离散数学教程宣讲.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一部分,数理逻辑,第二部分,集合论,第三部分,图论,第四部分,抽象代数,离散数学,第一部分 数理逻辑,数理逻辑是用数学方法研究推理中前提和,结论之间的形式关系的学科。,推理是由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。,数学方法是指建立一套表意符号体系，对具体,事物进行抽象的形式研究的方法。,第一章,命题逻辑,第二章,一阶谓词逻辑,第一部分 数理逻辑,1.1,命题和命题联结词,1.2,命题公式及其赋值,1.3,等值演算与联结词完备集,1.4,析取范式与合取范式,1.5,推理的形式结构,1.6,自然推理系统P,第一章 命题逻辑,1.,命题,：,能判断真假的陈述句。,包含两层意思：,（1）必须是陈述句。,（2）能够确定（分辨）其真值。,1.1 命题和命题联结词,1.1 命题和命题联结词,2.命题的真值：判断结果,注意,：,此处不纠缠具体命题的真假问题，只是将其作为数学概念来处理。,真值：真用T或1表示，假用F或0表示。,3.命题和真值的符号化,1.1 命题和命题联结词,1.1 命题和命题联结词,原子命题：不能被分解为更简单的陈述句,复合命题：原子命题通过联结词联结而成,例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也,是素数；2是素数当且仅当3也是素数。,p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。,1.1 命题和命题联结词,4、命题联结词,p,p,T,F,F,T,1.1 命题和命题联结词,p,q,p q,F,F,F,F,T,F,T,F,F,T,T,T,王化不但成绩好而且品德好。,pq：,1.1 命题和命题联结词,p,q,p q,F,F,F,F,T,T,T,F,T,T,T,T,1.1 命题和命题联结词,开关坏了或灯泡坏了。,pq：,例：1.张晓婧爱唱歌或爱听音乐。,2.张晓婧是内蒙人或是陕西人。,3.张晓婧只能挑选202或203房间。,1.1 命题和命题联结词,注意：当排斥或两边的情况实际根本不可能同时发生的时候，排斥或也,可抽象为。但为了方便起见一般不这样抽象。,p,q,p q,F,F,T,F,T,T,T,F,F,T,T,T,有位父亲对儿子说：“如果我,去书店，就一定给你买电脑,报“。问：在什么情况下，,父亲算失信呢？,1.1 命题和命题联结词,注意：“只要p，就q，因为p，所以q”，“p仅当q”，,只有q，才p“，”除非q才p“，”除非q，否则非p“都可,抽象为pq。,p，q可以没有任何内在联系,。,例：1.如果336，那么雪是白的。,2.除非我能工作完成了，我才去看电影。,3.只要天下雨，我就回家。,4.我回家仅当天下雨。,pq的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。,1.1 命题和命题联结词,p,q,p q,F,F,T,F,T,F,T,F,F,T,T,T,1.1 命题和命题联结词,p q的逻辑关系为p与q互为充要条件,例：1.3是有理数当且仅当加拿大位于亚洲。,2.两圆的面积相等，则他们的半径相等，,反之亦然。,p,q,p q,F,F,F,F,T,T,T,F,T,T,T,F,1.1 命题和命题联结词,例：今天第一节课上离散数学或数据结构。,例：p：北京比天津人口多 q：224 r：乌鸦是黑色的,1.1 命题和命题联结词,5、语句形式化,1.1 命题和命题联结词,例：2是有理数是不对的；2是偶素数；2或4是素数；如果2是素数，则3也,是素数；2是素数当且仅当3也是素数。,p：2是有理数，q：2是偶数，r：2是素数，s：3是素数，t：4是素数。,p不对；q且r；r或t；如果r，则s；r当且仅当s。,1.1 命题和命题联结词,命题常元：表示具体确定内容的命题。,命题变元：表示不确定具体内容的命题。,1.2 命题公式及其赋值,1.2 命题公式及其赋值,同时约定,：（1）最外层的括号可以省去。,（2）不影响运算次序的括号也可以省去。,1.2 命题公式及其赋值,1.2 命题公式及其赋值,1.2 命题公式及其赋值,1.2 命题公式及其赋值,1.2 命题公式及其赋值,1.3 命题公式的等值式,基本等值式（A，B，C为任意命题公式）,1.3 命题公式的等值式,1.3 命题公式的等值式,因A，B，C可以代入任意的命题公式，故以上等值式称为等值式模式。,由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。,1.3 命题公式的等值式,等值演算的应用：,1.验证等值式,2.判定公式的类型,3.解决工作生活中的判断问题,1.3 命题公式的等值式,甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断：,甲说：王教授不是苏州人，是上海人,已说：王教授不是上海人，是苏州人,丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人,结果3人中有一人全对，一人对一半，一人全错。问王教授是哪人？,联结词的完备集,n个命题变元可以形成2,2n,个不同的真值函数,对于每个真值函数，都可以找到许多与之等值的命题公式，,而每个命题公式对应唯一的与之等值的真值函数。,定义.设S是一个联结词集合，如果任何n（n1）元真值,函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示，则,称S是联结词完备集。,联结词的完备集,1.4 析取范式与合取范式,定义：命题变元及其否定统称为文字。,仅由有限个文字构成的析取式称为简单（质）析取式。,仅由有限个文字构成的合取式称为简单（质）合取式。,注意：单个文字既是简单析取式又是简单合取式。,讨论：设A为含n个文字的简单析取式,若A中同时含p,i,和,p,i,，则？,若A为永真式，则？,若A为永真式，则A中必同时含有p,i,和,p,i,，反之亦然。,同理有，若A为简单合取式，,A为永假式的充要条件是A中同时含有p,i,和,p,i,。,定理1.一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某,个命题变元及其他的否定。,一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某,个命题变元及其他的否定。,1.4 析取范式与合取范式,定义：由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。,由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。,析取范式与合取范式称为范式。,注意：单个文字、简单析取式、简单合取式都既是析取范,式又是合取范式。,1.4 析取范式与合取范式,定理2.一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合,取式为矛盾式。,一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析,取式为重言式。,定理3.任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式。,范式的求法：消去公式中的蕴涵、等价和异或联结词,使用双重否定律和德摩根律，将公式中出现,的否定 词移到命题变元之前。,利用分配律、结合律将公式化为合（析）取,范式。,范式形式不唯一。,1.4 析取范式与合取范式,定义：在含有n个命题变元的简单合（析）取式中，若每个,命题变元和 它的否定式不同时出现，而二者之一必,出现且仅出现一次，且第 i个命题变元或它的否定是,出现在从左算起的第i位上（字典序），称这样的简,单合（析）取式为极小（大）项。,性质：n个变元可以形成2,n,个极小（大）项；,每个极小（大）项有且仅有一个成真（假）赋值；,每组赋值下仅有一个极小（大）项为真（假）；,所有极小（大）项的析（合）取为真（假）；,1.4 析取范式与合取范式,将极小项的成真赋值对应的二进制数转化为十进制数为i，,将对应的极小项记为m,i,。,将极大项的成假赋值对应的二进制数转化为十进制数为i，,将对应的极大项记为M,i,。,定义：设由n个命题变元构成的析（合）取范式中所有的简,单合（析）取式都是极小（大）项，则称该析取范,式为主析（合）取范式。,1.4 析取范式与合取范式,定理.任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范,式，并且是唯一的。,1.4 析取范式与合取范式,公式法：求析取范式,用同一律补进未出现的命题变元,消去永假或重复出现的变元和极小项,将极小项按下标从小到大排列,真值表法：列出公式及各极小项的真值表，将每组赋值下,公式及极小项真值都为真的极小项进行析取。,主析取范式的求法：,1.公式法,2.真值表法,1.4 析取范式与合取范式,应用：1.求公式的成真、成假赋值,成真赋值为析取范式中所含极小项的编码的二进制数,成假赋值为合取范式中所含极大项的编码的二进制数,由主析取范式可以直接求主合取范式：,1求出主析取范式中未包含的极小项,2求出与1中求出的极小项下标相同的极大项,3做2中极大项之合取,1.4 析取范式与合取范式,3.判断两公式是否等值,若A，B共含有n个命题变元，按n个命题变元求出A与B的,主析取范式A、B，若AB，则A,B.,2.判断公式的类型,设A含有n个命题变元,A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2,n,个极小项；,A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此,时记为0；,A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项。,例：要在A，B，C中挑选2名出国进修，选派时满足下列条件：,若A去，则C同去,若B去，则C不能去,若C不去，则A或B可以去,问有几种选派方案，分别是什么？,4.解决实际问题,1.4 析取范式与合取范式,1.5推理的形式结构,注意：,推理正确实际是排除前提真结论假的情况,推理是否正确与前提的排列顺序无关,推理正确并不能保证B一定为真,1.5推理的形式结构,推理的形式结构,1.5推理的形式结构,例：若下午温度超过30度，则王晓燕必去游泳。若她去游,泳，她就不会去看电影。所以若王晓燕没去看电影，,下午温度必超过了30度。,p：温度超过30度,q：王晓燕去游泳,r：王晓燕去看电影,1.5推理的形式结构,1.5推理的形式结构,注意：,以上都是蕴含式模式,若某推理的形式结构与某定律一致，则推理正确,成立的等值式可产生两条定律,推理定律可产生相应的推理规则,1.5推理的形式结构,1.6自然推理系统P,定义.一个形式系统I由以下4部分组成：,非空的字母表，记作A(I),A(I)中符号构成的合式公式集，记作E(I),E(I)中特殊的公式组成的公理集，记作Ax(I),推理规则集，记作R(I),任给的前提，应用规则得到结论（可能真）,任给的公理，应用规则得到结论（永真）,1.6自然推理系统P,1.6自然推理系统P,例：若小王是理科生，则他的数学成绩一定很好。如果,小王不是理科生，他一定是文科生。小王的数学成绩,不好。所以小王是文科生。,p：小王是理科生,q：小王是文科生,r：小王的数学成绩很好,1.6自然推理系统P,例：如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小赵,不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所以，,当小赵去看电影时，小李也去。,p：小张去看电影,q：小王去看电影,r：小李去看电影,s：小赵去看电影,1.6自然推理系统P,2.归谬法,将结论的否定作为前提引入，能推出矛盾来，则推理正确,例：如果马会飞或羊不吃草，则母鸡就会是飞鸟。如果母,鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑。烤熟的鸭子不会,跑。所以羊吃草。,p：马会飞,q：羊吃草,r：母鸡是飞鸟,s：烤熟的鸭子会跑,1.6自然推理系统P,所有的人总是要死的。,苏格拉底是人。,所以苏格拉底是要死的。,p:,q:,r:,第二章,谓词逻辑,第二章,谓词逻辑,2.1,一阶逻辑命题符号化,2.2,一阶逻辑公式及解释,2.3,一阶逻辑等值式与置换规则,2.4,一阶逻辑前束范式,2.5,一阶逻辑的推理理论,2.1一阶逻辑命题符号化,1.个体词,所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体（事物）,表示具体的或特定的客体,表示抽象或泛指的客体,个体变项的取值范围称为个体域，用D表示,宇宙间一切事物组成的称为全总个体域,2.谓词,用来刻划个体词性质及个体词之间相互关系的词,2是有理数,x是无理数,小王与小李同岁,x与y具有关系L,是有理数,是无理数,与同岁,与具有关系L,F：,G：,H：,L：,2.1一阶逻辑命题符号化,3.量词：个体词之间的数量关系,（1）全称量词,“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”,记作,4.符号化,确定个体域,确定个体词、量词和谓词,确定联结词,2.1一阶逻辑命题符号化,例：所有的人都是要死的。,有的人用左手写字。,注意：,全称量词的特性谓词必须作为蕴涵式的前件引入,存在量词的特性谓词必须作为合取式的合取项引入,同一命题，不同的个体域符号化的形式可能不同,未指明个体域即为全总个体域,2.1一阶逻辑命题符号化,例：在美国留学的学生未必都是亚洲人。,有的兔子比所有的乌龟跑的快。,对任意的整数x，都存在整数y使得xy10。,注意：,多个量词出现时，顺序一般不能随便换,有些命题符号化形式不唯一,2.1一阶逻辑命题符号化,2.2一阶逻辑公式及解释,2.2一阶逻辑公式及解释,合式公式也称谓词公式，简称公式,2.2一阶逻辑公式及解释,2.2一阶逻辑公式及解释,2.2一阶逻辑公式及解释,2.2一阶逻辑公式及解释,定理.闭式在任何解释下都变成命题。,2.2一阶逻辑公式及解释,2.2一阶逻辑公式及解释,定理.重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换,实例都是矛盾式。,2.2一阶逻辑公式及解释,2.3一阶逻辑等值式与置换规则,第一组,命题逻辑中等值式模式的代换实例都是一阶逻,辑的等值式模式,第二组,一阶逻辑中特殊的等值式,2.3一阶逻辑等值式与置换规则,D=N，F(x)：x是奇数 G(x)：x是偶数,2.3一阶逻辑等值式与置换规则,2.3一阶逻辑等值式与置换规则,2.3一阶逻辑等值式与置换规则,2.4一阶逻辑前束范式,为了方便使用谓词公式进行定理证明和逻辑推理，需要,把谓词公式变换为便于使用的规范形式，就是范式。,定理1：任一谓词公式都可以化成为与之等值的前束范式。,2.4一阶逻辑前束范式,2.4一阶逻辑前束范式,2.5一阶逻辑的推理理论,在一阶逻辑中，称永真的蕴涵式为推理定律。若一个推理,的形式结构正是某条推理定律，则该推理显然是正确的。,第一组,命题逻辑推理定律的代换实例,第二组,由基本等值式生成的推理定律,第三组,以下重要定律,第四组,消去量词和引入量词的推理规则,1、全称量词消去规则（UI）,2.5一阶逻辑的推理理论,UI规则成立的条件：,（1）取代x的y应为任意不在A(x)中约束出现的个体变项；,（2）用y取代A(x)中自由出现的x时，必须将所有的自由出现x都取代；,（3）自由变元y也可替换为个体域中任意的个体常元c，c为任意不在A(x)中出现过的个体常项。,2.5一阶逻辑的推理理论,含义：如果个体域的所有个体都具有性质A，则个体域中,的任一个个体都具有性质A。,2、存在量词消去规则（EI）,含义：如果个体域存在有性质A的个体，则个体域中必有,某一个个体具有性质A。,2.5一阶逻辑的推理理论,ES规则成立的条件：,（1）c是个体域中使A为真的特定的个体常项；,（2）c不曾在A(x)或前面的推导公式中出现过；,（3）A（x）中除x外还有其他自由变元时，不能用此规则,2.5一阶逻辑的推理理论,3、全称量词引入规则（UG）,UG规则成立的条件：,（1）y在A（y）中自由出现，且y取任何值时A均为真；,（2）x不在A（y）中约束出现。,含义：如果个体域的任意个体都具有性质A，则个体域中,的所有个体都具有性质A。,2.5一阶逻辑的推理理论,4、存在量词引入规则（EG）,EG规则成立的条件：,（1）c是个体域中某个确定的个体；,（2）代替c的x不在A（c）中出现过。,含义：如果个体域有某一个个体c具有性质A，则个体域中,必存在具有性质A的个体。,2.5一阶逻辑的推理理论,定义.一阶逻辑自然推理系统F的定义,1.字母表：同一阶语言的字母表,2.合式公式：同一阶语言合式公式的定义,3.推理规则,a.前提引入规则 b.结论引入规则,c.置换规则 d.假言推理规则,e.附加规则 f.化简规则,g.拒取式规则 h.假言三段论规则,i.析取三段论规则 j.构造性二难规则,k.合取引入规则 l.UI，EI，UG，EG,2.5一阶逻辑的推理理论,例7：证明逻辑三段论,所有的人总是要死的。,苏格拉底是人。,所以苏格拉底是要死的。,2.5一阶逻辑的推理理论,2.5一阶逻辑的推理理论,例10：如果一个人怕困难就不会获得成功。每一个人或,者获得成功或者是失败的。有些人未曾失败过，所以有,些人不怕困难。（个体域是人的集合）判断这个推理是,否正确。,例9：根据前提集合：同事之间总是有工作矛盾的，,张平和李明没有工作矛盾，能得出什么结论？,第二部分 集合论,第三章,集合代数,第四章,二元关系,第五章,函数,第三章 集合代数,3.1,集合的基本概念,3.2,集合的运算,3.3,集合恒等式,一、集合的概念,集合,（set)的含义：一个集合是作为整体识别的、确定的、互相区别的一些事物的聚集（全体或总体等)。,构成一个集合的每个事物，成为这个集合中的,元素,或,成员,。集合一般用A、B、C表示，集合中的元素用a、b、c表示。但这不是绝对的，因为一个集合可以作为另一个集合的元素。,如果x是集合s的一个元素,记作 ;y不是集合s的元素，记作,3.1集合的基本概念,例1：1.偶素数集合。,2.二进制的基数集合。,3.英文字母的集合。,4.全体实数的集合。,5.自然数集合。,6.整数集合。,7.有理数集合。,8.素数集合。,3.1集合的基本概念,3.1集合的基本概念,集合的表示方法:,1.列举法（枚举法、外延法）,把集合的所有元素（元素较少时）写在一个花括号内;列出足够多的元素（元素很多或无穷时）以反映集合中元素的特征。,如例1中的1、2、3、5可分别表示为：,2,0，1,a，b，cz，A，B，CZ,1，2，3,3.1集合的基本概念,2.描述法（概括法）,将集合中的元素的性质用一个谓词公式来描述，S=X|P(X),意义为:集合S由且仅由满足为此公式P(X)的对象组成，即 ，当且仅当p(a)为真。,如例1中的4、6、7可表示为：,3.文氏图,用图形图像直观的描述集合之间的相互关系和有关运算。,3.1集合的基本概念,几个常见集合的表示符号：,N：自然数集合，N=0，1，2，3；,I：整数集合；,P：素数或质数集合；,Q：有理数集合；,R：实数集合；,C：复数集合；,3.1集合的基本概念,集合的特性:,A.互异性：一个集合的个元素是可以区分开的，即每一 元素只出现一次。,B.无序性：集合中元素排列顺序无关紧要，即集合表示 形式的不唯一性。,例2：a，b，c=b，c，a=c，a，b=a，c，b=,b，a，c=c，b，a,3.1集合的基本概念,C.确定性：任一事物是否属于某一集合，回答是确定的。,例3：“好书”的全体，这不构成集合。,注意：一个集合是已知的，指的是对任一元素，利用某种方法可以判断它是否是这个集合的元素，而不是把集合的每一个元素都给出来。,3.1集合的基本概念,集合的元素可以是任何具体或抽象的事物，包括别的集合，但不能是本集合自身。,例4：在一个住着一些人家的偏僻孤岛上，岛上只有一个理发师a，a给且只给岛上所有不能自己理发的人理发。问谁给a理发？,定义1.设A和B是两个集合，若A中的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，也称B包含A,记作,3.1集合的基本概念,定义2.设A和B是任意两个集合，若A包含B且B包含A，则称A与B相等，记作A=B.,即，,二、集合的关系,3.1集合的基本概念,定义3.若A是B的子集且 ，则称A为B的真子集，或称B真包含A，记作，B称为A的超集。,集合的相等关系的性质：,设A,B,C为3个集合，,集合的包含关系的性质:,3.1集合的基本概念,定义4.不包含任何元素的集合称为空集，记作或,3.1集合的基本概念,三、特殊集合,定义4：在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集，记作E。,定义5.集合中元素的个数称为基数或势，用|A|表示。,基数是有限数的集合称为有限集，否则称为无限集。,全集是相对的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。,3.1集合的基本概念,3.1集合的基本概念,含n个元素的集合简称n元集，其含有k(kn)个元素的子集称为它的k元子集。,定义6.由集合S的所有子集组成的集合，称为集合S的幂 集，记作,P（S）。,表示为：,有限集S，|P（S）|=2,|S|,例：Aa，b，c，d，c,3.2集合的运算,一、集合的基本运算,3.2集合的运算,定义5.设,A,为集合，,A,的元素的元素构成的集合称为,A,的广义并，记作,A 。,3.2集合的运算,A,x|,z(z,A,xz),若,A,A,1,A,2,，A,n,，则,A,A,1,A,2,A,n,定义6.设,A,为非空集合，,A,的所有元素的公共元素构成的集合称为,A,的广义交，记作,A 。,A,x|,z(z,A,xz),若,A,A,1,A,2,，A,n,，则,A,A,1,A,2,A,n,例：Aa，b，c，a，b，e,B=a,C=a，c，d,集合运算的优先级：,高级：广义并、广义交、绝对补、求幂集；同级按从右向左的顺 序进行,低级：并、交、相对补和对称差；同级按从左向右的顺序进行,3.2集合的运算,3.2集合的运算,文氏图可以用来描述集合间的关系及其运算.在文氏图中,全集用矩形表示,子集用圆形表示,阴影部分表示运算结果的集合.,二、文氏图,A,B,B,A,B,A,B,A,3.2集合的运算,A,3.3集合恒等式,一、集合运算定律,以下列出集合性质中最主要的几条基本定律，对于全集E的任意子集A，B，C，有：,3.3集合恒等式,1、,基本定义法,根据集合相等的充要条件等式两边互为子集或由定义进行等价推理。,2、,公式法,利用已证明过的恒等式去证明另外的恒等式。若表达式中出现形为,A-B的差集时，用功能完备律先将运算“-”转化为运算“”和“”。,二、集合恒等式证明,3.3集合恒等式,3.3集合恒等式,3.3集合恒等式,3.3集合恒等式,小 结,集合的概念,集合的特性,集合的表示方法:列举法、描述法、文氏图,集合的运算：并、交、补、差、求幂,集合间的关系：包含、相等,集合恒等式的证明：定义法、公式法、成员表法,第四章二元关系,4.1,有序对与笛卡儿积,4.2,二元关系,4.3,关系的运算,4.4,关系的性质,4.5,关系的闭包,4.6,划分和等价关系,4.7,偏序关系,定义1.由两个具有固定次序的个体a，b组成的序列,称为序偶,记作.其中a,b称为序偶的分量.,定义2.设和是两个序偶,若a=c且b=d,则称这两个序偶相等,记作=.,区别:集合a,b=b,a,=(a=b),4.1 有序对与笛卡儿积,例3:设A=a,b,c,B=1,0,则,4.1 有序对与笛卡儿积,定义3.设集合A，B，以A的元素作为第一元素，B的元算作为第二元素,的有序对构成的集合称为A与B的笛卡儿积，记作A,B，符号化为,AB,=|x,A,y,B,性质1.A,=,，,A=,例4:设A=a,b,B=0,1,C=u,v则,4.1 有序对与笛卡儿积,4.1 有序对与笛卡儿积,4.1 有序对与笛卡儿积,性质5.若A,C,B,D，,则A,B,C,D。,4.1 有序对与笛卡儿积,其逆命题不成立。,A=B=,，,成立；,A,，,B,，,成立；,A=,且,B,，不成立；,A,且,B=,，不成立。,定义4.由n个具有给定次序的个体a,1,，a,2,，a,n,组成的序列，称为有序n元组，记作，其中a,i,称为第i个分量。,=当且仅当a,i,=b,i,（i=1，2，3，n）。,有序n元组仍然是序偶，即=，a,n,。,4.1 有序对与笛卡儿积,定义5.设A,1,，A,2,，A,n,是任意的n个集合，所有有序n元组组成的集合，称为集合A,1,，A,2,，A,n,的笛卡儿积，并用 表示。其中 （i=1，2，n）,4.1 有序对与笛卡儿积,4.2 二元关系,定义1.若一个集合满足以下条件之一：,（1）集合非空，且它的元素都是有序对,（2）集合是空集,则称该集合为一个二元关系。,一、关系的定义,4.2 二元关系,例2:任意两个集合A,B,若|A|=n,|B|=m,求A到B共有多少不同的二元关系?,4.2 二元关系,二、特殊关系,例5.设A=2,3,4,B=2,3,4,5,6,定义A到B的二元关系R:aRb当且仅当a整除b.求R,M,R,R=，,4.2 二元关系,三、关系的表示方法,4.2 二元关系,一个有限集合A上的关系R还可以用一个称为R的关系图来表示。,4.2 二元关系,aaaa,d,a,b,c,d,e,例6：设A=a，b，c，d，e，A上关系R=，则R的关系图为：,例3:设A=1,2,3,4,5,6,B=a,b,c,d,R=,求domR,ranR.,解:domR=2,3,4,6,ranR=a,b,d,4.3 关系的运算,例:1.Z上的关系.,3.空关系的逆是空关系.,例3中R的逆关系R,-1,=,4.3 关系的运算,4.3 关系的运算,例：1.R1=是的兄弟，R2=是的父亲,2.A=1，2，3，4，5，R，S是A上的二元关系,R=，,S=，,4.3 关系的运算,关系是以序偶为元素的集合，故可对关系进行集合的运算以产生新的关系。作为关系，绝对补运算是对全关系而言的,。,4.3 关系的运算,2.A=1，2，3，4，5，R，S是A上的二元关系,R=，,S=，,由此可知，合成关系不满足交换律，满足结合律。,4.3 关系的运算,定理8.关系矩阵的乘法满足结合律，即M,R,1,（M,R,2,M,R,3,）=（M,R,1,M,R,2,）M,R,3,4.3 关系的运算,定理9.设R,1,是一个由A,1,到A,2,的关系，R,2,是一个由A,2,到A,3,的关系，R,n,是一个由A,n,到A,n+1,的关系（A,i,都是有限集）。它们的关系矩阵分别是M,R,1,，M,R,2,，M,R,n,，则合成关系R,1,R,2,R,n,的关系矩阵M,R,1,R,2,R,n,=M,R,1,M,R,2,M,R,n,。,定义5.设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：,R,0,=|x,A=I,A,R,n+1,=R,n,R,4.3 关系的运算,幂运算的求解：,若R是列举法表示，可进行多次右复合；,例：A=a，b，c，d，R=，,例：设A=a，b，c，d，R=，则R,0,，R,2,，R,3,，R,4,。,R,0,=，,R,2,=，,R,3,=，,R,4,=，,4.3 关系的运算,若R用关系矩阵M表示，则R,n,的关系矩阵是M,n,；,若R是用关系图G表示的，则可由G得R,n,的关系图G。,G与G的顶点集合相同，考察G中每个顶点x，若在G中,从x出发经过n步长的路径到达顶点y，则在G中加一条,从x到y的边。当把所有顶点都考察完后，就得到G。,4.3 关系的运算,4.3 关系的运算,定理10.幂运算满足指数定律：R,n,R,m,=R,n+m,（R,n,）,m,=R,mn,幂运算的性质：,定理11.设A为n元集，R是A上的关系，则存在s、t,N，使得R,s,=R,t,。,4.4 关系的性质,定义1.设R,A,A，,若,x(x,A,R)，则称R是自反的；,若,x(x,A,R)，则称R是反自反的；,若,x(x,A,R),y(y,A,R)，,则称R是非自反的。,定义2.设R,A,A，,若,x,y,(x,y,A,R,R)，,则称R是A上的对称关系；,若,x,y,(x,y,A,R,R,x=y)，,则称R是A上的反对称关系；,否则，则称R是A上的非对称关系。,空关系既是对称的又是反对称的.,非空集合上的空关系是反自反的、对称的、反对称的、可传递的。,空集合上的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和可传递的。,4.4 关系的性质,非空集合上的全关系是自反的、对称的、和可传递的。,例2.S=a，b，c，S上的关系R,1,=，R,2,=，R,3,=，,例3.在集合S=a，b，c，d上的关系R：，,，判断R的性质。,4.4 关系的性质,定理.设R是A上的二元关系，那么R是传递的当且仅当R,R,R。,4.4 关系的性质,根据定义可证明下面几个定理是成立的。,4.4 关系的性质,4.4 关系的性质,可能有某种关系，既是对称的，又是反对称的,。,例4.S=a，b，c，S上的关系R=，,某种关系，既不是对称的，也不是反对称的。,例5.S上的关系Q=，,定理5.设R在A上是反自反的和可传递的，则R必是反对称的。,4.4 关系的性质,例6.设A=1，2，3，A上的关系R=和S=都是A上的传递关系。,传递性对并运算不一定保持。,4.4 关系的性质,关系的闭包运算是关系上的一元运算，他把给出的关系R扩充成一新关系R,c,，使R,c,具有一定的性质，且进行的扩充又是最小的。,4.5 关系的闭包,该定义表明，r（R）（s（R），t（R）是包含R的,最小自反（对称，传递）关系。,必要性：R=r（R），由定义1（1）知，r（R）是自反的，故R是自反的。,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,3.I,A,的自反、对称和传递闭包是什么,？,4.空关系的自反、对称和传递闭包是什么？,例：A=a，b，c，d，R=，,设R、r(R)、s(R)、t(R)的关系矩阵分别为M、M,r,、M,s,、M,t,，则,M,r,=M+E,M,s,=M+M,M,t,=M+M,2,+M,3,+,设R、r(R)、s(R)、t(R)的关系矩阵分别为G、G,r,、G,s,、G,t,，则,考察G中的每个顶点，若没有环就加上一个，得到G,r,；,考察G中每条边，若有x,i,到x,j,的单向边（i,j），则加x,j,到x,i,的反向边，得G,s,；,考察G中每个顶点x,i,，找出从x,i,出发的所有2步、3步n步,长的路径（n为G中的顶点数）。设路径的终点为x,j1,、x,j2,、,、x,jk,，若没有从x,i,到x,jl,（l=1，2，k)的边，就加上这条,边。考察完所有的顶点后，得到G,t,。,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.5 关系的闭包,4.6 等价关系与划分,例：A=1,2,3,4,5,6,7,8，R=|x,y,Axy(mod3),4.6 等价关系与划分,4.6 等价关系与划分,一个集合的划分往往不是唯一的。,4.6 等价关系与划分,4.6 等价关系与划分,等价关系与划分一一对应。,4.7 偏序关系,4.7 偏序关系,由以上定义可知，在具有偏序关系的集合中任取x、y，有,xy、xy、x与y不可比,例：A=1,2,3，,是A上的整除关系。,盖住关系的关系图称哈斯图.,求法:1.省略关系图中每个结点处的自环.,2.若xy且y盖住x,将代表y的结点放在代表x的结点之上,并在x与y之间连线,省去有向边的箭头.,4.7 偏序关系,若xy但y不盖住x，则省去x与y之间的连线。,4.7 偏序关系,4.7 偏序关系,4.7 偏序关系,B的最小元一定是B的下界，同时也是B的最大下界。,B的最大元一定是B的上界，同时也是B的最小上界。,一般的调度问题可以描述为：,给定有穷的任务集T和m台机器，T上存在偏序关系,。如果,t1t2,那么t1完成以后t2才能开始工作。,tT，l(t):表示完成任务t所需的时间,d(t):表示任务t的截止时间。l(t),d(t)Z+,设开始时间为0，,：T0,1,2,，D表示对任务集T的一个,调度方案。,(t)：表示任务t的开始时间；,D：表示完成所有任务的最终时间,4.7 偏序关系,假设每项任务都可以在任何一台机器上进行加工，如果,满足,下述三个条件，则称其为可行调度,tT，,（t）l(t)d(t),i,0 i D,|t|t T（t）i （t）l(t)|m,t,t T,tt（t）l(t)(t),4.7 偏序关系,第五章 函数,5.1,函数的定义与性质,5.2,函数的复合与反函数,5.1 函数的定义与性质,例1：F1=,F2=,定义2.设F、G为函数，则F=G,F,G,G,F.,即满足条件：,domF=domG,x,domF，都F(x)=G(x).,5.1 函数的定义与性质,5.1 函数的定义与性质,5.1 函数的定义与性质,5.1 函数的定义与性质,5.1 函数的定义与性质,定义7,单调函数可以定义于一般的偏序集上。,每个子集对应一个特征函数，不同的子集则对应不同的特征函数。,故而可用特征函数来标记不同的子集。,给定集合A和A上的等价关系R，就可以确定一个自然映射，不同的,等价关系将确定不同的自然映射。,5.1 函数的定义与性质,算法的评价标准：时间复杂度、空间复杂度,估计复杂度的方法是：选择一个基本运算，对于给定规模为n的输入，,计算算法所做基本运算的次数，将这个次数表示为输入规模的函数。,最坏情况下的复杂度w（n）,平均情况下的复杂度A（n）,算法分析的主要工作就是估计复杂度函数的阶。阶越高，增长越快，,算法复杂度越高，效率越低。,5.1 函数的定义与性质,5.1 函数的定义与性质,5.2 函数的复合与反函数,5.2 函数的复合与反函数,5.2 函数的复合与反函数,5.2 函数的复合与反函数,第四部分 图论,第六章,图的基本概念,第七章,一些重要的图,第六章 图的基本概念,6.1,图,6.2,通路、回路,6.3,图的连通性,6.4,图的矩阵表示,6.5,图的运算,用点表示事物，用点之间是否有连线表示事物之间是否,有某种关系，这样构成的图，就是图论中的图。二元关,系的关系图就是图，与几何学中的图形有本质区别。因,此，先看无序积。,定义1.设A，B为集合，称a，b|a,A,b,B为A与B,的无序积，记作A,&,B。为方便，将a，b记为（a，b）,6.1 图,定义2.图G=是有序二元组，其中V(G)是有限非空,集；V中元素称为G的顶点或结点，V称为G的顶点集。E(G),是V(G)中诸顶点之间边或弧的集合，E称为G的边集。,图G的边可以是无方向的，用v,i,，v,j,表示，称为无向边，,只由无向边构成的图G称为无向图。,图G的边可以是有方向的，用表示，称为有向边，,只由有向边构成的图D称为有向图。,6.1 图,如果图G中既有有向边，又有无向边，则称图G为混合图。,6.1 图,D=,e,k,=,E,称v,i,为e,k,的起点，v,j,为e,k,的终点，,并称v,i,邻接到v,j,或v,j,邻接于v,i,。,若e,k,的终点是e,l,的起点，则e,k,、e,l,相邻。,6.1 图,定义4.在无向图中，关联一对顶点的无向边若多于1条，则称这些边,为平行边，平行边的条数为重数。,在D中，关联一对顶点的有向边若多于1条，且始点、终点相同，则,称这些边为平行边。,含平行边的图为多重图，不含平行边、环的图为简单图。,6.1 图,6.1 图,6.1 图,必要条件：,阶数相同,边数相同,度数相同的顶点数相同,6.1 图,6.1 图,6.1 图,6.2 通路与回路,定理1.在n阶图G中，若从顶点v,i,到v,j,（v,i,v,j,）存在通路，则,从v,i,到v,j,存在长度小于或等于（n-1）的通路。,推论：在n阶图G中，若从顶点v,i,到v,j,（v,i,v,j,）存在通路，则,从v,i,到v,j,一定存在长度小于或等于（n-1）的初级通路。,定理2.在n阶图G中，若,存在,从顶点v,i,到自身的,回路，则一定,存在长度小于或等于n的回路。,推论：在n阶图G中，若,存在,从顶点v,i,到自身的简单回,路，则,一定存在长度小于或等于n的初级回路。,6.2 通路与回路,无向图顶点间的连通关系是V上的一个等价关系，他的所,有等价类构成V的一个划分。任意两个顶点v,i,v,j,属于同一个,等价类当且仅当他们有路连接。,6.3 图的连通性,6.3 图的连通性,6.3 图的连通性,当v是G的点割集，则称v是G的割点。,若v是连通图G的一个割点，那么G-v就是不连通或平凡图。,6.3 图的连通性,6.3 图的连通性,6.3 图的连通性,6.3 图的连通性,定理3.一个有向图D是强连通图的充要条件是D中存在至少,经过每个顶点一次的回路。,6.3 图的连通性,定理4.设D是n阶有向图，D是单向连通图当且仅当D中存在