S)，有,A,B,(S),、,A,B,(S)、A,B,(S)。,对,G、H0,P,P,1，有,G,H0,P,P,1,、,G,H0,P,P,1、,G0,P,P,1。,一、代数运算,定义6.1.1,设S是一个,非空,集合，将映射f,：SS,S称为S的一个二元代数运算。即对于S中,任意,两个元素a、b，通过f可唯一确定,S中,一个元素c：f(a,b)=c。,若将二元代数运算f记为*，则将f(a,b)=c记为a*b=c。,封闭性,一、代数运算,(*)例1,对于自然数集合N：,加法,、,乘法,是二元代数运算，,减法,和,除法,不是二元代数运算。因为：,自然数0不可以作除数。两个自然数相减或相除的结果未必是自然数。,一、代数运算,(*)例2,对于整数集合Z：,加法,、,乘法,、,减法,是二元代数运算，,除法,不是二元代数运算。,因为：,整数0不可以作除数。两个整数相除的结果未必是整数。,一、代数运算,(*)例3,对于有理数集Q、实数集R、复数集C：,加法,、,乘法,、,减法,是二元代数运算，,除法,不是这些集合上的二元代数运算。,一、代数运算,复数C,实数R,有理数Q,整数Z,自然数N,+,运算,数系,一、代数运算,(*)例4,对于非零实数集R,*,，,乘法,、,除法,是R,*,上的二元代数运算；,加法,和,减法,不是R,*,上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得0。,一、代数运算,(*)例5,A=x|x=2,n,n,N,乘法,是A上的二元代数运算；,加法,不是A上的二元代数运算。,一、代数运算,(*)例6,实数矩阵的,加法,和,乘法,是实矩阵集合上的二元代数运算。,(*)例7,设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，则集合的,交运算,、,并运算,是(S)上的二元代数运算。,(*)例8,逻辑联结词,、,、,、,都是集合0,1上的二元代数运算。,一、代数运算,（1）类似地，可定义S上的,n元代数运算,：S,n,到S的映射。,例如：逻辑联结词,是集合0,1上的一元代数运算。,矩阵求逆运算不是实矩阵集合上的代数运算，但它是非奇异实矩阵集合上的一元代数运算。,（2）代数运算f的定义域为S,n,、值域在S内，我们说运算f对集合S是,封闭,的。,n元代数运算必须具有,封闭性,二、运算律,例9有理数的加法和乘法，对,a、b、c,Q，有：,a+(b+c)=(a+b)+c,a+b=b+a,a+b=a+c b=c,b+a=c+a b=c,ab=ba,a(bc)=(ab)c,ab=ac，a0 b=c,ba=ca，a0 b=c,a(b+c)=(ab)+(ac),(b+c)a=(ba)+(ca),加法结合律,加法交换律,加法消去律,乘法交换律,乘法结合律,乘法消去律,乘法对加法的分配律,二、运算律,定义6.1.2,设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a、b，等式 a*b=b*a 都成立，则称运算“*”满足交换律。,二、运算律,定义,6.1.3,设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a、b、c，等式(a*b)*c=a*(b*c)都成立，则称运算“*”满足结合律。,二、运算律,定义,6.1.4,设,*,是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a,*,a=a，则称a是关于运算,*,的幂等元。,如果S中每个元素都是关于,*,的幂等元，则称运算,“*”,满足等幂律。,二、运算律,定义,6.1.5,设,*,和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a、b、c，等式,a,*,(b+c)=(a,*,b)+(a,*,c)，（左分配律）,(b+c),*,a=(b,*,a)+(c,*,a)，（右分配律）,都成立，则称运算,*,对+满足分配律。,二、运算律,定义,6.1.6,设,*,和+是集合S上的两个二元代数运算，如果对于S中任意两个元素a、b，等式,a,*(,a+b)=a，,a+(a,*,b)=a,都成立，则称运算,*,和+满足吸收律。,二、运算律,(*)例10,（1）对于,整数集Z以及其上关于整数的加法、乘法、减法运算来说：,加法、乘法都满足结合律和交换律；,乘法对加法满足分配律，但加法对乘法不满足分配律；,减法不满足结合律，也不满足交换律；,加法、乘法、减法都不满足等幂律，也不满足吸收律。,（2）对于n阶实矩阵集合以及其上关于矩阵的,加法、乘法运算来说,：,加法满足结合律，也满足交换律；,乘法满足结合律，但不满足交换律；,加法、乘法都不满足等幂律，也不满足吸收律。,（3）设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，则对(S)以及其上关于集合的交运算、并运算来说：,、都满足结合律，交换律；,对、对都满足分配律；,、都满足等幂律、吸收律。,二、运算律,定义,6.1.7,设*是集合S上的二元代数运算，如果对于S中任意三个元素a、b、c，,（1）若 a*b=a*c，则b=c，（左消去律）,（2）若 b*a=c*a，则b=c，（右消去律）,就称*满足消去律。,二、运算律,(*)例11（1）整数集合Z上的加法满足消去律，乘法不满足消去律。比如：,30=50 3=5。,（2）,n(n,2),阶实矩阵集合上的加法满足消去律，但乘法不满足消去律，比如：,1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1,=,0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1,三、代数系统,定义,6.1.8,设S是一个非空集合，f,1,、f,m,是S 上的若干代数运算，把S及其运算f,1,、f,m,看成一个整体来看，叫做一个代数系统，记为（S,f,1,f,m,）。,三、代数系统,(*)例,12,设Z为整数集，Z,0,为偶数集，N为自然数集，+、,是数的加法和乘法，则,(Z,+)、(Z,)、(Z,+,)都是代数系统；,(Z,0,+)、(Z,0,)、(Z,0,+,)都是代数系统；,(N,+)、(N,)、(N,+,)都是代数系统。,如果用,、分别表示求最大公约数和最小公倍数的运算，那么,(,Z,0,),、(Z,),也是代数系统。,三、代数系统,(*)例,13,设S是一个非空集合，(S)是S的幂集，、是(S)上的集合交运算和并运算，则,(S),)是代数系统。,(*)例,14,设,、,是真值集合0,1上的合取、析取运算,，则,(0,1,)是代数系统。,三、代数系统,例15有理数的加法和乘法，对,a,Q，有：,a+0=a,a,1=a,三、代数系统,定义,设*是集合S上的二元代数运算，若存在e,l,S（或e,r,S)使得对S中任意元素a都有,e,l,*a=a(或a*e,r,=a)，则称e,l,(或e,r,)是S中关于*运算的左（或右）单位元。若,e,S关于*运算既为左单位元又为右单位元，则称e为S中关于*运算的单位元。,单位元也叫壹元，常记为符号1；左单位元、右单位元也叫左壹、右壹。,三、代数系统,例16有理数的加法和乘法，对,a,Q，有：,a,0=0,三、代数系统,定义,设,*,是集合S上的二元代数运算，若存在,l,S（或,r,S)使得对S中任意元素a都有,l,*,a=,l,(或a,*,r,=,r,)，则称,l,（或,r,)是S中关于*运算的左（或右）零元。若S关于,*,运算既为左零元又为右零元，则称为S中关于,*,运算的零元。,二、运算律,例17有理数的加法和乘法，对,a,Q，有：,a+(-a)=0,当a0时，a,a,-1,=1,三、代数系统,定义,设,*,是集合S上的二元代数运算，e,S是S中关于,*,运算的单位元。对于aS，若存在a,l,S（或a,r,S)使得,a,l,*,a=e（或a,*,a,r,=e），则称a,l,（或a,r,)是a关于,*,运算的左（或右）逆元。若,a,-1,S既是a关于,*,运算的左逆元又为右逆元，则称a,-1,是a关于,*,运算的逆元。,三、代数系统,(*)例18,（1）对于整数集合Z以及其上关于整数的加法、乘法来说：,加法单位元是0，没有加法零元，任何整数a的加法逆元为-a；,乘法单位元是1，乘法零元是0，1的乘法逆元为1，-1的乘法逆元为-1，其余整数无乘法逆元。,（2）对于n阶（n2)实数矩阵集合M,n,(R)以及其上关于矩阵加法、乘法来说：,加法单位元是n阶全0矩阵，没有加法零元，任何矩阵M的加法逆元是-M；,乘法单位元是n阶单位矩阵，乘法零元是n阶全0矩阵，只有可逆矩阵M有乘法逆元M,-1,。,三、代数系统,对于任一集合S上的任意二元运算*，可以证明：,（1）若S中存在关于*运算的左单位元e,l,和右单位元e,r,，则e,l,=e,r,=e，且e为S中唯一的*运算,单位元,。,（2）,若S中存在关于,*,运算的左零元,l,和右零元,r,，则,l,=,r,=,，且,为S中唯一的,*,运算,零元。,（3）设,S中存在关于,*运算的单位元e，*运算满足结合律：,若,S中某元素a有左逆元a,l,-1,和右逆元a,r,-1,，则a,l,-1,=a,r,-1,=a,-1,，且a,-1,为a在S中唯一的,*,运算逆元,。,若S中每个元素都有左逆元，则每个元素都有右逆元，因此每个元素在S中都有唯一的逆元。,若S中某元素a的逆元为a,-1,，则a,-1,的逆元为a。,三、代数系统,(*)例19,设(A,)为代数系统，其中A=a,b,c,d，运算定义如下表所示：,问：（1）运算满足交换律和结合律吗？,（2）A中关于运算的单位元、零元分别是什么？A中每个元素关于运算,的逆元分别是什么？,a b c d,a b a d c,b a b c d,c d c a b,d c d b a,二、运算律,例20有理数的加法和乘法，对,a、b、c,Q，有：,两个有理数的和仍是有理数,a+(b+c)=(a+b)+c,a+0=a,a+(-a)=0,a+b=b+a,两个有理数的积仍是有理数,a(bc)=(ab)c,a(b+c)=(ab)+(ac),(b+c)a=(ba)+(ca),a1=a,当a0时，aa,-1,=1,ab=ba,加法,半群,乘法,半群,加法,群,加法,交换群,环,域,有理数域、实数域、复数域,加法封闭性,加法结合律,加法有单位元0,a有加法逆元(-a),加法交换律,乘法封闭性,乘法结合律,乘法对加法的分配律,乘法有单位元1,非0的a有乘法逆元a,-1,乘法交换律,a+b=a+c b=c,b+a=c+a b=c,ab=ac，a0 b=c,ba=ca，a0 b=c,整数环,加法消去律,乘法消去律,作业1,一、名词解释,(1)运算、代数系统、半群、群、单位元、逆元、交换群；,(2)置换、n次对称群；,(3)子群、由元素生成的子群、循环群；,(4)群到代数系统的同态映射、同构映射、同态核；,(5)环、交换环、含壹环、零因子、消去环（无零因子环）、体、域、整区；,(6)格、有界格、余元素、有余格、分配格、布尔代数；,（注：可参考教材第六、七章）,作业1,2集合A为模6剩余类集合 0,1,2,3,4,5，定义如下映射：,6,：对,a、bA，a,6,b=y+z|ya、zb，,(1)证明：,6,是A上的二元代数运算；,(2)写出,6,运算在集合A中的单位元；,(3)写出A中各元素关于,6,运算的逆元。,作业1,二、,简答,1对于任意给定的大于1的正整数m，构造代数系统(Z,m,m,m,)，其中集合Z,m,=0,1,2,m-1，二元代数运算,m,和,m,定义如下：,m,：对,a、bZ,m,，a,m,b=(ab)m的余数，,m,：对,a、bZ,m,，a,m,b=(ab)m的余数，,这里,、,、为普通整数的加法、乘法和除法。请回答以下问题：,(1)在集合Z,m,中，,m,运算的单位元是什么？,m,运算的单位元是什么？,m,运算的零元是什么？,(2)在Z,m,中，元素0关于,m,运算的逆元是什么？关于,m,运算的逆元是什么？,(3),在,Z,m,中，,元素,1,关于,m,运算的逆元是什么？关于,m,运算的逆元是什么？,(4)对Z,m,中任一元素，是否必定存在关于,m,运算逆元？是否必定存在,m,运算逆元？,(5)(Z,5,5,5,)是否为环？是否为域？,(6)(Z,6,6,6,)是否为环？是否为域？,