等比数列的通项公式及性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等比数列的通项公式及性质,课前小练,a,n,+1,-,a,n,=,d,d,叫公差,a,n,=,a,1,+,(,n,-1),d,a,n,=,a,m,+,(,n,-,m,),d,课本P48的4个例子：,观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？,观察,课本P48的4个例子：,观察：请同学们仔细观察一下，看看以上、四个数列有什么共同特征？,观察,一般地，如果一个数列从,第2项起,，每一项与它前一项的,比等于同一个常数,，这个数列就叫做,等比数列,。,这个,常数,叫做等比数列的,公比,，公比通常用,字母,q,表示。,或,其数学表达式：,(,q,0,),思考：,一、等比数列的概念,能否改写为若数列的项依次满足,则数列 是等比数列吗？,1.已知等比数列,a,n,：,(1),a,n,能不能是零？,(2)公比,q,能不能是1？,2.用下列方法表示的数列中能确定,是等比数列的是,.,1，-1，1，(-1),n+1,；1，2，4，6；,a,，,a,，,a,，,a,；,已知,a,1,=2，,a,n,=3,a,n+1,；,2,a,，2,a,，2,a,，2,a,.,3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？,不能,能,非零的,常数列,思考：,思考：,下列表示的数列是等比数列,吗？若是，请指出其公比,1，-1，1，(-1),n+1,；,a,，,a,，,a,，,a,；,已知,a,1,=2，,a,n,=3,a,n+1,；,思考：,下列表示的数列是等比数列,吗？若是，请指出其公比,1，-1，1，(-1),n+1,；,a,，,a,，,a,，,a,；,已知,a,1,=2，,a,n,=3,a,n+1,；,二.等比数列的通项公式,问题：如何用和表示第项.,归纳猜想法,叠乘法,这个式子相乘得,，所以,.,思考：,如果在,a,与,b,的中间插入一个数,G,，使,a,G,b,成等比数列，那么,G,应该满足什么条件？,反之，若,即,a,G,b,成等比数列.,a,G,b,成等比数列,则,(,ab,0),分析：,由,a,G,b,成等比数列得：,(,ab,0),如果在,a,与,b,中间插入一个数,G,，使,a,G,，,b,成等比数列，那么称这个数,G,为,a,与,b,的,等比中项,.,3.等比中项：,即：,注意：,若a，b异号则无等比中项,若a，b同号则有两个等比中项.,如果在,a,与,b,中间插入一个数,G,，使,a,G,，,b,成等比数列，那么称这个数,G,为,a,与,b,的,等比中项,.,3.等比中项：,即：,如数2和32的等比中项为_,例3:,一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求,它的第1项与第2项.,把代入，得,把的两边分别除以的两边，得,解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，那么,因此,答：这个数列的第1项与第2项分别是 与,.,作差（等差）,作商（等比）,例1.,例1.,例：,求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项,思考:你能判断它们的,单调,性吗?,例：,求证以下数列是等比数列，并指出公比和首项,思考:你能判断它们的,单调,性吗?,解：由等比数列的通项公式的特点可得：q=10,a,1,=-30,解：n=1 a,1,=2,1,=2,n=2 a,2,=2,2,=4,可得：q=2,n,An+B,a,=,（等差）,n,A,B,n,a,=,（等比）,例：,由下列等比数列的通项公式，求首项与公比,（1）a,n,=2,n,(2)a,n,=310,n,思考:你能判断它们的增减性吗?,公比q对数列的影响,课堂小结,从第,2,项起,每一项与它,前,一项的,差,等于,同一个常数,公差(,d,),d,可正、可负、可零,从第,2,项起,每一项与它,前,一项的,比,等于,同一个常数,公比(,q,),q,可正、可负、,不可零,小结,a,n,+1,-,a,n,=,d,d,叫公差,a,n,=,a,1,+,(,n,-1),d,a,n,=,a,m,+,(,n,-,m,),d,你还知道,等差数列,有什么性质吗?,你能类比写出,等比数列,的性质吗?,q,叫公比,a,n,=,a,1,q,n-,1,a,n,=,a,m,q,n-m,等差数列,等比数列,性质1,性质2,性质3,若n+m=p+q,则a,m,+a,n,=a,p,+a,q,若n+m=p+q,则a,m,a,n,=a,p,a,q,a,m,a,m+k,a,m+2k,成等差 数列,a,m,a,m+k,a,m+2k,成等比数列,对比记忆,若,2,m=p+q,则,2,a,m,=a,p,+a,q,若,2,m=p+q,则a,m,2,=a,p,a,q,等比数列中有类似性质吗？,想一想,精编练习练习,性质,等比数列前n项积最值,2、在等比数列an中，a,n,0,a,2,a,4,+2a,3,a,5,+a,4,a,6,=36,那么a,3,+a,5,=_,1.等比数列,a,n,中，,a,4,=4,则,a,2,a,6,等于 （）,A.4 B.8 C.16 D.32,例、,有三个数成等比数列，若它们的积,等于64，和等于14，求此三个数？,注意：,等比数列中若三个数成等比数列，可以设为,练习：已知三个数成等比数列，它们的积为27，,它们的立方和为81，求这三个数。,例、,有四个数，若其中前三个数成等比数列，,它们的积等于216，后三个数成等差数列，它们,的和等于12，求此四个数？,注意：,等比数列中若四个数成等比数列，,不能,设为,因为这种设法表示公比大于零！,练习：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。,可以设这,四个数为,a,b,c,d,15,9,3,1或0,4,8,16,三.等比中项,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：,（1）1，9 （2）-1，-4,（3）-12，-3 （4）1，1,3,2,6,1,在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的,等比中项。,探究一,在等比数列a,n,中，,a,2,.a,6,=a,3,.a,5,是否成,立？,a,3,2,=a,1,.a,5,是否成立?,你能得到更一般的结论吗？,证明,要积极思考哦,且 m,n,s,t N,+,若m+n=s+t,思考,a,m,a,n,a,s,a,t,有什么关系,若等比数列a,n,的首项为a,1,，公比q，且,且 m,n,s,t N,+,若m+n=s+t,则a,m,a,n,=a,s,a,t,性质：,探究二,已知等比数列an首项a,1,公比q，取出数列中的所有奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？,取出a,1,a,4,a,7,a,11,呢？,性质：在等比数列中，把序号成等差数列的项按,原序列出，构成新的数列，仍是等比数列,你能得到一般性结论吗？,思考,1、在等比数列中a,7,=6，a,10,=9，,那么a,4,=_.,等差数列,等比数列,性质1,性质2,性质3,a,n,=a,m,+(n-m)d,若n+m=p+q,则a,m,+a,n,=a,p,+a,q,若n+m=s+t,则a,n,a,m,=a,s,a,t,a,m,a,m+k,a,m+2k,成等差 数列,a,m,a,m+k,a,m+2k,成等比数列,对比记忆,当堂检测,