几个常用函数的导数.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,文档仅供参考，不能作为科学依据，请勿模仿；如有不当之处，请联系网站或本人删除。,例,1:,求曲线,y,=,f,(,x,)=,x,2,+1,在点,P,(1,2),处的切线方程,.,导数的几何意义的应用,注：旧方法也可以求，且新方法与旧方法相比还不显示出导数的优越性。但以下一题就可以显示出导数的优越性，这一题旧方法已经是力不从心无可救药了，必须要发明新方法即导数的方法。,练习,:,如图,已知曲线,求,:,(1),点,P,处的切线的斜率,;(2),点,P,处的切线方程,.,y,x,-2,-1,1,2,-2,-1,1,2,3,4,O,P,即,点,P,处的切线的斜率等于,4.,(2),在点,P,处的切线方程是,y-8/3=4(x-2),即,12x-3y-16=0.,这是导数非常非常小的应用。原来方法没有效果了，必须发明新方法，那就是导数,结论：根据导数的几何意义，,当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；,当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；,当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。,这是导数又一个非常重要的应用，用导数判断函数的单调性结论是简单明了通俗易懂，这就是导数的伟大魅力。比如判断,y=x,2,、,y=x,3,的单调性,要复习高一的证法，再讲解导数的证法，高一证法同学早已忘光。通过比较知道导数的巨大魅力，导数是项伟大的发明，如爱因斯坦的狭义、广义相对论。证明,y=x,3,的单调性是某年的高考题，得分很低。,有的同学可能觉得求导数每次按定义求运算量很大，其实同学们学到以后会发现这些有共同的公式去套，有人专门解出具有普遍意义的函数的导数，让人们只是套一下解题。,3.2.1,几个常用函数的导数,我国著名数学家,华罗庚曾说过：,“,数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。,”,练习,1,、求函数,y,=,f,(,x,)=,c,的导数。,因为,所以,同学们看，从几何角度结论明显不明显？,答：从几何角度是非常显然的事实。,因为,所以,练习,2,、求函数,y,=,f,(,x,)=,x,的导数,同学们看，从几何角度结论明显不明显？,答：从几何角度是非常显然的事实。,探究？,(1),从图象上看，它们的导数分别表示什么？,（,2,）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？,（,3,）函数,y=kx(k0),增（减）的快慢与什么有关,？,在同一平面直角坐标系中，,画出,y=2x,y=3x,y=4x,的,图象，并根据导数定义，,求它们的导数,。,因为,所以,练习,3,、求函数,y,=,f,(,x,)=,x,2,的导数,你能不能求出函数,y,=,f,(,x,)=,x,3,的导数。,思考,由函数,y,=,x,，,y,=,x,2,，,y,=,x,3,的导数为,1,，,2,x,，,3,x,2,y,=3,x,2,你猜测,y,=,x,n,导数是什么,?,y,=,nx,n,-,1,其实就算不用归纳法，直接求,y=x,n,的导数也是可以求的，我们不做要求，历史上是牛顿的功劳。,因为,所以,练习,4,、求函数,y,=,f,(,x,)=,-,的导数,1,x,1,、从图像上看，求出导数我们就可以求出图像的切线，但不用导数法用旧方法可以求出切线吗？,2,、我们知道,(x,n,),=nx,n-1,，问这种情况还可以归入吗？即,n,可以是负数吗？,答：,n,可以是负数，有理数，无理数，即全体实数。,探究？,画出函数 的图象。根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（,1,，,1,）处的,切线方程,。,求切线方程的步骤：,（,1,）,求出函数在点,x,0,处的变化率 ，得到曲线,在点,(x,0,f(x,0,),的切线的斜率。,（,2,）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,基本初等函数的导数公式,注意：几个其他的公式只须知道结论，推导过程超标不做要求，大学里有学。有了公式我们求函数导数时不必每次都根据定义来求，根据定义运算量大，我们只须根据公式套一下就可求出,例,1,y,=|,x,|(,x,R),有没有导函数，试求之。,解,:(1),当,x,0,时，,y,=,x,则,y,=1,(2),当,x,0,时，比值为,1,，从而极限为,1,当,x,0,时，比值为,-,1,，从而极限为,-,1,从而当,x,=0,时，极限不存在。,故,y,=|,x,|(,x,R),没有导函数。,结论：并不是每个函数都有导函数。,注意：此函数只在,x=0,处没有导数，其他任何地方都有导数，所以整体上没有导函数，但除了,x=0,点外就有导函数。,